Страница 44 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

13.17 [297] Чему равно ускорение свободного падения над поверхностью Земли на высоте, равной двум её радиусам?

Дано:

Высота над поверхностью Земли: $h = 2R_З$
Ускорение свободного падения на поверхности Земли: $g_0 \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$
Радиус Земли: $R_З$

Найти:

Ускорение свободного падения на высоте $h$: $g_h$

Решение:

Сила гравитационного притяжения, действующая на тело массой $m$ на расстоянии $r$ от центра Земли (массой $M_З$), определяется законом всемирного тяготения: $F = G \frac{M_З m}{r^2}$. Согласно второму закону Ньютона, эта же сила сообщает телу ускорение свободного падения $g$: $F = mg$. Приравнивая эти два выражения, получаем формулу для ускорения свободного падения:

$mg = G \frac{M_З m}{r^2} \implies g = G \frac{M_З}{r^2}$

На поверхности Земли расстояние до центра равно радиусу Земли ($r = R_З$). Ускорение свободного падения на поверхности ($g_0$) равно:

$g_0 = G \frac{M_З}{R_З^2}$

На высоте $h$ над поверхностью Земли расстояние от ее центра составляет $r = R_З + h$. Ускорение свободного падения на этой высоте ($g_h$) будет равно:

$g_h = G \frac{M_З}{(R_З + h)^2}$

По условию задачи, высота $h = 2R_З$. Подставим это значение в выражение для расстояния $r$:

$r = R_З + 2R_З = 3R_З$

Теперь подставим полученное расстояние $r$ в формулу для $g_h$:

$g_h = G \frac{M_З}{(3R_З)^2} = G \frac{M_З}{9R_З^2}$

Чтобы найти отношение $g_h$ к $g_0$, разделим второе уравнение на первое, либо просто заметим, что $G \frac{M_З}{R_З^2}$ является выражением для $g_0$:

$g_h = \frac{1}{9} \left( G \frac{M_З}{R_З^2} \right) = \frac{g_0}{9}$

Таким образом, ускорение свободного падения на высоте, равной двум радиусам Земли, в 9 раз меньше, чем на ее поверхности. Вычислим его численное значение, используя $g_0 \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$:

$g_h = \frac{9.8 \, \text{м/с}^2}{9} \approx 1.09 \, \text{м/с}^2$

Ответ: ускорение свободного падения на высоте, равной двум радиусам Земли, равно примерно $1.09 \, \text{м/с}^2$.

13.18* [298*] На какой высоте над поверхностью Земли сила тяготения в 2 раза меньше, чем на поверхности Земли?

Дано:

Отношение силы тяготения на поверхности Земли ($F_0$) к силе тяготения на высоте $h$ ($F_h$): $\frac{F_0}{F_h} = 2$

Радиус Земли: $R_З \approx 6400 \text{ км}$

Перевод в СИ:

$R_З \approx 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \times 10^6 \text{ м}$

Найти:

$h$ - высота над поверхностью Земли.

Решение:

Сила всемирного тяготения описывается законом Ньютона:

$F = G \frac{M m}{r^2}$

где $G$ – гравитационная постоянная, $M$ – масса Земли, $m$ – масса тела, а $r$ – расстояние от центра Земли до тела.

На поверхности Земли расстояние до центра равно радиусу Земли, $r = R_З$. Сила тяготения в этом случае:

$F_0 = G \frac{M m}{R_З^2}$

На высоте $h$ над поверхностью Земли расстояние до центра составляет $r = R_З + h$. Сила тяготения на этой высоте:

$F_h = G \frac{M m}{(R_З + h)^2}$

Согласно условию задачи, сила тяготения на поверхности в 2 раза больше, чем на высоте $h$:

$F_0 = 2 F_h$

Подставим выражения для сил в это равенство:

$G \frac{M m}{R_З^2} = 2 \cdot G \frac{M m}{(R_З + h)^2}$

Сократим общие множители $G, M, m$:

$\frac{1}{R_З^2} = \frac{2}{(R_З + h)^2}$

Выразим отсюда $(R_З + h)^2$:

$(R_З + h)^2 = 2 R_З^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (расстояние может быть только положительным):

$R_З + h = \sqrt{2} R_З$

Теперь выразим искомую высоту $h$:

$h = \sqrt{2} R_З - R_З = R_З (\sqrt{2} - 1)$

Подставим числовые значения. Примем радиус Земли $R_З \approx 6400 \text{ км}$ и $\sqrt{2} \approx 1.414$.

