Номер 14.27, страница 48 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 14. Движение тел в поле силы тяжести. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 14.27, страница 48.

14.27 [н] Под каким углом к горизонтальной поверхности лучше бросить камешек, чтобы он улетел как можно дальше? Сопротивление воздуха не учитывайте.

Дано:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту.
Начальная скорость: $v_0$.
Угол броска к горизонту: $\alpha$.
Сопротивление воздуха не учитывается.

Найти:

Угол $\alpha$, при котором дальность полета $L$ будет максимальной ($L = L_{max}$).

Решение

Чтобы найти угол, при котором дальность полета камня будет максимальной, рассмотрим движение тела, брошенного под углом к горизонту. В соответствии с условием, сопротивлением воздуха мы пренебрегаем. Такое движение можно разложить на два независимых: равномерное прямолинейное движение вдоль горизонтальной оси и равноускоренное движение вдоль вертикальной оси с ускорением свободного падения $g$, направленным вниз.

Выберем систему координат: начало в точке броска, ось $OX$ направлена горизонтально, ось $OY$ — вертикально вверх.
Разложим вектор начальной скорости $v_0$ на составляющие:
Горизонтальная составляющая скорости (постоянна в течение всего полета): $v_x = v_0 \cos\alpha$.
Начальная вертикальная составляющая скорости: $v_{0y} = v_0 \sin\alpha$.

Запишем уравнения для координат тела как функции времени $t$:
Координата по горизонтали: $x(t) = v_x t = (v_0 \cos\alpha) t$.
Координата по вертикали: $y(t) = v_{0y} t - \frac{gt^2}{2} = (v_0 \sin\alpha) t - \frac{gt^2}{2}$.

Дальность полета $L$ — это координата $x$ в момент времени $T$, когда тело возвращается на начальную высоту (т.е. $y(T) = 0$). Найдем время полета $T$ из уравнения для $y(t)$:
$y(T) = (v_0 \sin\alpha) T - \frac{gT^2}{2} = 0$.
Вынесем $T$ за скобки: $T \left( v_0 \sin\alpha - \frac{gT}{2} \right) = 0$.
Это уравнение имеет два решения: $T=0$ (момент броска) и $v_0 \sin\alpha - \frac{gT}{2} = 0$. Из второго решения находим полное время полета:
$T = \frac{2v_0 \sin\alpha}{g}$.

Теперь подставим найденное время полета $T$ в уравнение для горизонтальной координаты, чтобы найти дальность полета $L$:
$L = x(T) = (v_0 \cos\alpha) \cdot T = (v_0 \cos\alpha) \cdot \left( \frac{2v_0 \sin\alpha}{g} \right)$.
$L = \frac{v_0^2 (2\sin\alpha\cos\alpha)}{g}$.

Применим тригонометрическое тождество для синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Тогда формула для дальности полета примет вид:
$L(\alpha) = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$.

Из этой формулы видно, что при постоянной начальной скорости $v_0$ дальность полета $L$ зависит только от угла броска $\alpha$. Дальность будет максимальной, когда значение функции $\sin(2\alpha)$ будет максимальным. Максимальное значение синуса равно 1.
$\sin(2\alpha)_{max} = 1$.
Это условие выполняется, когда аргумент синуса равен $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан):
$2\alpha = 90^\circ$.
$\alpha = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Таким образом, для достижения максимальной дальности полета камень следует бросать под углом $45^\circ$ к горизонтальной поверхности.

Ответ: для того чтобы камень улетел как можно дальше, его лучше бросить под углом $45^\circ$ к горизонтальной поверхности.