Страница 48 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

14.22 [н] С какой начальной скоростью тело было брошено с высоты $h$ в горизонтальном направлении, если в конце полёта компоненты вектора скорости $v_x$ и $v_y$ оказались одинаковыми? Чему равен угол между вектором скорости и осью $X$ в момент падения на землю?

Дано:

Высота броска: $h$

Условие в момент падения: $v_x = v_y$

Найти:

Начальная скорость $v_0 - ?$

Угол падения $\alpha - ?$

Решение:

Рассмотрим движение тела в системе координат, где ось OX направлена горизонтально по направлению начальной скорости, а ось OY — вертикально вниз. Начало координат $(0,0)$ находится в точке броска.

При таком выборе системы координат начальные условия движения будут следующими:
начальная скорость по оси X: $v_{0x} = v_0$;
начальная скорость по оси Y: $v_{0y} = 0$.

Движение тела можно рассматривать как совокупность двух независимых движений: равномерного по горизонтали (ось OX) и равноускоренного (свободное падение) по вертикали (ось OY).

Запишем уравнения для компонент скорости в произвольный момент времени $t$:
Горизонтальная компонента скорости остается постоянной: $v_x(t) = v_0$.
Вертикальная компонента скорости изменяется по закону: $v_y(t) = v_{0y} + gt = gt$.

Полет тела продолжается до момента времени $T$, когда оно достигает земли. За это время тело по вертикали смещается на расстояние $h$. Используя формулу для пути при равноускоренном движении, получаем:
$h = \frac{gT^2}{2}$

Из этого уравнения можно выразить время полета $T$:
$T = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Согласно условию задачи, в момент падения на землю ($t = T$) компоненты вектора скорости $v_x$ и $v_y$ равны:
$v_x(T) = v_y(T)$

Подставляя выражения для компонент скорости, получаем:
$v_0 = gT$

Теперь, чтобы найти начальную скорость $v_0$, подставим в полученное равенство выражение для времени полета $T$:
$v_0 = g \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{g^2 \cdot \frac{2h}{g}} = \sqrt{2gh}$

Далее определим угол $\alpha$ между вектором скорости и осью OX в момент падения. Тангенс этого угла равен отношению вертикальной компоненты скорости к горизонтальной:
$\tan{\alpha} = \frac{v_y(T)}{v_x(T)}$

Поскольку по условию $v_x(T) = v_y(T)$, то:
$\tan{\alpha} = 1$

Следовательно, искомый угол равен:
$\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$

Ответ: начальная скорость тела была равна $v_0 = \sqrt{2gh}$, а угол между вектором скорости и осью X в момент падения на землю составляет $45^\circ$.

14.23 [н] В любой точке траектории движения тела вектор ускорения силы тяжести можно разложить на два вектора (рис. II-54). При этом вектор центростремительного ускорения $\vec{a}_n$ направлен по нормали к траектории и обусловливает её искривление. Вектор тангенциального ускорения $\vec{a}_\tau$ направлен вдоль касательной к траектории и обеспечивает ускорение тела вдоль неё. При каком угле $\alpha$ модули векторов ускорений соотносятся следующим образом:

1) $a_\tau = 0, a_n = g$;

2) $a_\tau = g, a_n = 0$?

Рис. II-54

Дано:
Вектор ускорения свободного падения $\vec{g}$ раскладывается на две взаимно перпендикулярные составляющие: тангенциальную $\vec{a}_\tau$ и нормальную $\vec{a}_n$.
$\alpha$ - угол между касательной к траектории и горизонталью.

Найти:
Угол $\alpha$ для двух случаев:
1) $a_\tau = 0, a_n = g$
2) $a_\tau = g, a_n = 0$

Решение:
Вектор ускорения свободного падения $\vec{g}$ направлен вертикально вниз. Тангенциальное ускорение $\vec{a}_\tau$ направлено по касательной к траектории, а нормальное ускорение $\vec{a}_n$ — перпендикулярно касательной (по нормали). Угол между касательной и горизонталью равен $\alpha$. Следовательно, угол между вектором $\vec{g}$ (вертикаль) и направлением касательной будет равен $90^\circ - \alpha$.