$h \approx 6400 \text{ км} \cdot (1.414 - 1) = 6400 \text{ км} \cdot 0.414$

$h \approx 2649.6 \text{ км}$

Ответ: высота, на которой сила тяготения в 2 раза меньше, чем на поверхности, составляет примерно 2650 км.

13.19* [299*] С какой силой притягивается к центру Земли тело массой $m$, находящееся в глубокой шахте, если расстояние от центра Земли до тела равно $r$? Плотность Земли считайте всюду одинаковой и равной $\rho$.

Дано:

Масса тела: $m$

Расстояние от центра Земли до тела: $r$

Плотность Земли: $\rho$

Найти:

Силу притяжения $F$

Решение

Согласно теореме о притяжении шаровым слоем (которая является следствием закона всемирного тяготения для сферически-симметричных тел), гравитационная сила, действующая на тело, находящееся внутри сферы, создается только той частью массы сферы, которая находится на меньшем расстоянии от центра, чем само тело. Масса внешнего по отношению к телу шарового слоя не создает результирующей силы притяжения.

Следовательно, сила притяжения $F$, действующая на тело массой $m$ на расстоянии $r$ от центра Земли, определяется массой $M_r$ той части Земли, которая заключена в сфере радиуса $r$. По закону всемирного тяготения:

$F = G \frac{M_r \cdot m}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная.

По условию задачи, плотность Земли $\rho$ является постоянной. Массу $M_r$ можно выразить через плотность и объем $V_r$ сферы радиусом $r$:

$V_r = \frac{4}{3}\pi r^3$

Тогда масса этой части Земли равна:

$M_r = \rho \cdot V_r = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$

Подставим это выражение для $M_r$ в формулу силы притяжения:

$F = G \frac{(\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3) \cdot m}{r^2}$

Сократим $r^2$ в числителе и знаменателе, чтобы упростить выражение:

$F = \frac{4}{3} \pi G \rho m \frac{r^3}{r^2}$

$F = \frac{4}{3} \pi G \rho m r$

Таким образом, сила притяжения, действующая на тело внутри Земли, прямо пропорциональна расстоянию от ее центра.

Ответ: $F = \frac{4}{3} \pi G \rho m r$.

13.20* [300*] Планета Марс имеет два спутника — Фобос и Деймос. Первый находится на расстоянии 9500 км от центра Марса, второй — на расстоянии 24 000 км. Определите периоды обращения этих спутников вокруг Марса.

Дано:

Расстояние от центра Марса до первого спутника (Фобоса): $r_1 = 9500 \text{ км}$
Расстояние от центра Марса до второго спутника (Деймоса): $r_2 = 24000 \text{ км}$
Для решения задачи потребуются справочные данные:
Гравитационная постоянная: $G \approx 6.674 \times 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$
Масса Марса: $M_M \approx 6.42 \times 10^{23} \text{ кг}$

Перевод данных в систему СИ:
$r_1 = 9500 \text{ км} = 9500 \times 10^3 \text{ м} = 9.5 \times 10^6 \text{ м}$
$r_2 = 24000 \text{ км} = 24000 \times 10^3 \text{ м} = 2.4 \times 10^7 \text{ м}$

Найти:

Период обращения первого спутника $T_1$ и период обращения второго спутника $T_2$.

Решение:

Спутники Марса движутся по орбитам под действием силы всемирного тяготения со стороны планеты. Эта сила является центростремительной, которая удерживает спутники на их орбитах. Для простоты будем считать орбиты спутников круговыми.

Согласно второму закону Ньютона, сила тяготения $F_g$, действующая на спутник, равна произведению массы спутника $m$ на его центростремительное ускорение $a_c$: $F_g = m \cdot a_c$.

Сила всемирного тяготения описывается формулой: $F_g = G \frac{M_M m}{r^2}$, где $M_M$ – масса Марса, $m$ – масса спутника, $r$ – радиус его орбиты, а $G$ – гравитационная постоянная.

Центростремительное ускорение при движении по окружности радиуса $r$ с линейной скоростью $v$ равно $a_c = \frac{v^2}{r}$.

