Номер 13.21, страница 44 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 13. Сила тяжести. Закон всемирного тяготения. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 13.21, страница 44.

13.21 [301] Во сколько раз сила притяжения между Луной и Солнцем больше, чем сила притяжения между Луной и Землёй?

Как объяснить, что Луна является всё же спутником Земли?

Во сколько раз сила притяжения между Луной и Солнцем больше, чем сила притяжения между Луной и Землёй?

Дано:

Масса Солнца $M_С = 1.989 \times 10^{30}$ кг

Масса Земли $M_З = 5.972 \times 10^{24}$ кг

Среднее расстояние от Луны до Земли $R_{ЛЗ} = 3.844 \times 10^8$ м

Среднее расстояние от Земли до Солнца $R_{ЗС} = 1.496 \times 10^{11}$ м

Найти:

Отношение сил $\frac{F_{ЛС}}{F_{ЛЗ}}$

Решение:

Сила гравитационного притяжения между двумя телами определяется законом всемирного тяготения:

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

Сила притяжения между Луной и Солнцем ($F_{ЛС}$) равна:

$F_{ЛС} = G \frac{M_Л M_С}{R_{ЛС}^2}$

где $M_Л$ – масса Луны, а $R_{ЛС}$ – расстояние между Луной и Солнцем. Поскольку расстояние от Земли до Луны значительно меньше расстояния от Земли до Солнца ($R_{ЛЗ} \ll R_{ЗС}$), можно с хорошей точностью считать, что расстояние от Луны до Солнца примерно равно расстоянию от Земли до Солнца: $R_{ЛС} \approx R_{ЗС}$.

Сила притяжения между Луной и Землёй ($F_{ЛЗ}$) равна:

$F_{ЛЗ} = G \frac{M_Л M_З}{R_{ЛЗ}^2}$

Найдем отношение этих сил. Гравитационная постоянная $G$ и масса Луны $M_Л$ сокращаются:

$\frac{F_{ЛС}}{F_{ЛЗ}} = \frac{G \frac{M_Л M_С}{R_{ЛС}^2}}{G \frac{M_Л M_З}{R_{ЛЗ}^2}} = \frac{M_С}{M_З} \cdot (\frac{R_{ЛЗ}}{R_{ЛС}})^2$

Подставим известные значения, приняв $R_{ЛС} \approx R_{ЗС}$:

$\frac{F_{ЛС}}{F_{ЛЗ}} \approx \frac{1.989 \times 10^{30} \text{ кг}}{5.972 \times 10^{24} \text{ кг}} \cdot (\frac{3.844 \times 10^8 \text{ м}}{1.496 \times 10^{11} \text{ м}})^2$

$\frac{F_{ЛС}}{F_{ЛЗ}} \approx (3.33 \times 10^5) \cdot (2.57 \times 10^{-3})^2 \approx (3.33 \times 10^5) \cdot (6.60 \times 10^{-6}) \approx 2.2$

Ответ: Сила притяжения между Луной и Солнцем примерно в 2,2 раза больше, чем сила притяжения между Луной и Землёй.

---

Как объяснить, что Луна является всё же спутником Земли?

Тот факт, что Луна является спутником Земли, несмотря на более сильное притяжение со стороны Солнца, объясняется тем, что для определения орбиты Луны вокруг Земли важна не абсолютная величина силы, а относительные ускорения.

Солнце притягивает не только Луну, но и Землю. Поскольку они находятся очень близко друг к другу по сравнению с их расстоянием до Солнца, ускорения, которые Солнце сообщает Земле и Луне, почти одинаковы. В результате вся система Земля-Луна обращается вокруг Солнца как единое целое, находясь в состоянии "свободного падения" относительно него.

Движение Луны относительно Земли определяется в первую очередь гравитационным полем Земли и, во вторую, разностью сил притяжения Солнца, действующих на Луну и на Землю. Эта разностная (приливная) сила со стороны Солнца пытается "оторвать" Луну от Земли, но она значительно слабее, чем прямое притяжение Луны к Земле.

Ускорение, сообщаемое Луне гравитационным полем Земли ($a_{ЛЗ}$), которое и удерживает ее на орбите, составляет $a_{ЛЗ} = G \frac{M_З}{R_{ЛЗ}^2} \approx 0.0027 \text{ м/с}^2$. В то же время, разность ускорений (ускорение от приливной силы Солнца) намного меньше: $a_{прил} \approx 2G \frac{M_С R_{ЛЗ}}{R_{ЗС}^3} \approx 0.00003 \text{ м/с}^2$.

Таким образом, гравитационное влияние Земли на относительное движение Луны почти в 90 раз сильнее, чем возмущающее влияние Солнца. Это означает, что Луна находится глубоко внутри сферы гравитационного доминирования Земли (так называемой сферы Хилла) и поэтому является её стабильным спутником.

Ответ: Луна является спутником Земли, так как её движение относительно Земли определяется в первую очередь силой притяжения к Земле. Хотя абсолютная сила притяжения Солнца больше, оно почти одинаково действует и на Землю, и на Луну, заставляя их вместе обращаться вокруг себя. Сила притяжения Земли к Луне значительно превосходит разницу сил притяжения Солнца к Земле и к Луне (приливную силу), которая и пытается повлиять на орбиту Луны вокруг Земли.