Номер 13.20, страница 44 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 13. Сила тяжести. Закон всемирного тяготения. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 13.20, страница 44.

13.20* [300*] Планета Марс имеет два спутника — Фобос и Деймос. Первый находится на расстоянии 9500 км от центра Марса, второй — на расстоянии 24 000 км. Определите периоды обращения этих спутников вокруг Марса.

Дано:

Расстояние от центра Марса до первого спутника (Фобоса): $r_1 = 9500 \text{ км}$
Расстояние от центра Марса до второго спутника (Деймоса): $r_2 = 24000 \text{ км}$
Для решения задачи потребуются справочные данные:
Гравитационная постоянная: $G \approx 6.674 \times 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2$
Масса Марса: $M_M \approx 6.42 \times 10^{23} \text{ кг}$

Перевод данных в систему СИ:
$r_1 = 9500 \text{ км} = 9500 \times 10^3 \text{ м} = 9.5 \times 10^6 \text{ м}$
$r_2 = 24000 \text{ км} = 24000 \times 10^3 \text{ м} = 2.4 \times 10^7 \text{ м}$

Найти:

Период обращения первого спутника $T_1$ и период обращения второго спутника $T_2$.

Решение:

Спутники Марса движутся по орбитам под действием силы всемирного тяготения со стороны планеты. Эта сила является центростремительной, которая удерживает спутники на их орбитах. Для простоты будем считать орбиты спутников круговыми.

Согласно второму закону Ньютона, сила тяготения $F_g$, действующая на спутник, равна произведению массы спутника $m$ на его центростремительное ускорение $a_c$: $F_g = m \cdot a_c$.

Сила всемирного тяготения описывается формулой: $F_g = G \frac{M_M m}{r^2}$, где $M_M$ – масса Марса, $m$ – масса спутника, $r$ – радиус его орбиты, а $G$ – гравитационная постоянная.

Центростремительное ускорение при движении по окружности радиуса $r$ с линейной скоростью $v$ равно $a_c = \frac{v^2}{r}$.

Приравнивая выражения для силы, получаем: $G \frac{M_M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$

Скорость движения по орбите $v$ связана с периодом обращения $T$ как $v = \frac{2\pi r}{T}$. Подставим это выражение в уравнение выше: $G \frac{M_M m}{r^2} = m \frac{(2\pi r / T)^2}{r} = \frac{4\pi^2 m r}{T^2}$

Сократив массу спутника $m$, можно выразить квадрат периода обращения: $T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{G M_M}$

Отсюда формула для периода обращения спутника: $T = \sqrt{\frac{4\pi^2 r^3}{G M_M}} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G M_M}}$

Теперь, используя эту формулу, рассчитаем периоды обращения для каждого спутника.

Для первого спутника (Фобоса) с радиусом орбиты $r_1 = 9.5 \times 10^6 \text{ м}$: $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{(9.5 \times 10^6 \text{ м})^3}{6.674 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 6.42 \times 10^{23} \text{ кг}}} \approx 2\pi \sqrt{\frac{8.574 \times 10^{20}}{4.284 \times 10^{13}}} \text{ с}$ $T_1 \approx 2\pi \sqrt{2.001 \times 10^7} \text{ с} \approx 6.283 \cdot 4473.5 \text{ с} \approx 28109 \text{ с}$

Для второго спутника (Деймоса) с радиусом орбиты $r_2 = 2.4 \times 10^7 \text{ м}$: $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{(2.4 \times 10^7 \text{ м})^3}{6.674 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 6.42 \times 10^{23} \text{ кг}}} \approx 2\pi \sqrt{\frac{1.3824 \times 10^{22}}{4.284 \times 10^{13}}} \text{ с}$ $T_2 \approx 2\pi \sqrt{3.227 \times 10^8} \text{ с} \approx 6.283 \cdot 17964 \text{ с} \approx 112870 \text{ с}$

Для удобства можно перевести полученные значения в часы, зная что 1 час = 3600 секунд: $T_1 \approx \frac{28109 \text{ с}}{3600 \text{ с/ч}} \approx 7.81 \text{ ч}$
$T_2 \approx \frac{112870 \text{ с}}{3600 \text{ с/ч}} \approx 31.35 \text{ ч}$

Ответ: период обращения первого спутника (Фобоса) составляет примерно $28100 \text{ с}$ (около $7.8 \text{ часов}$), а период обращения второго спутника (Деймоса) — примерно $112900 \text{ с}$ (около $31.4 \text{ часов}$).