Номер 13.22, страница 44 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 13. Сила тяжести. Закон всемирного тяготения. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 13.22, страница 44.

13.22 [302] Какую скорость должен иметь искусственный спутник, чтобы обращаться по круговой орбите на высоте 630 км над поверхностью Земли? Чему равен период его обращения в этом случае? (Спутник запускается в направлении с севера на юг.)

Дано:

Высота орбиты: $h = 630 \text{ км}$
Гравитационная постоянная: $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$
Масса Земли: $M_З \approx 5.97 \cdot 10^{24} \text{ кг}$
Средний радиус Земли: $R_З \approx 6370 \text{ км}$

$h = 630 \text{ км} = 630 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.3 \cdot 10^5 \text{ м}$
$R_З = 6370 \text{ км} = 6370 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.37 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

1. $v$ — скорость спутника.
2. $T$ — период обращения спутника.

Решение:

Какую скорость должен иметь искусственный спутник, чтобы обращаться по круговой орбите на высоте 630 км над поверхностью Земли?

Для движения спутника по круговой орбите сила гравитационного притяжения Земли должна быть равна центростремительной силе, удерживающей спутник на орбите. Согласно второму закону Ньютона:

$F_{грав} = F_{центр}$

Сила гравитации определяется законом всемирного тяготения: $F_{грав} = G \frac{M_З m}{r^2}$, а центростремительная сила: $F_{центр} = \frac{m v^2}{r}$. Здесь $m$ — масса спутника, $M_З$ — масса Земли, $v$ — искомая скорость спутника, а $r$ — радиус орбиты.

Приравняем выражения для сил:

$G \frac{M_З m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}$

Сократив массу спутника $m$ и радиус $r$, получим выражение для квадрата скорости:

$v^2 = \frac{G M_З}{r}$

Отсюда скорость равна:

$v = \sqrt{\frac{G M_З}{r}}$

Радиус орбиты $r$ равен сумме радиуса Земли $R_З$ и высоты орбиты $h$:

$r = R_З + h = 6.37 \cdot 10^6 \text{ м} + 0.63 \cdot 10^6 \text{ м} = 7.0 \cdot 10^6 \text{ м}$

Подставим числовые значения в формулу для скорости:

$v = \sqrt{\frac{6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 5.97 \cdot 10^{24}}{7.0 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{\frac{3.982 \cdot 10^{14}}{7.0 \cdot 10^6}} \approx \sqrt{5.689 \cdot 10^7} \approx 7542 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Для удобства можно выразить скорость в километрах в секунду: $v \approx 7.54 \frac{\text{км}}{\text{с}}$.

Ответ: скорость спутника должна быть приблизительно $7542 \text{ м/с}$ (или $7.54 \text{ км/с}$).

Чему равен период его обращения в этом случае?

Период обращения $T$ — это время, за которое спутник совершает один полный оборот по орбите. Он вычисляется как отношение длины орбиты (длины окружности $L = 2 \pi r$) к орбитальной скорости $v$:

$T = \frac{L}{v} = \frac{2 \pi r}{v}$

Используем ранее найденные значения радиуса орбиты $r$ и скорости $v$:

$T = \frac{2 \cdot 3.1416 \cdot 7.0 \cdot 10^6 \text{ м}}{7542 \frac{\text{м}}{\text{с}}} \approx \frac{43982400}{7542} \approx 5831 \text{ с}$

Переведем полученное значение в минуты для наглядности:

$T \approx \frac{5831}{60} \approx 97.2 \text{ мин}$

(Примечание: указание на запуск "в направлении с севера на юг" говорит о том, что орбита является полярной, но на расчеты скорости и периода для заданной высоты это не влияет.)

Ответ: период обращения спутника равен приблизительно $5831 \text{ с}$, что составляет около $97.2$ минуты.