Приравнивая выражения для силы, получаем: $G \frac{M_M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

Скорость движения по орбите $v$ связана с периодом обращения $T$ как $v = \frac{2\pi r}{T}$. Подставим это выражение в уравнение выше: $G \frac{M_M m}{r^2} = m \frac{(2\pi r / T)^2}{r} = \frac{4\pi^2 m r}{T^2}$

Сократив массу спутника $m$, можно выразить квадрат периода обращения: $T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{G M_M}$

Отсюда формула для периода обращения спутника: $T = \sqrt{\frac{4\pi^2 r^3}{G M_M}} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G M_M}}$

Теперь, используя эту формулу, рассчитаем периоды обращения для каждого спутника.

Для первого спутника (Фобоса) с радиусом орбиты $r_1 = 9.5 \times 10^6 \text{ м}$: $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{(9.5 \times 10^6 \text{ м})^3}{6.674 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 6.42 \times 10^{23} \text{ кг}}} \approx 2\pi \sqrt{\frac{8.574 \times 10^{20}}{4.284 \times 10^{13}}} \text{ с}$ $T_1 \approx 2\pi \sqrt{2.001 \times 10^7} \text{ с} \approx 6.283 \cdot 4473.5 \text{ с} \approx 28109 \text{ с}$

Для второго спутника (Деймоса) с радиусом орбиты $r_2 = 2.4 \times 10^7 \text{ м}$: $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{(2.4 \times 10^7 \text{ м})^3}{6.674 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 6.42 \times 10^{23} \text{ кг}}} \approx 2\pi \sqrt{\frac{1.3824 \times 10^{22}}{4.284 \times 10^{13}}} \text{ с}$ $T_2 \approx 2\pi \sqrt{3.227 \times 10^8} \text{ с} \approx 6.283 \cdot 17964 \text{ с} \approx 112870 \text{ с}$

Для удобства можно перевести полученные значения в часы, зная что 1 час = 3600 секунд: $T_1 \approx \frac{28109 \text{ с}}{3600 \text{ с/ч}} \approx 7.81 \text{ ч}$
$T_2 \approx \frac{112870 \text{ с}}{3600 \text{ с/ч}} \approx 31.35 \text{ ч}$

Ответ: период обращения первого спутника (Фобоса) составляет примерно $28100 \text{ с}$ (около $7.8 \text{ часов}$), а период обращения второго спутника (Деймоса) — примерно $112900 \text{ с}$ (около $31.4 \text{ часов}$).

13.21 [301] Во сколько раз сила притяжения между Луной и Солнцем больше, чем сила притяжения между Луной и Землёй?

Как объяснить, что Луна является всё же спутником Земли?

Во сколько раз сила притяжения между Луной и Солнцем больше, чем сила притяжения между Луной и Землёй?

Дано:

Найти:

Решение:

Сила гравитационного притяжения между двумя телами определяется законом всемирного тяготения:

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

Сила притяжения между Луной и Солнцем ($F_{ЛС}$) равна:

$F_{ЛС} = G \frac{M_Л M_С}{R_{ЛС}^2}$

где $M_Л$ – масса Луны, а $R_{ЛС}$ – расстояние между Луной и Солнцем. Поскольку расстояние от Земли до Луны значительно меньше расстояния от Земли до Солнца ($R_{ЛЗ} \ll R_{ЗС}$), можно с хорошей точностью считать, что расстояние от Луны до Солнца примерно равно расстоянию от Земли до Солнца: $R_{ЛС} \approx R_{ЗС}$.

Сила притяжения между Луной и Землёй ($F_{ЛЗ}$) равна:

$F_{ЛЗ} = G \frac{M_Л M_З}{R_{ЛЗ}^2}$

Найдем отношение этих сил. Гравитационная постоянная $G$ и масса Луны $M_Л$ сокращаются:

$\frac{F_{ЛС}}{F_{ЛЗ}} = \frac{G \frac{M_Л M_С}{R_{ЛС}^2}}{G \frac{M_Л M_З}{R_{ЛЗ}^2}} = \frac{M_С}{M_З} \cdot (\frac{R_{ЛЗ}}{R_{ЛС}})^2$

Подставим известные значения, приняв $R_{ЛС} \approx R_{ЗС}$:

$\frac{F_{ЛС}}{F_{ЛЗ}} \approx \frac{1.989 \times 10^{30} \text{ кг}}{5.972 \times 10^{24} \text{ кг}} \cdot (\frac{3.844 \times 10^8 \text{ м}}{1.496 \times 10^{11} \text{ м}})^2$

$\frac{F_{ЛС}}{F_{ЛЗ}} \approx (3.33 \times 10^5) \cdot (2.57 \times 10^{-3})^2 \approx (3.33 \times 10^5) \cdot (6.60 \times 10^{-6}) \approx 2.2$

Ответ: Сила притяжения между Луной и Солнцем примерно в 2,2 раза больше, чем сила притяжения между Луной и Землёй.

