Номер 13.26, страница 44 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 13. Сила тяжести. Закон всемирного тяготения. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 13.26, страница 44.

13.26* [306*] Почему сила тяжести на полюсах Земли больше, чем на экваторе? Условно считая, что Земля имеет форму шара, оцените, на сколько отличается ускорение силы тяжести в этих точках.

Сила тяжести, действующая на тело у поверхности Земли, является равнодействующей двух сил: силы гравитационного притяжения, направленной к центру Земли, и центробежной силы инерции, возникающей из-за суточного вращения планеты и направленной перпендикулярно оси вращения от нее.

На полюсах тело находится на оси вращения Земли. В этом случае радиус вращения равен нулю, и, следовательно, центробежная сила также равна нулю ($F_ц = 0$). Сила тяжести здесь равна гравитационной силе.

На экваторе тело находится на максимальном расстоянии от оси вращения. Центробежная сила здесь максимальна и направлена прямо противоположно силе гравитационного притяжения. Таким образом, она "ослабляет" гравитационное притяжение.

В результате этого эффекта вес тела (и, соответственно, ускорение свободного падения) на экваторе оказывается меньше, чем на полюсах. Стоит отметить, что на разницу в силе тяжести также влияет форма Земли, которая не является идеальным шаром, а представляет собой эллипсоид, сплюснутый у полюсов. Из-за этого полярный радиус меньше экваториального, что дополнительно увеличивает силу гравитационного притяжения на полюсах. Однако в рамках данной задачи мы будем считать Землю шаром и оценим только эффект от ее вращения.

Теперь оценим, на сколько отличается ускорение силы тяжести в этих точках.

Дано:

Период вращения Земли, $T = 24 \text{ ч}$
Радиус Земли (примем среднее значение), $R_З \approx 6400 \text{ км}$

Перевод в СИ:
$T = 24 \times 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$
$R_З = 6400 \times 1000 \text{ м} = 6.4 \times 10^6 \text{ м}$

Найти:

Разность ускорений силы тяжести на полюсе и на экваторе, $\Delta g = g_п - g_э$.

Решение:

Ускорение силы тяжести (ускорение свободного падения) на полюсе ($g_п$) обусловлено только гравитационным притяжением, так как центробежное ускорение там равно нулю. $g_п = g_{грав} = G \frac{M_З}{R_З^2}$ где $G$ — гравитационная постоянная, $M_З$ — масса Земли.

Ускорение силы тяжести на экваторе ($g_э$) — это разность гравитационного ускорения и центростремительного ускорения ($a_ц$), вызванного вращением Земли. $g_э = g_{грав} - a_ц = G \frac{M_З}{R_З^2} - \omega^2 R_З$ где $\omega$ — угловая скорость вращения Земли.

Разность ускорений равна: $\Delta g = g_п - g_э = \left(G \frac{M_З}{R_З^2}\right) - \left(G \frac{M_З}{R_З^2} - \omega^2 R_З\right) = \omega^2 R_З$

Угловую скорость вращения Земли найдем через период вращения: $\omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставим это выражение в формулу для $\Delta g$: $\Delta g = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 R_З$

Выполним расчеты: $\Delta g = \left(\frac{2 \times 3.1416}{86400 \text{ с}}\right)^2 \times 6.4 \times 10^6 \text{ м} \approx (7.272 \times 10^{-5} \text{ с}^{-1})^2 \times 6.4 \times 10^6 \text{ м}$ $\Delta g \approx 5.288 \times 10^{-9} \text{ с}^{-2} \times 6.4 \times 10^6 \text{ м} \approx 0.0338 \text{ м/с}^2$

Ответ: Сила тяжести на полюсах больше, чем на экваторе, так как на экваторе центробежная сила, вызванная суточным вращением Земли, направлена противоположно силе гравитационного притяжения и уменьшает ее. На полюсах центробежная сила отсутствует. Различие в ускорении силы тяжести, обусловленное вращением Земли, составляет примерно $0.034 \text{ м/с}^2$.