Номер 14.28, страница 49 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 14. Движение тел в поле силы тяжести. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 14.28, страница 49.

шек, чтобы он улетел как можно дальше? Сопротивление воздуха не учитывайте.

14.28* [н] В выбранной системе координат (рис. II-56) для описания движения тела кинематические уравнения

$v_x = v_0 \cos \alpha$, $v_y = v_0 \sin \alpha - gt$

$x = x_0 + v_0(\cos \alpha)t$, $y = y_0 + v_0(\sin \alpha)t - gt^2/2$

являются универсальными. Рассмотрите несколько из возможных направлений вектора начальной скорости $v_0$, сделайте рисунки и упростите уравнения с учётом правила отсчёта углов и преобразований тригонометрических функций. Можно ли поступательно переносить систему координат? Изменятся ли при этом: а) знак проекции вектора $v_0$ и вектора $g$; б) начальные координаты? Сохранят ли свою универсальность уравнения, приведённые выше, если поменять направление оси Y на противоположное?

Рис. II-56

Данные кинематические уравнения описывают движение тела, брошенного с начальной скоростью $\vec{v}_0$ под углом $\alpha$ к горизонту из точки с координатами $(x_0, y_0)$ в поле силы тяжести. Ускорение свободного падения $\vec{g}$ направлено вертикально вниз. Система координат выбрана так, что ось $X$ горизонтальна, а ось $Y$ вертикальна и направлена вверх. Угол $\alpha$ отсчитывается от положительного направления оси $X$ против часовой стрелки.

Уравнения являются проекциями векторных уравнений движения на оси координат:

$\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0 t + \frac{\vec{g}t^2}{2}$

$\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \vec{g}t$

В выбранной системе координат компоненты векторов равны: $\vec{r}_0 = (x_0, y_0)$, $\vec{v}_0 = (v_0 \cos \alpha, v_0 \sin \alpha)$, $\vec{g} = (0, -g)$. Подстановка этих компонент в векторные уравнения и дает исходные скалярные уравнения.

Рассмотрите несколько из возможных направлений вектора начальной скорости $\vec{v}_0$, сделайте рисунки и упростите уравнения с учётом правила отсчёта углов и преобразований тригонометрических функций.

Проанализируем, как данные уравнения работают для разных направлений начальной скорости, то есть для разных углов $\alpha$.

1. Тело брошено горизонтально вправо.
Вектор начальной скорости $\vec{v}_0$ направлен вдоль оси $X$. Угол $\alpha = 0^\circ$.
$\cos(0^\circ) = 1$, $\sin(0^\circ) = 0$.
Уравнения принимают вид:
$v_x = v_0 \cos(0^\circ) = v_0$
$x = x_0 + v_0 t$
$v_y = v_0 \sin(0^\circ) - gt = -gt$
$y = y_0 - gt^2/2$
Эти уравнения корректно описывают горизонтальный бросок.

2. Тело брошено вертикально вверх.
Вектор начальной скорости $\vec{v}_0$ направлен вдоль оси $Y$. Угол $\alpha = 90^\circ$.
$\cos(90^\circ) = 0$, $\sin(90^\circ) = 1$.
Уравнения принимают вид:
$v_x = v_0 \cos(90^\circ) = 0$
$x = x_0$
$v_y = v_0 \sin(90^\circ) - gt = v_0 - gt$
$y = y_0 + v_0 t - gt^2/2$
Эти уравнения корректно описывают движение тела, брошенного вертикально вверх.

3. Тело брошено влево и вверх (во вторую координатную четверть).
Пусть угол $\alpha = 135^\circ$.
$\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(135^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Уравнения принимают вид:
$v_x = -v_0 \frac{\sqrt{2}}{2}$ (проекция на ось $X$ отрицательна, что верно для движения влево)
$x = x_0 - (v_0 \frac{\sqrt{2}}{2})t$
$v_y = v_0 \frac{\sqrt{2}}{2} - gt$ (начальная проекция на ось $Y$ положительна, что верно для движения вверх)
$y = y_0 + (v_0 \frac{\sqrt{2}}{2})t - gt^2/2$
Уравнения правильно учитывают знаки проекций скорости.