Как объяснить, что Луна является всё же спутником Земли?

Тот факт, что Луна является спутником Земли, несмотря на более сильное притяжение со стороны Солнца, объясняется тем, что для определения орбиты Луны вокруг Земли важна не абсолютная величина силы, а относительные ускорения.

Солнце притягивает не только Луну, но и Землю. Поскольку они находятся очень близко друг к другу по сравнению с их расстоянием до Солнца, ускорения, которые Солнце сообщает Земле и Луне, почти одинаковы. В результате вся система Земля-Луна обращается вокруг Солнца как единое целое, находясь в состоянии "свободного падения" относительно него.

Движение Луны относительно Земли определяется в первую очередь гравитационным полем Земли и, во вторую, разностью сил притяжения Солнца, действующих на Луну и на Землю. Эта разностная (приливная) сила со стороны Солнца пытается "оторвать" Луну от Земли, но она значительно слабее, чем прямое притяжение Луны к Земле.

Ускорение, сообщаемое Луне гравитационным полем Земли ($a_{ЛЗ}$), которое и удерживает ее на орбите, составляет $a_{ЛЗ} = G \frac{M_З}{R_{ЛЗ}^2} \approx 0.0027 \text{ м/с}^2$. В то же время, разность ускорений (ускорение от приливной силы Солнца) намного меньше: $a_{прил} \approx 2G \frac{M_С R_{ЛЗ}}{R_{ЗС}^3} \approx 0.00003 \text{ м/с}^2$.

Таким образом, гравитационное влияние Земли на относительное движение Луны почти в 90 раз сильнее, чем возмущающее влияние Солнца. Это означает, что Луна находится глубоко внутри сферы гравитационного доминирования Земли (так называемой сферы Хилла) и поэтому является её стабильным спутником.

Ответ: Луна является спутником Земли, так как её движение относительно Земли определяется в первую очередь силой притяжения к Земле. Хотя абсолютная сила притяжения Солнца больше, оно почти одинаково действует и на Землю, и на Луну, заставляя их вместе обращаться вокруг себя. Сила притяжения Земли к Луне значительно превосходит разницу сил притяжения Солнца к Земле и к Луне (приливную силу), которая и пытается повлиять на орбиту Луны вокруг Земли.

13.22 [302] Какую скорость должен иметь искусственный спутник, чтобы обращаться по круговой орбите на высоте 630 км над поверхностью Земли? Чему равен период его обращения в этом случае? (Спутник запускается в направлении с севера на юг.)

Дано:

Высота орбиты: $h = 630 \text{ км}$
Гравитационная постоянная: $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$
Масса Земли: $M_З \approx 5.97 \cdot 10^{24} \text{ кг}$
Средний радиус Земли: $R_З \approx 6370 \text{ км}$

Найти:

1. $v$ — скорость спутника.
2. $T$ — период обращения спутника.

Решение:

Какую скорость должен иметь искусственный спутник, чтобы обращаться по круговой орбите на высоте 630 км над поверхностью Земли?

Для движения спутника по круговой орбите сила гравитационного притяжения Земли должна быть равна центростремительной силе, удерживающей спутник на орбите. Согласно второму закону Ньютона:

$F_{грав} = F_{центр}$

Сила гравитации определяется законом всемирного тяготения: $F_{грав} = G \frac{M_З m}{r^2}$, а центростремительная сила: $F_{центр} = \frac{m v^2}{r}$. Здесь $m$ — масса спутника, $M_З$ — масса Земли, $v$ — искомая скорость спутника, а $r$ — радиус орбиты.

Приравняем выражения для сил:

$G \frac{M_З m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

Сократив массу спутника $m$ и радиус $r$, получим выражение для квадрата скорости:

$v^2 = \frac{G M_З}{r}$

Отсюда скорость равна:

$v = \sqrt{\frac{G M_З}{r}}$

Радиус орбиты $r$ равен сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты орбиты $h$:

$r = R_З + h = 6.37 \cdot 10^6 \text{ м} + 0.63 \cdot 10^6 \text{ м} = 7.0 \cdot 10^6 \text{ м}$

Подставим числовые значения в формулу для скорости:

$v = \sqrt{\frac{6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 5.97 \cdot 10^{24}}{7.0 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{\frac{3.982 \cdot 10^{14}}{7.0 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{5.689 \cdot 10^7} \approx 7542 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Для удобства можно выразить скорость в километрах в секунду: $v \approx 7.54 \frac{\text{км}}{\text{с}}$.

