Номер 13.15, страница 43 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 13. Сила тяжести. Закон всемирного тяготения. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 13.15, страница 43.

13.15 [295] Почему Земля сообщает всем телам одно и то же ускорение силы тяготения независимо от их массы, если тела находятся на одной и той же высоте над поверхностью Земли?

13.15 Это явление объясняется сочетанием двух фундаментальных законов физики: второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения.

1. Второй закон Ньютона гласит, что сила, действующая на тело, равна произведению массы этого тела на сообщаемое ему ускорение: $F = m \cdot a$. В случае силы тяжести, действующей на тело со стороны Земли, этот закон можно записать как $F_{тяж} = m \cdot g$, где $F_{тяж}$ – сила тяжести, $m$ – масса тела, а $g$ – ускорение свободного падения (ускорение силы тяготения).

2. Закон всемирного тяготения утверждает, что сила гравитационного притяжения между двумя телами (в данном случае, Землей и телом) прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами. Формула для этой силы выглядит так: $F_{тяж} = G \frac{M \cdot m}{r^2}$, где $G$ – гравитационная постоянная, $M$ – масса Земли, $m$ – масса тела, а $r$ – расстояние от центра Земли до тела. Поскольку все тела находятся на одной и той же высоте над поверхностью, расстояние $r$ для них одинаково.

Поскольку оба выражения описывают одну и ту же силу тяжести $F_{тяж}$, мы можем их приравнять:

$m \cdot g = G \frac{M \cdot m}{r^2}$

В этом уравнении масса тела $m$ присутствует в обеих частях. Следовательно, мы можем сократить ее:

$g = G \frac{M}{r^2}$

Из полученной формулы следует, что ускорение силы тяготения $g$ зависит только от массы Земли $M$, гравитационной постоянной $G$ и расстояния до центра Земли $r$. Масса тела $m$, на которое действует сила, в эту формулу не входит.

Таким образом, хотя на более массивные тела действует большая сила тяжести, их инертность (сопротивление изменению скорости) также больше, причём ровно во столько же раз. Эти два эффекта точно компенсируют друг друга, в результате чего все тела на одинаковой высоте получают от Земли одно и то же ускорение, независимо от их собственной массы.

Ответ:

Ускорение силы тяготения не зависит от массы тела, потому что сила притяжения, действующая на тело со стороны Земли, прямо пропорциональна массе этого тела (согласно закону всемирного тяготения), но и инертность тела, определяющая его ускорение под действием силы, также прямо пропорциональна его массе (согласно второму закону Ньютона). При вычислении ускорения ($a = F/m$) масса тела сокращается, и в итоговой формуле для ускорения ($g = G \cdot M / r^2$) остаются только величины, не зависящие от массы тела: гравитационная постоянная, масса Земли и расстояние до ее центра.