4. Тело брошено вертикально вниз.
Вектор начальной скорости $\vec{v}_0$ направлен против оси $Y$. Угол $\alpha = 270^\circ$ (или $-90^\circ$).
$\cos(270^\circ) = 0$, $\sin(270^\circ) = -1$.
Уравнения принимают вид:
$v_x = 0$
$x = x_0$
$v_y = v_0 \sin(270^\circ) - gt = -v_0 - gt$
$y = y_0 + v_0(\sin(270^\circ))t - gt^2/2 = y_0 - v_0 t - gt^2/2$
Уравнения корректно описывают движение тела, брошенного вертикально вниз.

Ответ: Приведенные уравнения являются универсальными для любого направления вектора начальной скорости $\vec{v}_0$ при условии, что угол $\alpha$ отсчитывается от положительного направления оси $X$. Тригонометрические функции $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ автоматически определяют правильные знаки проекций начальной скорости на оси координат для любого угла.

Можно ли поступательно переносить систему координат?

Да, можно. Законы Ньютона, из которых следуют данные кинематические уравнения, инвариантны относительно преобразований Галилея, частным случаем которых является параллельный перенос (поступательное смещение) системы отсчета. Выбор начала координат произволен и диктуется соображениями удобства. Часто начало координат совмещают с начальным положением тела $(x_0, y_0)$, что упрощает уравнения, так как в этом случае $x_0=0$ и $y_0=0$.

Ответ: Да, систему координат можно переносить поступательно.

Изменятся ли при этом: а) знак проекции вектора $\vec{v}_0$ и вектора $\vec{g}$; б) начальные координаты?

а) При поступательном переносе системы координат оси новой системы остаются параллельны осям старой системы. Векторы, такие как скорость $\vec{v}_0$ и ускорение $\vec{g}$, не зависят от выбора начала координат. Поскольку направления осей не меняются, то и проекции этих векторов на оси ($v_{0x}, v_{0y}, g_x, g_y$) остаются неизменными. Следовательно, их знаки также не изменятся.

б) Координаты точки определяются ее положением относительно начала координат. При смещении начала координат изменятся и координаты любой точки, включая начальное положение тела. Если новая система координат $X'Y'$ смещена относительно старой $XY$ так, что ее начало $O'$ имеет координаты $(x_{O'}, y_{O'})$ в старой системе, то новые начальные координаты тела $(x'_0, y'_0)$ будут связаны со старыми $(x_0, y_0)$ соотношениями: $x'_0 = x_0 - x_{O'}$ и $y'_0 = y_0 - y_{O'}$.

Ответ: а) Нет, знаки проекций векторов $\vec{v}_0$ и $\vec{g}$ не изменятся.
б) Да, начальные координаты изменятся.

Сохранят ли свою универсальность уравнения, приведённые выше, если поменять направление оси Y на противоположное?

Нет, не сохранят. Изменение направления оси $Y$ на противоположное является поворотом системы координат, а не ее поступательным переносом. В этом случае меняются правила проецирования векторов на эту ось.

Пусть новая ось $Y'$ направлена вертикально вниз. Ось $X$ остается без изменений.

1. Проекция ускорения свободного падения $\vec{g}$ на новую ось $Y'$ станет положительной: $g'_{y} = g$ (поскольку вектор $\vec{g}$ сонаправлен с осью $Y'$). В старой системе было $g_y = -g$.

2. Проекция начальной скорости $\vec{v}_0$ на ось $Y'$ будет иметь противоположный знак по сравнению с проекцией на старую ось $Y$: $v'_{0y} = -v_{0y} = -v_0 \sin\alpha$.

3. Координата $y'$ будет связана со старой координатой $y$ как $y' = -y$. Соответственно, $y'_0 = -y_0$.

Общее уравнение для координаты $y'$ будет иметь вид: $y'(t) = y'_0 + v'_{0y} t + \frac{g'_{y} t^2}{2}$.
Подставив новые проекции, получим:
$y'(t) = -y_0 + (-v_0 \sin\alpha) t + \frac{g t^2}{2} = -y_0 - v_0 \sin\alpha t + \frac{gt^2}{2}$.

Это уравнение по своей форме отличается от исходного уравнения для координаты $y$:
$y(t) = y_0 + v_0 \sin\alpha t - \frac{gt^2}{2}$.
Как видно, знаки при членах, содержащих $v_0$ и $g$, изменились. Это означает, что исходная форма записи уравнений не является универсальной по отношению к изменению направления осей. Данные уравнения справедливы только для системы координат, где ось $Y$ направлена вверх.

Ответ: Нет, уравнения не сохранят свою универсальность. Их форма изменится, так как изменятся знаки проекций векторов $\vec{g}$ и $\vec{v}_0$ на ось $Y$.