Ответ: скорость спутника должна быть приблизительно $7542 \text{ м/с}$ (или $7.54 \text{ км/с}$).

Чему равен период его обращения в этом случае?

Период обращения $T$ — это время, за которое спутник совершает один полный оборот по орбите. Он вычисляется как отношение длины орбиты (длины окружности $L = 2 \pi r$) к орбитальной скорости $v$:

$T = \frac{L}{v} = \frac{2 \pi r}{v}$

Используем ранее найденные значения радиуса орбиты $r$ и скорости $v$:

$T = \frac{2 \cdot 3.1416 \cdot 7.0 \cdot 10^6 \text{ м}}{7542 \frac{\text{м}}{\text{с}}} \approx \frac{43982400}{7542} \approx 5831 \text{ с}$

Переведем полученное значение в минуты для наглядности:

$T \approx \frac{5831}{60} \approx 97.2 \text{ мин}$

(Примечание: указание на запуск "в направлении с севера на юг" говорит о том, что орбита является полярной, но на расчеты скорости и периода для заданной высоты это не влияет.)

Ответ: период обращения спутника равен приблизительно $5831 \text{ с}$, что составляет около $97.2$ минуты.

13.23 [303] Вычислите ускорение свободного падения и первую космическую скорость у поверхности Луны.

Дано:

Для решения задачи потребуются справочные данные о Луне и гравитационная постоянная:

• Масса Луны: $M_Л = 7.35 \times 10^{22}$ кг
• Средний радиус Луны: $R_Л = 1737$ км
• Гравитационная постоянная: $G = 6.67 \times 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Переведем данные в систему СИ:

• $R_Л = 1737 \text{ км} = 1737 \times 10^3 \text{ м} = 1.737 \times 10^6 \text{ м}$

Найти:

• Ускорение свободного падения у поверхности Луны — $g_Л$
• Первую космическую скорость у поверхности Луны — $v_1$

Решение:

Ускорение свободного падения

Ускорение свободного падения $g$ на поверхности небесного тела с массой $M$ и радиусом $R$ определяется по формуле, следующей из закона всемирного тяготения:

$g = G \frac{M}{R^2}$

Применим эту формулу для Луны:

$g_Л = G \frac{M_Л}{R_Л^2}$

Подставим числовые значения:

$g_Л = 6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \times \frac{7.35 \times 10^{22} \text{ кг}}{(1.737 \times 10^6 \text{ м})^2} \approx \frac{4.90245 \times 10^{12}}{3.017 \times 10^{12}} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 1.625 \text{ м/с}^2$

Округлим результат до двух значащих цифр после запятой.

Ответ: Ускорение свободного падения у поверхности Луны составляет примерно $1.63 \text{ м/с}^2$.

Первая космическая скорость

Первая космическая скорость $v_1$ — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу на высоте, близкой к поверхности небесного тела, чтобы оно стало его спутником, движущимся по круговой орбите. Эта скорость определяется из равенства силы тяготения и центростремительной силы:

$G \frac{M m}{R^2} = \frac{m v_1^2}{R}$

Отсюда формула для первой космической скорости:

$v_1 = \sqrt{\frac{G M}{R}}$

Также можно выразить первую космическую скорость через ускорение свободного падения $g$, используя соотношение $g = \frac{GM}{R^2}$:

$v_1 = \sqrt{g R}$

Воспользуемся второй формулой и ранее вычисленным значением $g_Л$:

$v_1 = \sqrt{g_Л R_Л} = \sqrt{1.625 \text{ м/с}^2 \times 1.737 \times 10^6 \text{ м}} \approx \sqrt{2822625} \text{ м/с} \approx 1679.9 \text{ м/с}$

Округлим результат и переведем в км/с для удобства:

$v_1 \approx 1680 \text{ м/с} = 1.68 \text{ км/с}$

Ответ: Первая космическая скорость у поверхности Луны составляет примерно $1.68 \text{ км/с}$.