Проектируя вектор $\vec{g}$ на направление касательной и нормали, получим модули тангенциального и нормального ускорений. Векторы $\vec{g}$, $\vec{a}_\tau$ и $\vec{a}_n$ образуют прямоугольный треугольник, где $g$ является гипотенузой.

Модуль тангенциального ускорения равен проекции $\vec{g}$ на касательную:
$a_\tau = g \cdot \cos(90^\circ - \alpha) = g \sin(\alpha)$

Модуль нормального ускорения равен проекции $\vec{g}$ на нормаль:
$a_n = g \cdot \sin(90^\circ - \alpha) = g \cos(\alpha)$

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

1) Требуется найти угол $\alpha$, при котором $a_\tau = 0$ и $a_n = g$.
Подставим условие $a_\tau = 0$ в первую формулу:
$g \sin(\alpha) = 0$
Поскольку $g \neq 0$, то $\sin(\alpha) = 0$. Это возможно, если $\alpha = 0^\circ$.
Проверим второе условие $a_n = g$ при $\alpha = 0^\circ$:
$a_n = g \cos(0^\circ) = g \cdot 1 = g$.
Условие выполняется. Физически это соответствует верхней точке траектории, где скорость тела направлена горизонтально, и касательная к траектории параллельна горизонту.

Ответ: $\alpha = 0^\circ$.

2) Требуется найти угол $\alpha$, при котором $a_\tau = g$ и $a_n = 0$.
Подставим условие $a_n = 0$ во вторую формулу:
$g \cos(\alpha) = 0$
Поскольку $g \neq 0$, то $\cos(\alpha) = 0$. Это возможно, если $\alpha = 90^\circ$.
Проверим второе условие $a_\tau = g$ при $\alpha = 90^\circ$:
$a_\tau = g \sin(90^\circ) = g \cdot 1 = g$.
Условие выполняется. Физически это соответствует движению тела по вертикали (например, в момент броска вертикально вверх или в любой момент при свободном падении без начальной горизонтальной скорости). В этом случае траектория является прямой линией, ее кривизна равна нулю, а значит, и нормальное ускорение равно нулю.

Ответ: $\alpha = 90^\circ$.

14.24 [н] Тело брошено с некоторой начальной скоростью $v_0$ под углом $0 < \alpha < 90^\circ$ к горизонтали. По какой траектории оно будет двигаться, если масштабы движения невелики и силы сопротивления не оказывают влияния на это движение? Равны ли начальная и конечная скорости полёта тела при этих условиях? Составьте кинематические уравнения для координат $x$ и $y$, а также для компонент $v_x$ и $v_y$ вектора скорости тела в зависимости от времени.

Какая величина принимает значение, равное $0$:

1) в верхней точке траектории;

2) в конце полёта?

Дано:

Начальная скорость: $v_0$

Угол к горизонту: $\alpha$ ($0 < \alpha < 90^\circ$)

Ускорение свободного падения: $g$

Сопротивление воздуха отсутствует.

Найти:

1. Траекторию движения.

2. Сравнить начальную и конечную скорости.

3. Кинематические уравнения: $x(t)$, $y(t)$, $v_x(t)$, $v_y(t)$.

4. Величину, равную нулю в верхней точке траектории и в конце полёта.

Решение:

Выберем систему отсчёта, связанную с Землей. Начало координат $(0,0)$ поместим в точку броска. Ось $OX$ направим горизонтально по направлению полёта, а ось $OY$ — вертикально вверх. В этом случае на тело действует только сила тяжести, сообщающая ему ускорение $\vec{g}$, направленное вертикально вниз. Таким образом, проекции ускорения на оси координат равны $a_x = 0$ и $a_y = -g$.

Начальную скорость $\vec{v}_0$ разложим на компоненты: $v_{0x} = v_0 \cos \alpha$ и $v_{0y} = v_0 \sin \alpha$.

