Номер 14.21, страница 47 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 14. Движение тел в поле силы тяжести. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 14.21, страница 47.

14.21 [н] Заставляя камешки прыгать

Рис. II-53

по воде, мальчик бросает их горизонтально на высоте 100 см над поверхностью воды. С какой скоростью он бросил камешек, если первый раз он коснулся воды на расстоянии 8 м? На сколько скорость камешка в момент удара о воду отличается от его начальной скорости?

Дано:

Высота броска, $h = 100$ см

Дальность полета до первого касания, $L = 8$ м

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с$^2$

Переведем все величины в систему СИ:
$h = 100 \text{ см} = 1 \text{ м}$

Найти:

1. Начальную скорость броска камешка, $v_0$

2. Разницу между скоростью в момент удара и начальной скоростью, $\Delta v = v_f - v_0$

Решение:

Движение брошенного горизонтально камешка можно рассматривать как результат сложения двух независимых движений: равномерного по горизонтали и равноускоренного (свободного падения) по вертикали. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

С какой скоростью он бросил камешек?

Сначала определим время полета камешка $t$ до касания с водой. Это время зависит только от высоты броска $h$, так как начальная вертикальная скорость равна нулю. Используем формулу для пути при равноускоренном движении:

$h = \frac{gt^2}{2}$

Отсюда выразим время полета $t$:

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Подставим известные значения:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 1 \text{ м}}{9.8 \text{ м/с}^2}} \approx \sqrt{0.204} \text{ с} \approx 0.452 \text{ с}$

За это время $t$ камешек пролетел по горизонтали расстояние $L$. Горизонтальное движение является равномерным с постоянной скоростью $v_0$ (начальная скорость броска).

$L = v_0 \cdot t$

Выразим начальную скорость $v_0$:

$v_0 = \frac{L}{t} = \frac{L}{\sqrt{2h/g}} = L \sqrt{\frac{g}{2h}}$

Подставим числовые значения:

$v_0 = 8 \text{ м} \cdot \sqrt{\frac{9.8 \text{ м/с}^2}{2 \cdot 1 \text{ м}}} = 8 \cdot \sqrt{4.9} \text{ м/с} \approx 8 \cdot 2.2136 \text{ м/с} \approx 17.71 \text{ м/с}$

Ответ: начальная скорость камешка составляет примерно $17.7$ м/с.

На сколько скорость камешка в момент удара о воду отличается от его начальной скорости?

Скорость камешка в момент удара о воду $v_f$ — это векторная сумма его горизонтальной ($v_x$) и вертикальной ($v_y$) составляющих скорости в этот момент.

Горизонтальная составляющая скорости $v_x$ не изменяется в течение всего полета:

$v_x = v_0 \approx 17.71 \text{ м/с}$

Вертикальная составляющая скорости $v_y$ в момент падения ($t \approx 0.452$ с) находится по формуле:

$v_y = gt = g \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{2gh}$

Подставим значения:

$v_y = \sqrt{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \text{ м}} = \sqrt{19.6} \text{ м/с} \approx 4.43 \text{ м/с}$

Полная скорость $v_f$ в момент удара (модуль вектора скорости) находится по теореме Пифагора:

$v_f = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

$v_f \approx \sqrt{(17.71 \text{ м/с})^2 + (4.43 \text{ м/с})^2} \approx \sqrt{313.6 + 19.6} \text{ м/с} = \sqrt{333.2} \text{ м/с} \approx 18.25 \text{ м/с}$

Теперь найдем, на сколько конечная скорость $v_f$ отличается от начальной $v_0$:

$\Delta v = v_f - v_0 \approx 18.25 \text{ м/с} - 17.71 \text{ м/с} \approx 0.54 \text{ м/с}$

Ответ: скорость камешка в момент удара о воду отличается от его начальной скорости примерно на $0.54$ м/с.