Номер 14.26, страница 48 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 14. Движение тел в поле силы тяжести. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 14.26, страница 48.

14.26* [н] В разреженных слоях атмосферы траекторию полёта тела, брошенного под углом к горизонтали, можно считать параболой. Докажите, что при одинаковой начальной скорости $\vec{v_0}$ дальность полёта тела будет одинаковой при сопряжённых углах, равных $\alpha$ и $\beta = 90^\circ - \alpha$ (рис. II-55). Во сколько раз различается максимальная высота полёта при этих углах? Сопротивление среды не учитывайте.

Рис. II-55

Дано:

Начальная скорость: $v_0$
Угол броска 1: $\alpha$
Угол броска 2: $\beta = 90^\circ - \alpha$
Сопротивление среды не учитывается.

Найти:

1. Доказать, что дальность полёта $L_\alpha = L_\beta$.
2. Найти отношение максимальных высот $\frac{H_\alpha}{H_\beta}$.

Решение:

Запишем уравнения движения тела, брошенного под углом $\theta$ к горизонту, в проекциях на оси координат (ось Y направлена вертикально вверх, ось X — горизонтально):
Координата по оси X: $x(t) = (v_0 \cos \theta) t$
Координата по оси Y: $y(t) = (v_0 \sin \theta) t - \frac{gt^2}{2}$

Докажите, что при одинаковой начальной скорости $v_0$ дальность полёта тела будет одинаковой при сопряжённых углах, равных $\alpha$ и $\beta = 90^\circ - \alpha$.

Дальность полёта $L$ — это координата $x$ в момент времени $T$, когда тело возвращается на начальную высоту, то есть $y(T) = 0$.
Найдём полное время полёта $T$ из условия $y(T) = 0$:
$(v_0 \sin \theta) T - \frac{gT^2}{2} = 0$
$T \left( v_0 \sin \theta - \frac{gT}{2} \right) = 0$
Корень $T=0$ соответствует начальному моменту времени. Второй корень даёт время полёта:
$T = \frac{2 v_0 \sin \theta}{g}$.
Подставим это время в уравнение для координаты $x(t)$ чтобы найти дальность полёта:
$L = x(T) = (v_0 \cos \theta) T = (v_0 \cos \theta) \frac{2 v_0 \sin \theta}{g} = \frac{v_0^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g}$.
Используя тригонометрическую формулу двойного угла $ \sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta $, получаем общую формулу для дальности полёта:
$L = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$.
Теперь вычислим дальность полёта для угла $\alpha$:
$L_\alpha = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$.
И для угла $\beta = 90^\circ - \alpha$:
$L_\beta = \frac{v_0^2 \sin(2\beta)}{g} = \frac{v_0^2 \sin(2(90^\circ - \alpha))}{g} = \frac{v_0^2 \sin(180^\circ - 2\alpha)}{g}$.
Применяя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем:
$L_\beta = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$.
Следовательно, $L_\alpha = L_\beta$, что и требовалось доказать.

Ответ: Дальность полёта для сопряжённых углов $\alpha$ и $\beta = 90^\circ - \alpha$ одинакова, так как $L_\alpha = L_\beta = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$.

Во сколько раз различается максимальная высота полёта при этих углах?

Максимальная высота подъёма $H$ достигается, когда вертикальная составляющая скорости становится равной нулю. Время подъёма $t_{подъёма}$ равно половине времени всего полёта: $t_{подъёма} = \frac{T}{2} = \frac{v_0 \sin \theta}{g}$.
Подставим это время в уравнение для координаты $y(t)$:
$H = y(t_{подъёма}) = (v_0 \sin \theta) \left(\frac{v_0 \sin \theta}{g}\right) - \frac{g}{2} \left(\frac{v_0 \sin \theta}{g}\right)^2 = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{g} - \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
Таким образом, общая формула для максимальной высоты:
$H = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
Найдём максимальную высоту для угла $\alpha$:
$H_\alpha = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}$.
Теперь для угла $\beta = 90^\circ - \alpha$:
$H_\beta = \frac{v_0^2 \sin^2 \beta}{2g} = \frac{v_0^2 \sin^2(90^\circ - \alpha)}{2g}$.
Используя формулу приведения $\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$, получаем:
$H_\beta = \frac{v_0^2 \cos^2 \alpha}{2g}$.
Найдём отношение максимальных высот:
$\frac{H_\alpha}{H_\beta} = \frac{\frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}}{\frac{v_0^2 \cos^2 \alpha}{2g}} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \tan^2 \alpha$.

Ответ: Максимальные высоты полёта при этих углах различаются в $\tan^2 \alpha$ раз.