Номер 13.25, страница 44 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 13. Сила тяжести. Закон всемирного тяготения. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 13.25, страница 44.

13.25* [305*] На сколько отличаются скорости запуска ракет относительно Земли, которые должны стать искусственными спутниками Земли, если они запускаются на экваторе: одна — в направлении вращения Земли, а другая — в направлении против вращения Земли?

Для того чтобы ракета стала искусственным спутником Земли, ей необходимо сообщить первую космическую скорость $v_1$ относительно инерциальной системы отсчета, связанной с центром Земли. Однако запуск происходит с поверхности Земли, которая сама вращается. Точки на экваторе движутся с линейной скоростью $v_{вр}$, направленной на восток. Эта скорость либо помогает, либо мешает запуску, в зависимости от его направления.

Скорость ракеты относительно Земли (скорость запуска) обозначим как $v_{зап}$. Абсолютная скорость спутника $v_{абс}$ (относительно центра Земли) равна векторной сумме скорости запуска и линейной скорости вращения Земли: $\vec{v}_{абс} = \vec{v}_{зап} + \vec{v}_{вр}$. Для выхода на орбиту должно выполняться условие $|\vec{v}_{абс}| = v_1$.

1. Запуск в направлении вращения Земли (на восток).

В этом случае векторы скорости запуска $\vec{v}_{зап,1}$ и скорости вращения $\vec{v}_{вр}$ сонаправлены. Чтобы достичь первой космической скорости $v_1$, их модули складываются:

$v_1 = v_{зап,1} + v_{вр}$

Отсюда скорость запуска, которую нужно сообщить ракете относительно Земли:

$v_{зап,1} = v_1 - v_{вр}$

2. Запуск в направлении против вращения Земли (на запад).

В этом случае вектор скорости запуска $\vec{v}_{зап,2}$ направлен противоположно вектору скорости вращения $\vec{v}_{вр}$. Итоговая орбитальная скорость $v_1$ также будет направлена на запад. Выберем направление вращения Земли (на восток) за положительное. Тогда:

$-v_1 = -v_{зап,2} + v_{вр}$

Отсюда скорость запуска относительно Земли (ее модуль):

$v_{зап,2} = v_1 + v_{вр}$

Разница скоростей запуска.

Найдем, на сколько отличаются эти скорости:

$\Delta v = v_{зап,2} - v_{зап,1} = (v_1 + v_{вр}) - (v_1 - v_{вр}) = 2v_{вр}$

Таким образом, разница скоростей запуска равна удвоенной линейной скорости вращения Земли на экваторе. Для ее вычисления нам понадобятся справочные данные.

Дано:

Экваториальный радиус Земли $R_З \approx 6400 \text{ км}$
Период вращения Земли $T = 24 \text{ ч}$

---

$R_З = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$
$T = 24 \cdot 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$

Найти:

$\Delta v$

Решение:

Линейная скорость точки на экваторе вычисляется по формуле:

$v_{вр} = \frac{2\pi R_З}{T}$

Подставим числовые значения:

$v_{вр} = \frac{2 \cdot 3.14 \cdot 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}}{86400 \text{ с}} \approx 465 \text{ м/с}$

Теперь найдем разницу скоростей запуска:

$\Delta v = 2v_{вр} = 2 \cdot 465 \text{ м/с} = 930 \text{ м/с}$

Ответ: Скорости запуска отличаются на 930 м/с.