Номер 14.19, страница 47 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 14. Движение тел в поле силы тяжести. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 14.19, страница 47.

14.19 [н] Внимательно рассмотрите рисунок П-53. Опишите движение тела и составьте уравнения зависимости значений координат $x$ и $y$ от времени, а также проекций $v_y$ и $v_y$ вектора скорости на оси координат. Как вычислить скорость движения тела в любой момент времени?

Рис. П-53

Описание движения тела

На рисунке изображено движение тела, брошенного горизонтально с некоторой высоты. Такое движение является сложным, и его принято рассматривать как результат сложения двух независимых друг от друга движений:

• Движение вдоль оси ОХ (горизонтальное): В горизонтальном направлении на тело не действуют силы (сопротивлением воздуха пренебрегаем). Поэтому проекция ускорения на ось ОХ равна нулю ($a_x = 0$). Это означает, что движение тела вдоль оси ОХ является равномерным и прямолинейным. Горизонтальная составляющая скорости тела остается постоянной и равной начальной скорости $v_x = v_0$.

• Движение вдоль оси OY (вертикальное): В вертикальном направлении на тело действует постоянная сила тяжести, которая сообщает ему постоянное ускорение — ускорение свободного падения $\vec{g}$, направленное вертикально вниз. Поскольку ось OY направлена вверх, проекция ускорения на эту ось отрицательна: $a_y = -g$. Движение вдоль оси OY является равноускоренным. Так как тело брошено горизонтально, начальная проекция скорости на ось OY равна нулю ($v_{0y} = 0$).

В результате сложения этих двух движений траекторией тела является ветвь параболы. Тело одновременно смещается по горизонтали с постоянной скоростью и падает по вертикали с постоянно возрастающей по модулю скоростью.

Ответ: Движение тела, брошенного горизонтально, является криволинейным движением с постоянным ускорением $\vec{g}$. Его можно рассматривать как сумму двух независимых движений: равномерного прямолинейного движения по горизонтали и равноускоренного движения (свободного падения) по вертикали.

Уравнения зависимости координат и проекций скорости от времени

Для составления уравнений используем стандартные кинематические формулы. Систему отсчета выберем так, как показано на рисунке: начало координат (0,0) находится на земле, ось OX направлена горизонтально, а ось OY — вертикально вверх. Начальные условия (в момент времени $t=0$):

• Начальные координаты: $x_0 = 0$, $y_0 = h$.

• Начальные проекции скорости: $v_{0x} = v_0$, $v_{0y} = 0$.

• Проекции ускорения: $a_x = 0$, $a_y = -g$.

1. Уравнения для координат:

Общий вид уравнений для координат при равноускоренном движении:

$x(t) = x_0 + v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2}$

$y(t) = y_0 + v_{0y} t + \frac{a_y t^2}{2}$

Подставим наши начальные условия и проекции ускорений:

• Для координаты $x$: $x(t) = 0 + v_0 \cdot t + \frac{0 \cdot t^2}{2} = v_0 t$.

• Для координаты $y$: $y(t) = h + 0 \cdot t + \frac{(-g) t^2}{2} = h - \frac{gt^2}{2}$.

2. Уравнения для проекций скорости:

Общий вид уравнений для проекций скорости:

$v_x(t) = v_{0x} + a_x t$

$v_y(t) = v_{0y} + a_y t$

Подставим наши значения:

• Для проекции скорости $v_x$: $v_x(t) = v_0 + 0 \cdot t = v_0$.

• Для проекции скорости $v_y$: $v_y(t) = 0 + (-g)t = -gt$. (Знак "минус" показывает, что вектор вертикальной составляющей скорости направлен вниз, то есть в сторону, противоположную направлению оси OY).

Ответ: Уравнения зависимости координат и проекций скорости от времени имеют вид:
$x(t) = v_0 t$
$y(t) = h - \frac{gt^2}{2}$
$v_x(t) = v_0$
$v_y(t) = -gt$

Как вычислить скорость движения тела в любой момент времени

Скорость тела (то есть модуль его вектора скорости $\vec{v}$) в любой момент времени $t$ можно найти, зная проекции этого вектора на оси координат, $v_x$ и $v_y$. Вектор скорости $\vec{v}$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат векторы его составляющих, а их длины (модули) равны $|v_x|$ и $|v_y|$.

По теореме Пифагора, модуль скорости $v$ равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций:

$v = |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

Теперь подставим в эту формулу выражения для проекций скорости, полученные ранее: $v_x(t) = v_0$ и $v_y(t) = -gt$.

$v(t) = \sqrt{(v_0)^2 + (-gt)^2}$

Так как квадрат отрицательного числа положителен, выражение упрощается:

$v(t) = \sqrt{v_0^2 + g^2 t^2}$

Эта формула позволяет рассчитать мгновенную скорость тела в любой момент времени $t$ от начала движения до падения.

Ответ: Скорость движения тела в любой момент времени $t$ вычисляется по формуле $v(t) = \sqrt{v_x(t)^2 + v_y(t)^2}$, что для данного случая равно $v(t) = \sqrt{v_0^2 + g^2 t^2}$.