Номер 14.25, страница 48 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

14.25 [н] Лягушка совершает прыжок длиной 2 м под углом 45° к горизонтали.

Определите:

скорость, с которой приземляется лягушка;

угол между вектором скорости и поверхностью земли в момент приземления;

высоту прыжка;

длительность прыжка.

Дано:

Дальность прыжка $L = 2$ м
Угол прыжка $\alpha = 45°$
Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

скорость приземления $v_f$ — ?
угол приземления $\beta$ — ?
высоту прыжка $H$ — ?
длительность прыжка $T$ — ?

Решение:

Движение лягушки представляет собой движение тела, брошенного под углом к горизонту. Сопротивлением воздуха можно пренебречь. Движение описывается следующими уравнениями:

Дальность полета: $L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Максимальная высота подъема: $H = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}$

Длительность полета: $T = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g}$

Здесь $v_0$ — начальная скорость, $\alpha$ — угол броска к горизонту, $g$ — ускорение свободного падения.

Для начала определим начальную скорость $v_0$, с которой лягушка совершила прыжок, используя формулу для дальности полета: $v_0 = \sqrt{\frac{Lg}{\sin(2\alpha)}}$

Подставим известные значения: $v_0 = \sqrt{\frac{2 \cdot 9.8}{\sin(2 \cdot 45°)}} = \sqrt{\frac{19.6}{\sin(90°)}} = \sqrt{19.6} \approx 4.43$ м/с.

Теперь мы можем найти все искомые величины.

скорость, с которой приземляется лягушка
В идеальных условиях (без сопротивления воздуха) траектория движения симметрична. Это означает, что модуль скорости тела в момент приземления равен модулю начальной скорости. $v_f = v_0 \approx 4.43$ м/с.

Ответ: скорость, с которой приземляется лягушка, составляет примерно 4.43 м/с.

угол между вектором скорости и поверхностью земли в момент приземления
В силу симметрии траектории, угол, под которым тело приземляется, по абсолютной величине равен начальному углу броска. Вектор скорости в момент приземления будет направлен вниз под тем же углом к горизонтали. $\beta = \alpha = 45°$.

Ответ: угол между вектором скорости и поверхностью земли в момент приземления составляет 45°.

высоту прыжка
Максимальную высоту прыжка $H$ найдем по соответствующей формуле: $H = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}$
Подставим значения $v_0^2 = 19.6$ м²/с² и $\alpha = 45°$: $H = \frac{19.6 \cdot (\sin 45°)^2}{2 \cdot 9.8} = \frac{19.6 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})^2}{19.6} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = 0.5$ м.
Для угла $45°$ существует простое соотношение $H = L/4$, которое также дает: $H = 2 / 4 = 0.5$ м.

Ответ: высота прыжка составляет 0.5 м.

длительность прыжка
Длительность (время) прыжка $T$ найдем по формуле: $T = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g}$
Подставим численные значения: $T = \frac{2 \cdot 4.43 \cdot \sin 45°}{9.8} = \frac{2 \cdot 4.43 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{9.8} = \frac{4.43 \cdot \sqrt{2}}{9.8} \approx \frac{6.26}{9.8} \approx 0.64$ с.

Ответ: длительность прыжка составляет примерно 0.64 с.