Номер 13.18, страница 44 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 13. Сила тяжести. Закон всемирного тяготения. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 13.18, страница 44.

13.18* [298*] На какой высоте над поверхностью Земли сила тяготения в 2 раза меньше, чем на поверхности Земли?

Дано:

Отношение силы тяготения на поверхности Земли ($F_0$) к силе тяготения на высоте $h$ ($F_h$): $\frac{F_0}{F_h} = 2$

Радиус Земли: $R_З \approx 6400 \text{ км}$

Перевод в СИ:

$R_З \approx 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \times 10^6 \text{ м}$

Найти:

$h$ - высота над поверхностью Земли.

Решение:

Сила всемирного тяготения описывается законом Ньютона:

$F = G \frac{M m}{r^2}$

где $G$ – гравитационная постоянная, $M$ – масса Земли, $m$ – масса тела, а $r$ – расстояние от центра Земли до тела.

На поверхности Земли расстояние до центра равно радиусу Земли, $r = R_З$. Сила тяготения в этом случае:

$F_0 = G \frac{M m}{R_З^2}$

На высоте $h$ над поверхностью Земли расстояние до центра составляет $r = R_З + h$. Сила тяготения на этой высоте:

$F_h = G \frac{M m}{(R_З + h)^2}$

Согласно условию задачи, сила тяготения на поверхности в 2 раза больше, чем на высоте $h$:

$F_0 = 2 F_h$

Подставим выражения для сил в это равенство:

$G \frac{M m}{R_З^2} = 2 \cdot G \frac{M m}{(R_З + h)^2}$

Сократим общие множители $G, M, m$:

$\frac{1}{R_З^2} = \frac{2}{(R_З + h)^2}$

Выразим отсюда $(R_З + h)^2$:

$(R_З + h)^2 = 2 R_З^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (расстояние может быть только положительным):

$R_З + h = \sqrt{2} R_З$

Теперь выразим искомую высоту $h$:

$h = \sqrt{2} R_З - R_З = R_З (\sqrt{2} - 1)$

Подставим числовые значения. Примем радиус Земли $R_З \approx 6400 \text{ км}$ и $\sqrt{2} \approx 1.414$.

$h \approx 6400 \text{ км} \cdot (1.414 - 1) = 6400 \text{ км} \cdot 0.414$

$h \approx 2649.6 \text{ км}$

Ответ: высота, на которой сила тяготения в 2 раза меньше, чем на поверхности, составляет примерно 2650 км.