Номер 13.24, страница 44 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 13. Сила тяжести. Закон всемирного тяготения. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 13.24, страница 44.

13.24*] [304*]

На какое расстояние от центра Земли должен быть запущен синхронный спутник, (спутник, «висящий» над одной и той же точкой земной поверхности)? Определите линейную скорость спутника при обращении по орбите.

Дано:

Спутник является синхронным (геостационарным), следовательно, его период обращения вокруг Земли равен периоду вращения Земли вокруг своей оси (сидерические сутки).

Период обращения спутника, $T = 23 \text{ ч } 56 \text{ мин } 4 \text{ с} = 86164 \text{ с}$

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Масса Земли, $M \approx 5.97 \times 10^{24} \text{ кг}$

Найти:

1. Расстояние от центра Земли до спутника, $r - ?$

2. Линейную скорость спутника, $v - ?$

Решение:

Спутник движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения, которая сообщает ему центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, сила тяготения равна произведению массы спутника на его центростремительное ускорение.

$F_г = F_ц$

Сила всемирного тяготения $F_г$ определяется по формуле:

$F_г = G \frac{M m}{r^2}$

где $m$ — масса спутника, $M$ — масса Земли, $r$ — расстояние от центра Земли до спутника (радиус орбиты).

Центростремительная сила $F_ц$ выражается через массу спутника и его центростремительное ускорение $a_ц$:

$F_ц = m a_ц$

Центростремительное ускорение можно выразить через угловую скорость $\omega$ или через период обращения $T$:

$a_ц = \omega^2 r = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$

Приравниваем силу тяготения и центростремительную силу:

$G \frac{M m}{r^2} = m \frac{4\pi^2 r}{T^2}$

Сокращаем массу спутника $m$ и выражаем $r^3$:

$G \frac{M}{r^2} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}$

$G M T^2 = 4\pi^2 r^3$

$r^3 = \frac{G M T^2}{4\pi^2}$

Отсюда находим радиус орбиты $r$:

$r = \sqrt[3]{\frac{G M T^2}{4\pi^2}}$

Подставим числовые значения:

$r = \sqrt[3]{\frac{6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 5.97 \times 10^{24} \text{ кг} \cdot (86164 \text{ с})^2}{4 \cdot (3.1416)^2}}$

$r \approx \sqrt[3]{\frac{6.67 \cdot 5.97 \cdot 7.424 \times 10^{-11} \cdot 10^{24} \cdot 10^9}{39.48}} \text{ м} \approx \sqrt[3]{\frac{2.956 \times 10^{24}}{39.48}} \text{ м}$

$r \approx \sqrt[3]{7.487 \times 10^{22}} \text{ м} \approx 4.214 \times 10^7 \text{ м}$

Переведем в километры: $r \approx 42140 \text{ км}$.

Теперь определим линейную скорость спутника. Линейная скорость $v$ связана с угловой скоростью $\omega$ и периодом $T$ следующими соотношениями:

$v = \omega r = \frac{2\pi r}{T}$

Подставим найденное значение радиуса $r$ и известный период $T$:

$v = \frac{2 \cdot 3.1416 \cdot 4.214 \times 10^7 \text{ м}}{86164 \text{ с}} \approx \frac{2.648 \times 10^8 \text{ м}}{86164 \text{ с}} \approx 3073 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Переведем в км/с: $v \approx 3.07 \frac{\text{км}}{\text{с}}$.

Ответ:

Расстояние от центра Земли до синхронного спутника должно быть примерно $4.21 \times 10^7$ м (или 42100 км). Линейная скорость спутника на орбите составляет примерно 3070 м/с (или 3.07 км/с).