Номер 13.17, страница 44 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 13. Сила тяжести. Закон всемирного тяготения. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 13.17, страница 44.

13.17 [297] Чему равно ускорение свободного падения над поверхностью Земли на высоте, равной двум её радиусам?

Дано:

Высота над поверхностью Земли: $h = 2R_З$
Ускорение свободного падения на поверхности Земли: $g_0 \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$
Радиус Земли: $R_З$

Найти:

Ускорение свободного падения на высоте $h$: $g_h$

Решение:

Сила гравитационного притяжения, действующая на тело массой $m$ на расстоянии $r$ от центра Земли (массой $M_З$), определяется законом всемирного тяготения: $F = G \frac{M_З m}{r^2}$. Согласно второму закону Ньютона, эта же сила сообщает телу ускорение свободного падения $g$: $F = mg$. Приравнивая эти два выражения, получаем формулу для ускорения свободного падения:

$mg = G \frac{M_З m}{r^2} \implies g = G \frac{M_З}{r^2}$

На поверхности Земли расстояние до центра равно радиусу Земли ($r = R_З$). Ускорение свободного падения на поверхности ($g_0$) равно:

$g_0 = G \frac{M_З}{R_З^2}$

На высоте $h$ над поверхностью Земли расстояние от ее центра составляет $r = R_З + h$. Ускорение свободного падения на этой высоте ($g_h$) будет равно:

$g_h = G \frac{M_З}{(R_З + h)^2}$

По условию задачи, высота $h = 2R_З$. Подставим это значение в выражение для расстояния $r$:

$r = R_З + 2R_З = 3R_З$

Теперь подставим полученное расстояние $r$ в формулу для $g_h$:

$g_h = G \frac{M_З}{(3R_З)^2} = G \frac{M_З}{9R_З^2}$

Чтобы найти отношение $g_h$ к $g_0$, разделим второе уравнение на первое, либо просто заметим, что $G \frac{M_З}{R_З^2}$ является выражением для $g_0$:

$g_h = \frac{1}{9} \left( G \frac{M_З}{R_З^2} \right) = \frac{g_0}{9}$

Таким образом, ускорение свободного падения на высоте, равной двум радиусам Земли, в 9 раз меньше, чем на ее поверхности. Вычислим его численное значение, используя $g_0 \approx 9.8 \, \text{м/с}^2$:

$g_h = \frac{9.8 \, \text{м/с}^2}{9} \approx 1.09 \, \text{м/с}^2$

Ответ: ускорение свободного падения на высоте, равной двум радиусам Земли, равно примерно $1.09 \, \text{м/с}^2$.