Составьте кинематические уравнения для координат x и y, а также для компонент v_x и v_y вектора скорости тела в зависимости от времени.

Движение тела является суперпозицией двух независимых движений: равномерного вдоль оси $OX$ (так как $a_x = 0$) и равноускоренного вдоль оси $OY$ (так как $a_y = -g$).

Зависимость компонент скорости от времени:

$v_x(t) = v_{0x} + a_x t = v_0 \cos \alpha$

$v_y(t) = v_{0y} + a_y t = v_0 \sin \alpha - gt$

Зависимость координат от времени (учитывая, что $x_0=0, y_0=0$):

$x(t) = x_0 + v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2} = (v_0 \cos \alpha) t$

$y(t) = y_0 + v_{0y} t + \frac{a_y t^2}{2} = (v_0 \sin \alpha) t - \frac{gt^2}{2}$

Ответ: Кинематические уравнения имеют вид:

$v_x(t) = v_0 \cos \alpha$

$v_y(t) = v_0 \sin \alpha - gt$

$x(t) = (v_0 \cos \alpha) t$

$y(t) = (v_0 \sin \alpha) t - \frac{gt^2}{2}$

По какой траектории оно будет двигаться, если масштабы движения невелики и силы сопротивления не оказывают влияния на это движение?

Чтобы найти уравнение траектории $y(x)$, необходимо исключить время $t$ из системы уравнений для координат. Из уравнения для $x(t)$ выразим время: $t = \frac{x}{v_0 \cos \alpha}$. Подставим это выражение в уравнение для $y(t)$:

$y(x) = (v_0 \sin \alpha) \left( \frac{x}{v_0 \cos \alpha} \right) - \frac{g}{2} \left( \frac{x}{v_0 \cos \alpha} \right)^2$

Упростив, получаем уравнение траектории:

$y(x) = x \tan \alpha - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha} x^2$

Это уравнение вида $y = Ax - Bx^2$ ($A$ и $B$ — положительные константы), которое является каноническим уравнением параболы, ветви которой направлены вниз.

Ответ: Тело будет двигаться по параболе.

Равны ли начальная и конечная скорости полёта тела при этих условиях?

Начальный вектор скорости: $\vec{v}_0 = (v_0 \cos \alpha) \hat{i} + (v_0 \sin \alpha) \hat{j}$.

Для нахождения конечной скорости найдём полное время полёта $T$. Полёт заканчивается при возвращении тела на начальную высоту, т.е. при $y(T)=0$.

$(v_0 \sin \alpha) T - \frac{gT^2}{2} = 0 \implies T \left( v_0 \sin \alpha - \frac{gT}{2} \right) = 0$.

Отсюда время полёта $T = \frac{2 v_0 \sin \alpha}{g}$ (решение $T=0$ соответствует началу движения).

Компоненты конечной скорости $\vec{v}_k$ в момент времени $t=T$:

$v_{kx} = v_x(T) = v_0 \cos \alpha$

$v_{ky} = v_y(T) = v_0 \sin \alpha - gT = v_0 \sin \alpha - g \frac{2 v_0 \sin \alpha}{g} = -v_0 \sin \alpha$

Конечный вектор скорости: $\vec{v}_k = (v_0 \cos \alpha) \hat{i} - (v_0 \sin \alpha) \hat{j}$.

Сравнивая векторы $\vec{v}_0$ и $\vec{v}_k$, мы видим, что они не равны, так как их вертикальные компоненты имеют противоположные знаки. Однако их модули (скалярные скорости) равны:

$|\vec{v}_k| = \sqrt{(v_0 \cos \alpha)^2 + (-v_0 \sin \alpha)^2} = \sqrt{v_0^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)} = v_0 = |\vec{v}_0|$.

Ответ: Начальная и конечная скорости как векторы не равны, так как они имеют разное направление. Их модули равны.

