Номер 14.23, страница 48 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 14. Движение тел в поле силы тяжести. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 14.23, страница 48.

14.23 [н] В любой точке траектории движения тела вектор ускорения силы тяжести можно разложить на два вектора (рис. II-54). При этом вектор центростремительного ускорения $\vec{a}_n$ направлен по нормали к траектории и обусловливает её искривление. Вектор тангенциального ускорения $\vec{a}_\tau$ направлен вдоль касательной к траектории и обеспечивает ускорение тела вдоль неё. При каком угле $\alpha$ модули векторов ускорений соотносятся следующим образом:

1) $a_\tau = 0, a_n = g$;

2) $a_\tau = g, a_n = 0$?

Рис. II-54

Дано:
Вектор ускорения свободного падения $\vec{g}$ раскладывается на две взаимно перпендикулярные составляющие: тангенциальную $\vec{a}_\tau$ и нормальную $\vec{a}_n$.
$\alpha$ - угол между касательной к траектории и горизонталью.

Найти:
Угол $\alpha$ для двух случаев:
1) $a_\tau = 0, a_n = g$
2) $a_\tau = g, a_n = 0$

Решение:
Вектор ускорения свободного падения $\vec{g}$ направлен вертикально вниз. Тангенциальное ускорение $\vec{a}_\tau$ направлено по касательной к траектории, а нормальное ускорение $\vec{a}_n$ — перпендикулярно касательной (по нормали). Угол между касательной и горизонталью равен $\alpha$. Следовательно, угол между вектором $\vec{g}$ (вертикаль) и направлением касательной будет равен $90^\circ - \alpha$.

Проектируя вектор $\vec{g}$ на направление касательной и нормали, получим модули тангенциального и нормального ускорений. Векторы $\vec{g}$, $\vec{a}_\tau$ и $\vec{a}_n$ образуют прямоугольный треугольник, где $g$ является гипотенузой.

Модуль тангенциального ускорения равен проекции $\vec{g}$ на касательную:
$a_\tau = g \cdot \cos(90^\circ - \alpha) = g \sin(\alpha)$

Модуль нормального ускорения равен проекции $\vec{g}$ на нормаль:
$a_n = g \cdot \sin(90^\circ - \alpha) = g \cos(\alpha)$

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

1) Требуется найти угол $\alpha$, при котором $a_\tau = 0$ и $a_n = g$.
Подставим условие $a_\tau = 0$ в первую формулу:
$g \sin(\alpha) = 0$
Поскольку $g \neq 0$, то $\sin(\alpha) = 0$. Это возможно, если $\alpha = 0^\circ$.
Проверим второе условие $a_n = g$ при $\alpha = 0^\circ$:
$a_n = g \cos(0^\circ) = g \cdot 1 = g$.
Условие выполняется. Физически это соответствует верхней точке траектории, где скорость тела направлена горизонтально, и касательная к траектории параллельна горизонту.

Ответ: $\alpha = 0^\circ$.

2) Требуется найти угол $\alpha$, при котором $a_\tau = g$ и $a_n = 0$.
Подставим условие $a_n = 0$ во вторую формулу:
$g \cos(\alpha) = 0$
Поскольку $g \neq 0$, то $\cos(\alpha) = 0$. Это возможно, если $\alpha = 90^\circ$.
Проверим второе условие $a_\tau = g$ при $\alpha = 90^\circ$:
$a_\tau = g \sin(90^\circ) = g \cdot 1 = g$.
Условие выполняется. Физически это соответствует движению тела по вертикали (например, в момент броска вертикально вверх или в любой момент при свободном падении без начальной горизонтальной скорости). В этом случае траектория является прямой линией, ее кривизна равна нулю, а значит, и нормальное ускорение равно нулю.

Ответ: $\alpha = 90^\circ$.