13.24*] [304*]

На какое расстояние от центра Земли должен быть запущен синхронный спутник, (спутник, «висящий» над одной и той же точкой земной поверхности)? Определите линейную скорость спутника при обращении по орбите.

Дано:

Найти:

Решение:

Спутник движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения, которая сообщает ему центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, сила тяготения равна произведению массы спутника на его центростремительное ускорение.

$F_г = F_ц$

Сила всемирного тяготения $F_г$ определяется по формуле:

$F_г = G \frac{M m}{r^2}$

где $m$ — масса спутника, $M$ — масса Земли, $r$ — расстояние от центра Земли до спутника (радиус орбиты).

Центростремительная сила $F_ц$ выражается через массу спутника и его центростремительное ускорение $a_ц$:

$F_ц = m a_ц$

Центростремительное ускорение можно выразить через угловую скорость $\omega$ или через период обращения $T$:

$a_ц = \omega^2 r = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$

Приравниваем силу тяготения и центростремительную силу:

$G \frac{M m}{r^2} = m \frac{4\pi^2 r}{T^2}$

Сокращаем массу спутника $m$ и выражаем $r^3$:

$G \frac{M}{r^2} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$

$G M T^2 = 4\pi^2 r^3$

$r^3 = \frac{G M T^2}{4\pi^2}$

Отсюда находим радиус орбиты $r$:

$r = \sqrt[3]{\frac{G M T^2}{4\pi^2}}$

Подставим числовые значения:

$r = \sqrt[3]{\frac{6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 5.97 \times 10^{24} \text{ кг} \cdot (86164 \text{ с})^2}{4 \cdot (3.1416)^2}}$

$r \approx \sqrt[3]{\frac{6.67 \cdot 5.97 \cdot 7.424 \times 10^{-11} \cdot 10^{24} \cdot 10^9}{39.48}} \text{ м} \approx \sqrt[3]{\frac{2.956 \times 10^{24}}{39.48}} \text{ м}$

$r \approx \sqrt[3]{7.487 \times 10^{22}} \text{ м} \approx 4.214 \times 10^7 \text{ м}$

Переведем в километры: $r \approx 42140 \text{ км}$.

Теперь определим линейную скорость спутника. Линейная скорость $v$ связана с угловой скоростью $\omega$ и периодом $T$ следующими соотношениями:

$v = \omega r = \frac{2\pi r}{T}$

Подставим найденное значение радиуса $r$ и известный период $T$:

$v = \frac{2 \cdot 3.1416 \cdot 4.214 \times 10^7 \text{ м}}{86164 \text{ с}} \approx \frac{2.648 \times 10^8 \text{ м}}{86164 \text{ с}} \approx 3073 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Переведем в км/с: $v \approx 3.07 \frac{\text{км}}{\text{с}}$.

Ответ:

Расстояние от центра Земли до синхронного спутника должно быть примерно $4.21 \times 10^7$ м (или 42100 км). Линейная скорость спутника на орбите составляет примерно 3070 м/с (или 3.07 км/с).

13.25* [305*] На сколько отличаются скорости запуска ракет относительно Земли, которые должны стать искусственными спутниками Земли, если они запускаются на экваторе: одна — в направлении вращения Земли, а другая — в направлении против вращения Земли?

Для того чтобы ракета стала искусственным спутником Земли, ей необходимо сообщить первую космическую скорость $v_1$ относительно инерциальной системы отсчета, связанной с центром Земли. Однако запуск происходит с поверхности Земли, которая сама вращается. Точки на экваторе движутся с линейной скоростью $v_{вр}$, направленной на восток. Эта скорость либо помогает, либо мешает запуску, в зависимости от его направления.

Скорость ракеты относительно Земли (скорость запуска) обозначим как $v_{зап}$. Абсолютная скорость спутника $v_{абс}$ (относительно центра Земли) равна векторной сумме скорости запуска и линейной скорости вращения Земли: $\vec{v}_{абс} = \vec{v}_{зап} + \vec{v}_{вр}$. Для выхода на орбиту должно выполняться условие $|\vec{v}_{абс}| = v_1$.

1. Запуск в направлении вращения Земли (на восток).

В этом случае векторы скорости запуска $\vec{v}_{зап,1}$ и скорости вращения $\vec{v}_{вр}$ сонаправлены. Чтобы достичь первой космической скорости $v_1$, их модули складываются:

$v_1 = v_{зап,1} + v_{вр}$

Отсюда скорость запуска, которую нужно сообщить ракете относительно Земли:

$v_{зап,1} = v_1 - v_{вр}$

2. Запуск в направлении против вращения Земли (на запад).

