Номер 13.23, страница 44 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 13. Сила тяжести. Закон всемирного тяготения. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 13.23, страница 44.

13.23 [303] Вычислите ускорение свободного падения и первую космическую скорость у поверхности Луны.

Дано:

Для решения задачи потребуются справочные данные о Луне и гравитационная постоянная:

• Масса Луны: $M_Л = 7.35 \times 10^{22}$ кг
• Средний радиус Луны: $R_Л = 1737$ км
• Гравитационная постоянная: $G = 6.67 \times 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Переведем данные в систему СИ:

• $R_Л = 1737 \text{ км} = 1737 \times 10^3 \text{ м} = 1.737 \times 10^6 \text{ м}$

Найти:

• Ускорение свободного падения у поверхности Луны — $g_Л$
• Первую космическую скорость у поверхности Луны — $v_1$

Решение:

Ускорение свободного падения

Ускорение свободного падения $g$ на поверхности небесного тела с массой $M$ и радиусом $R$ определяется по формуле, следующей из закона всемирного тяготения:

$g = G \frac{M}{R^2}$

Применим эту формулу для Луны:

$g_Л = G \frac{M_Л}{R_Л^2}$

Подставим числовые значения:

$g_Л = 6.67 \times 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \times \frac{7.35 \times 10^{22} \text{ кг}}{(1.737 \times 10^6 \text{ м})^2} \approx \frac{4.90245 \times 10^{12}}{3.017 \times 10^{12}} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 1.625 \text{ м/с}^2$

Округлим результат до двух значащих цифр после запятой.

Ответ: Ускорение свободного падения у поверхности Луны составляет примерно $1.63 \text{ м/с}^2$.

Первая космическая скорость

Первая космическая скорость $v_1$ — это минимальная скорость, которую необходимо сообщить телу на высоте, близкой к поверхности небесного тела, чтобы оно стало его спутником, движущимся по круговой орбите. Эта скорость определяется из равенства силы тяготения и центростремительной силы:

$G \frac{M m}{R^2} = \frac{m v_1^2}{R}$

Отсюда формула для первой космической скорости:

$v_1 = \sqrt{\frac{G M}{R}}$

Также можно выразить первую космическую скорость через ускорение свободного падения $g$, используя соотношение $g = \frac{GM}{R^2}$:

$v_1 = \sqrt{g R}$

Воспользуемся второй формулой и ранее вычисленным значением $g_Л$:

$v_1 = \sqrt{g_Л R_Л} = \sqrt{1.625 \text{ м/с}^2 \times 1.737 \times 10^6 \text{ м}} \approx \sqrt{2822625} \text{ м/с} \approx 1679.9 \text{ м/с}$

Округлим результат и переведем в км/с для удобства:

$v_1 \approx 1680 \text{ м/с} = 1.68 \text{ км/с}$

Ответ: Первая космическая скорость у поверхности Луны составляет примерно $1.68 \text{ км/с}$.