Какая величина принимает значение, равное 0:

1) в верхней точке траектории;

В верхней точке траектории тело достигает максимальной высоты. В этот момент его вертикальная скорость обращается в ноль, так как тело прекращает подниматься и начинает опускаться. Горизонтальная скорость при этом остаётся постоянной и не равной нулю.

Ответ: В верхней точке траектории равна нулю вертикальная компонента скорости ($v_y = 0$).

2) в конце полёта?

В конце полёта (при условии возвращения на начальную высоту) тело оказывается в точке с координатами $(x(T), 0)$. Таким образом, его вертикальная координата $y$ равна нулю. Это также означает, что его вертикальное перемещение за всё время полёта равно нулю.

Ответ: В конце полёта равна нулю вертикальная координата тела ($y = 0$).

14.25 [н] Лягушка совершает прыжок длиной 2 м под углом 45° к горизонтали.

Определите:

скорость, с которой приземляется лягушка;

угол между вектором скорости и поверхностью земли в момент приземления;

высоту прыжка;

длительность прыжка.

Дано:

Дальность прыжка $L = 2$ м
Угол прыжка $\alpha = 45°$
Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

скорость приземления $v_f$ — ?
угол приземления $\beta$ — ?
высоту прыжка $H$ — ?
длительность прыжка $T$ — ?

Решение:

Движение лягушки представляет собой движение тела, брошенного под углом к горизонту. Сопротивлением воздуха можно пренебречь. Движение описывается следующими уравнениями:

Дальность полета: $L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Максимальная высота подъема: $H = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}$

Длительность полета: $T = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g}$

Здесь $v_0$ — начальная скорость, $\alpha$ — угол броска к горизонту, $g$ — ускорение свободного падения.

Для начала определим начальную скорость $v_0$, с которой лягушка совершила прыжок, используя формулу для дальности полета: $v_0 = \sqrt{\frac{Lg}{\sin(2\alpha)}}$

Подставим известные значения: $v_0 = \sqrt{\frac{2 \cdot 9.8}{\sin(2 \cdot 45°)}} = \sqrt{\frac{19.6}{\sin(90°)}} = \sqrt{19.6} \approx 4.43$ м/с.

Теперь мы можем найти все искомые величины.

скорость, с которой приземляется лягушка
В идеальных условиях (без сопротивления воздуха) траектория движения симметрична. Это означает, что модуль скорости тела в момент приземления равен модулю начальной скорости. $v_f = v_0 \approx 4.43$ м/с.

Ответ: скорость, с которой приземляется лягушка, составляет примерно 4.43 м/с.

угол между вектором скорости и поверхностью земли в момент приземления
В силу симметрии траектории, угол, под которым тело приземляется, по абсолютной величине равен начальному углу броска. Вектор скорости в момент приземления будет направлен вниз под тем же углом к горизонтали. $\beta = \alpha = 45°$.

Ответ: угол между вектором скорости и поверхностью земли в момент приземления составляет 45°.

высоту прыжка
Максимальную высоту прыжка $H$ найдем по соответствующей формуле: $H = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}$
Подставим значения $v_0^2 = 19.6$ м²/с² и $\alpha = 45°$: $H = \frac{19.6 \cdot (\sin 45°)^2}{2 \cdot 9.8} = \frac{19.6 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})^2}{19.6} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = 0.5$ м.
Для угла $45°$ существует простое соотношение $H = L/4$, которое также дает: $H = 2 / 4 = 0.5$ м.

Ответ: высота прыжка составляет 0.5 м.

длительность прыжка
Длительность (время) прыжка $T$ найдем по формуле: $T = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g}$
Подставим численные значения: $T = \frac{2 \cdot 4.43 \cdot \sin 45°}{9.8} = \frac{2 \cdot 4.43 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{9.8} = \frac{4.43 \cdot \sqrt{2}}{9.8} \approx \frac{6.26}{9.8} \approx 0.64$ с.

Ответ: длительность прыжка составляет примерно 0.64 с.