В этом случае вектор скорости запуска $\vec{v}_{зап,2}$ направлен противоположно вектору скорости вращения $\vec{v}_{вр}$. Итоговая орбитальная скорость $v_1$ также будет направлена на запад. Выберем направление вращения Земли (на восток) за положительное. Тогда:

$-v_1 = -v_{зап,2} + v_{вр}$

Отсюда скорость запуска относительно Земли (ее модуль):

$v_{зап,2} = v_1 + v_{вр}$

Разница скоростей запуска.

Найдем, на сколько отличаются эти скорости:

$\Delta v = v_{зап,2} - v_{зап,1} = (v_1 + v_{вр}) - (v_1 - v_{вр}) = 2v_{вр}$

Таким образом, разница скоростей запуска равна удвоенной линейной скорости вращения Земли на экваторе. Для ее вычисления нам понадобятся справочные данные.

Дано:

Найти:

Решение:

Линейная скорость точки на экваторе вычисляется по формуле:

$v_{вр} = \frac{2\pi R_З}{T}$

Подставим числовые значения:

$v_{вр} = \frac{2 \cdot 3.14 \cdot 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}}{86400 \text{ с}} \approx 465 \text{ м/с}$

Теперь найдем разницу скоростей запуска:

$\Delta v = 2v_{вр} = 2 \cdot 465 \text{ м/с} = 930 \text{ м/с}$

Ответ: Скорости запуска отличаются на 930 м/с.

13.26* [306*] Почему сила тяжести на полюсах Земли больше, чем на экваторе? Условно считая, что Земля имеет форму шара, оцените, на сколько отличается ускорение силы тяжести в этих точках.

Сила тяжести, действующая на тело у поверхности Земли, является равнодействующей двух сил: силы гравитационного притяжения, направленной к центру Земли, и центробежной силы инерции, возникающей из-за суточного вращения планеты и направленной перпендикулярно оси вращения от нее.

На полюсах тело находится на оси вращения Земли. В этом случае радиус вращения равен нулю, и, следовательно, центробежная сила также равна нулю ($F_ц = 0$). Сила тяжести здесь равна гравитационной силе.

На экваторе тело находится на максимальном расстоянии от оси вращения. Центробежная сила здесь максимальна и направлена прямо противоположно силе гравитационного притяжения. Таким образом, она "ослабляет" гравитационное притяжение.

В результате этого эффекта вес тела (и, соответственно, ускорение свободного падения) на экваторе оказывается меньше, чем на полюсах. Стоит отметить, что на разницу в силе тяжести также влияет форма Земли, которая не является идеальным шаром, а представляет собой эллипсоид, сплюснутый у полюсов. Из-за этого полярный радиус меньше экваториального, что дополнительно увеличивает силу гравитационного притяжения на полюсах. Однако в рамках данной задачи мы будем считать Землю шаром и оценим только эффект от ее вращения.

Теперь оценим, на сколько отличается ускорение силы тяжести в этих точках.

Дано:

Перевод в СИ:
$T = 24 \times 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$
$R_З = 6400 \times 1000 \text{ м} = 6.4 \times 10^6 \text{ м}$

Найти:

Решение:

Ускорение силы тяжести (ускорение свободного падения) на полюсе ($g_п$) обусловлено только гравитационным притяжением, так как центробежное ускорение там равно нулю. $g_п = g_{грав} = G \frac{M_З}{R_З^2}$ где $G$ — гравитационная постоянная, $M_З$ — масса Земли.

Ускорение силы тяжести на экваторе ($g_э$) — это разность гравитационного ускорения и центростремительного ускорения ($a_ц$), вызванного вращением Земли. $g_э = g_{грав} - a_ц = G \frac{M_З}{R_З^2} - \omega^2 R_З$ где $\omega$ — угловая скорость вращения Земли.

