Номер 13.19, страница 44 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 13. Сила тяжести. Закон всемирного тяготения. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 13.19, страница 44.

13.19* [299*] С какой силой притягивается к центру Земли тело массой $m$, находящееся в глубокой шахте, если расстояние от центра Земли до тела равно $r$? Плотность Земли считайте всюду одинаковой и равной $\rho$.

Дано:

Масса тела: $m$

Расстояние от центра Земли до тела: $r$

Плотность Земли: $\rho$

Найти:

Силу притяжения $F$

Решение

Согласно теореме о притяжении шаровым слоем (которая является следствием закона всемирного тяготения для сферически-симметричных тел), гравитационная сила, действующая на тело, находящееся внутри сферы, создается только той частью массы сферы, которая находится на меньшем расстоянии от центра, чем само тело. Масса внешнего по отношению к телу шарового слоя не создает результирующей силы притяжения.

Следовательно, сила притяжения $F$, действующая на тело массой $m$ на расстоянии $r$ от центра Земли, определяется массой $M_r$ той части Земли, которая заключена в сфере радиуса $r$. По закону всемирного тяготения:

$F = G \frac{M_r \cdot m}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная.

По условию задачи, плотность Земли $\rho$ является постоянной. Массу $M_r$ можно выразить через плотность и объем $V_r$ сферы радиусом $r$:

$V_r = \frac{4}{3}\pi r^3$

Тогда масса этой части Земли равна:

$M_r = \rho \cdot V_r = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$

Подставим это выражение для $M_r$ в формулу силы притяжения:

$F = G \frac{(\rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3) \cdot m}{r^2}$

Сократим $r^2$ в числителе и знаменателе, чтобы упростить выражение:

$F = \frac{4}{3} \pi G \rho m \frac{r^3}{r^2}$

$F = \frac{4}{3} \pi G \rho m r$

Таким образом, сила притяжения, действующая на тело внутри Земли, прямо пропорциональна расстоянию от ее центра.

Ответ: $F = \frac{4}{3} \pi G \rho m r$.