14.26* [н] В разреженных слоях атмосферы траекторию полёта тела, брошенного под углом к горизонтали, можно считать параболой. Докажите, что при одинаковой начальной скорости $\vec{v_0}$ дальность полёта тела будет одинаковой при сопряжённых углах, равных $\alpha$ и $\beta = 90^\circ - \alpha$ (рис. II-55). Во сколько раз различается максимальная высота полёта при этих углах? Сопротивление среды не учитывайте.

Рис. II-55

Дано:

Начальная скорость: $v_0$
Угол броска 1: $\alpha$
Угол броска 2: $\beta = 90^\circ - \alpha$
Сопротивление среды не учитывается.

Найти:

1. Доказать, что дальность полёта $L_\alpha = L_\beta$.
2. Найти отношение максимальных высот $\frac{H_\alpha}{H_\beta}$.

Решение:

Запишем уравнения движения тела, брошенного под углом $\theta$ к горизонту, в проекциях на оси координат (ось Y направлена вертикально вверх, ось X — горизонтально):
Координата по оси X: $x(t) = (v_0 \cos \theta) t$
Координата по оси Y: $y(t) = (v_0 \sin \theta) t - \frac{gt^2}{2}$

Докажите, что при одинаковой начальной скорости $v_0$ дальность полёта тела будет одинаковой при сопряжённых углах, равных $\alpha$ и $\beta = 90^\circ - \alpha$.

Дальность полёта $L$ — это координата $x$ в момент времени $T$, когда тело возвращается на начальную высоту, то есть $y(T) = 0$.
Найдём полное время полёта $T$ из условия $y(T) = 0$:
$(v_0 \sin \theta) T - \frac{gT^2}{2} = 0$
$T \left( v_0 \sin \theta - \frac{gT}{2} \right) = 0$
Корень $T=0$ соответствует начальному моменту времени. Второй корень даёт время полёта:
$T = \frac{2 v_0 \sin \theta}{g}$.
Подставим это время в уравнение для координаты $x(t)$ чтобы найти дальность полёта:
$L = x(T) = (v_0 \cos \theta) T = (v_0 \cos \theta) \frac{2 v_0 \sin \theta}{g} = \frac{v_0^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g}$.
Используя тригонометрическую формулу двойного угла $ \sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta $, получаем общую формулу для дальности полёта:
$L = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$.
Теперь вычислим дальность полёта для угла $\alpha$:
$L_\alpha = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$.
И для угла $\beta = 90^\circ - \alpha$:
$L_\beta = \frac{v_0^2 \sin(2\beta)}{g} = \frac{v_0^2 \sin(2(90^\circ - \alpha))}{g} = \frac{v_0^2 \sin(180^\circ - 2\alpha)}{g}$.
Применяя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем:
$L_\beta = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$.
Следовательно, $L_\alpha = L_\beta$, что и требовалось доказать.

Ответ: Дальность полёта для сопряжённых углов $\alpha$ и $\beta = 90^\circ - \alpha$ одинакова, так как $L_\alpha = L_\beta = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$.

Во сколько раз различается максимальная высота полёта при этих углах?

Максимальная высота подъёма $H$ достигается, когда вертикальная составляющая скорости становится равной нулю. Время подъёма $t_{подъёма}$ равно половине времени всего полёта: $t_{подъёма} = \frac{T}{2} = \frac{v_0 \sin \theta}{g}$.
Подставим это время в уравнение для координаты $y(t)$:
$H = y(t_{подъёма}) = (v_0 \sin \theta) \left(\frac{v_0 \sin \theta}{g}\right) - \frac{g}{2} \left(\frac{v_0 \sin \theta}{g}\right)^2 = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{g} - \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
Таким образом, общая формула для максимальной высоты:
$H = \frac{v_0^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
Найдём максимальную высоту для угла $\alpha$:
$H_\alpha = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}$.
Теперь для угла $\beta = 90^\circ - \alpha$:
$H_\beta = \frac{v_0^2 \sin^2 \beta}{2g} = \frac{v_0^2 \sin^2(90^\circ - \alpha)}{2g}$.
Используя формулу приведения $\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$, получаем:
$H_\beta = \frac{v_0^2 \cos^2 \alpha}{2g}$.
Найдём отношение максимальных высот:
$\frac{H_\alpha}{H_\beta} = \frac{\frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}}{\frac{v_0^2 \cos^2 \alpha}{2g}} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \tan^2 \alpha$.