Разность ускорений равна: $\Delta g = g_п - g_э = \left(G \frac{M_З}{R_З^2}\right) - \left(G \frac{M_З}{R_З^2} - \omega^2 R_З\right) = \omega^2 R_З$

Угловую скорость вращения Земли найдем через период вращения: $\omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставим это выражение в формулу для $\Delta g$: $\Delta g = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 R_З$

Выполним расчеты: $\Delta g = \left(\frac{2 \times 3.1416}{86400 \text{ с}}\right)^2 \times 6.4 \times 10^6 \text{ м} \approx (7.272 \times 10^{-5} \text{ с}^{-1})^2 \times 6.4 \times 10^6 \text{ м}$ $\Delta g \approx 5.288 \times 10^{-9} \text{ с}^{-2} \times 6.4 \times 10^6 \text{ м} \approx 0.0338 \text{ м/с}^2$

Ответ: Сила тяжести на полюсах больше, чем на экваторе, так как на экваторе центробежная сила, вызванная суточным вращением Земли, направлена противоположно силе гравитационного притяжения и уменьшает ее. На полюсах центробежная сила отсутствует. Различие в ускорении силы тяжести, обусловленное вращением Земли, составляет примерно $0.034 \text{ м/с}^2$.

13.27 [д. 41] Представим, что для создания искусственной силы тяжести космическая станция изготовлена в форме полого колеса радиусом 40 м, вращающегося со скоростью 0,25 рад/с. Определите силу, действующую на космонавта массой 80 кг, если космонавт:

1) неподвижен;

2) идёт внутри станции в направлении её вращения со скоростью 1,3 м/с;

3) идёт с той же скоростью в противоположном направлении. В каком из направлений легче идти?

Дано:

Найти:

Решение:

Сила, действующая на космонавта со стороны пола станции, — это сила нормальной реакции опоры $N$. Эта сила сообщает космонавту центростремительное ускорение $a_ц$ и создает ощущение искусственной силы тяжести. Согласно второму закону Ньютона, $N = m a_ц$. Центростремительное ускорение зависит от полной скорости космонавта $v$ относительно центра вращения (в инерциальной системе отсчета) и радиуса станции $R$ по формуле $a_ц = v^2/R$. Таким образом, $N = m v^2/R$.

Найдем линейную скорость вращения пола станции:

$v_с = \omega R = 0.25 \text{ рад/с} \cdot 40 \text{ м} = 10$ м/с.

1) неподвижен

Если космонавт неподвижен относительно станции, его скорость в инерциальной системе отсчета равна линейной скорости пола станции: $v_1 = v_с = 10$ м/с.

Сила, действующая на космонавта, равна:

$N_1 = m \frac{v_1^2}{R} = 80 \text{ кг} \cdot \frac{(10 \text{ м/с})^2}{40 \text{ м}} = 80 \cdot \frac{100}{40} \text{ Н} = 200 \text{ Н}$.

Ответ: 200 Н.

2) идёт внутри станции в направлении её вращения со скоростью 1,3 м/с

Если космонавт идет в направлении вращения, его скорость относительно центра станции складывается из линейной скорости станции и его относительной скорости:

$v_2 = v_с + v_{отн} = 10 \text{ м/с} + 1.3 \text{ м/с} = 11.3$ м/с.

Сила, действующая на космонавта, в этом случае будет:

$N_2 = m \frac{v_2^2}{R} = 80 \text{ кг} \cdot \frac{(11.3 \text{ м/с})^2}{40 \text{ м}} = 80 \cdot \frac{127.69}{40} \text{ Н} = 2 \cdot 127.69 \text{ Н} = 255.38 \text{ Н}$.

Ответ: 255,38 Н.

3) идёт с той же скоростью в противоположном направлении

Если космонавт идет против направления вращения, его скорость относительно центра станции является разностью линейной скорости станции и его относительной скорости:

$v_3 = v_с - v_{отн} = 10 \text{ м/с} - 1.3 \text{ м/с} = 8.7$ м/с.

Сила, действующая на космонавта:

$N_3 = m \frac{v_3^2}{R} = 80 \text{ кг} \cdot \frac{(8.7 \text{ м/с})^2}{40 \text{ м}} = 80 \cdot \frac{75.69}{40} \text{ Н} = 2 \cdot 75.69 \text{ Н} = 151.38 \text{ Н}$.

Ответ: 151,38 Н.

В каком из направлений легче идти?

"Легче идти" означает испытывать меньшую силу тяжести, то есть меньшую силу реакции опоры. Сравним вычисленные силы:

$N_3 (151.38 \text{ Н}) < N_1 (200 \text{ Н}) < N_2 (255.38 \text{ Н})$.

Наименьшая сила действует на космонавта, когда он идет против направления вращения станции.

Ответ: легче идти в направлении, противоположном вращению станции.