Ответ: Максимальные высоты полёта при этих углах различаются в $\tan^2 \alpha$ раз.

14.27 [н] Под каким углом к горизонтальной поверхности лучше бросить камешек, чтобы он улетел как можно дальше? Сопротивление воздуха не учитывайте.

Дано:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту.
Начальная скорость: $v_0$.
Угол броска к горизонту: $\alpha$.
Сопротивление воздуха не учитывается.

Найти:

Угол $\alpha$, при котором дальность полета $L$ будет максимальной ($L = L_{max}$).

Решение

Чтобы найти угол, при котором дальность полета камня будет максимальной, рассмотрим движение тела, брошенного под углом к горизонту. В соответствии с условием, сопротивлением воздуха мы пренебрегаем. Такое движение можно разложить на два независимых: равномерное прямолинейное движение вдоль горизонтальной оси и равноускоренное движение вдоль вертикальной оси с ускорением свободного падения $g$, направленным вниз.

Выберем систему координат: начало в точке броска, ось $OX$ направлена горизонтально, ось $OY$ — вертикально вверх.
Разложим вектор начальной скорости $v_0$ на составляющие:
Горизонтальная составляющая скорости (постоянна в течение всего полета): $v_x = v_0 \cos\alpha$.
Начальная вертикальная составляющая скорости: $v_{0y} = v_0 \sin\alpha$.

Запишем уравнения для координат тела как функции времени $t$:
Координата по горизонтали: $x(t) = v_x t = (v_0 \cos\alpha) t$.
Координата по вертикали: $y(t) = v_{0y} t - \frac{gt^2}{2} = (v_0 \sin\alpha) t - \frac{gt^2}{2}$.

Дальность полета $L$ — это координата $x$ в момент времени $T$, когда тело возвращается на начальную высоту (т.е. $y(T) = 0$). Найдем время полета $T$ из уравнения для $y(t)$:
$y(T) = (v_0 \sin\alpha) T - \frac{gT^2}{2} = 0$.
Вынесем $T$ за скобки: $T \left( v_0 \sin\alpha - \frac{gT}{2} \right) = 0$.
Это уравнение имеет два решения: $T=0$ (момент броска) и $v_0 \sin\alpha - \frac{gT}{2} = 0$. Из второго решения находим полное время полета:
$T = \frac{2v_0 \sin\alpha}{g}$.

Теперь подставим найденное время полета $T$ в уравнение для горизонтальной координаты, чтобы найти дальность полета $L$:
$L = x(T) = (v_0 \cos\alpha) \cdot T = (v_0 \cos\alpha) \cdot \left( \frac{2v_0 \sin\alpha}{g} \right)$.
$L = \frac{v_0^2 (2\sin\alpha\cos\alpha)}{g}$.

Применим тригонометрическое тождество для синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Тогда формула для дальности полета примет вид:
$L(\alpha) = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$.

Из этой формулы видно, что при постоянной начальной скорости $v_0$ дальность полета $L$ зависит только от угла броска $\alpha$. Дальность будет максимальной, когда значение функции $\sin(2\alpha)$ будет максимальным. Максимальное значение синуса равно 1.
$\sin(2\alpha)_{max} = 1$.
Это условие выполняется, когда аргумент синуса равен $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан):
$2\alpha = 90^\circ$.
$\alpha = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Таким образом, для достижения максимальной дальности полета камень следует бросать под углом $45^\circ$ к горизонтальной поверхности.

Ответ: для того чтобы камень улетел как можно дальше, его лучше бросить под углом $45^\circ$ к горизонтальной поверхности.