Номер 14.5, страница 45 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 14. Движение тел в поле силы тяжести. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 14.5, страница 45.

14.5 [н] Определите скорость свободно падающего тела в конце первой, второй, третьей секунды движения и путь, пройденный за 1 с, 2 с, 3 с. Выберите масштаб и постройте график зависимости пути от времени. Убедитесь в том, что значения пути, пройденного телом в течение каждой последующей секунды, соответствуют ряду чисел 1, 3, 5, 7, .... Определите, на сколько увеличивается путь, пройденный телом в течение двух любых последующих секунд.

Дано:

Свободное падение тела, следовательно:
начальная скорость $v_0 = 0$ м/с
ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²

Времена движения:
$t_1 = 1$ с
$t_2 = 2$ с
$t_3 = 3$ с

(Все данные уже в системе СИ)

Найти:

Скорости тела $v_1, v_2, v_3$ в конце 1-й, 2-й и 3-й секунды.
Путь $s_1, s_2, s_3$, пройденный за 1, 2 и 3 секунды.
Построить график зависимости $s(t)$.
Проверить, что пути за каждую секунду ($\Delta s_n$) соотносятся как 1:3:5:7...
Найти величину, на которую увеличивается путь, пройденный за каждую последующую секунду ($\Delta s_{n+1} - \Delta s_n$).

Решение:

Определите скорость свободно падающего тела в конце первой, второй, третьей секунды движения

Скорость тела при свободном падении без начальной скорости определяется формулой: $v = gt$.

Скорость в конце первой секунды ($t=1$ с):
$v_1 = g \cdot t_1 = 9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot 1 \, \text{с} = 9.8 \, \text{м/с}$

Скорость в конце второй секунды ($t=2$ с):
$v_2 = g \cdot t_2 = 9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot 2 \, \text{с} = 19.6 \, \text{м/с}$

Скорость в конце третьей секунды ($t=3$ с):
$v_3 = g \cdot t_3 = 9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot 3 \, \text{с} = 29.4 \, \text{м/с}$

Ответ: Скорость тела в конце первой секунды составляет 9.8 м/с, в конце второй — 19.6 м/с, в конце третьей — 29.4 м/с.

и путь, пройденный за 1 с, 2 с, 3 с

Путь, пройденный телом при свободном падении без начальной скорости, определяется формулой: $s = \frac{gt^2}{2}$.

Путь, пройденный за 1 секунду ($t=1$ с):
$s_1 = \frac{g t_1^2}{2} = \frac{9.8 \cdot 1^2}{2} = 4.9 \, \text{м}$

Путь, пройденный за 2 секунды ($t=2$ с):
$s_2 = \frac{g t_2^2}{2} = \frac{9.8 \cdot 2^2}{2} = \frac{9.8 \cdot 4}{2} = 19.6 \, \text{м}$

Путь, пройденный за 3 секунды ($t=3$ с):
$s_3 = \frac{g t_3^2}{2} = \frac{9.8 \cdot 3^2}{2} = \frac{9.8 \cdot 9}{2} = 44.1 \, \text{м}$

Ответ: Путь, пройденный телом за 1 с, равен 4.9 м, за 2 с — 19.6 м, за 3 с — 44.1 м.

Выберите масштаб и постройте график зависимости пути от времени

Зависимость пути от времени имеет вид $s(t) = \frac{g}{2}t^2 = 4.9t^2$. Это квадратичная зависимость, графиком которой является парабола, проходящая через начало координат.

Для построения графика составим таблицу значений:

Время, $t$ (с)	Путь, $s$ (м)
0	0
1	4.9
2	19.6
3	44.1

Для построения графика выберем масштаб:
По оси абсцисс (время $t$): 1 клетка = 0.5 с.
По оси ординат (путь $s$): 1 клетка = 5 м.

Нанеся точки из таблицы на координатную плоскость и соединив их плавной линией, получим ветвь параболы.

Ответ: График зависимости пути от времени — это ветвь параболы, выходящая из начала координат. Точки для построения: (0, 0), (1, 4.9), (2, 19.6), (3, 44.1).

Убедитесь в том, что значения пути, пройденного телом в течение каждой последующей секунды, соответствуют ряду чисел 1, 3, 5, 7, ...

Найдем путь, который тело проходит за каждую отдельную секунду движения.

Путь за первую секунду ($n=1$):
$\Delta s_1 = s(1) - s(0) = 4.9 - 0 = 4.9 \, \text{м}$

Путь за вторую секунду ($n=2$):
$\Delta s_2 = s(2) - s(1) = 19.6 - 4.9 = 14.7 \, \text{м}$

Путь за третью секунду ($n=3$):
$\Delta s_3 = s(3) - s(2) = 44.1 - 19.6 = 24.5 \, \text{м}$

Найдем соотношение этих путей:
$\Delta s_1 : \Delta s_2 : \Delta s_3 = 4.9 : 14.7 : 24.5$

Разделим все члены отношения на наименьший ($\Delta s_1 = 4.9$):
$\frac{4.9}{4.9} : \frac{14.7}{4.9} : \frac{24.5}{4.9} = 1 : 3 : 5$

Соотношение соответствует ряду нечетных чисел 1, 3, 5, ... .

Ответ: Пути, пройденные за первую, вторую и третью секунды, равны 4.9 м, 14.7 м и 24.5 м соответственно. Их отношение 1:3:5 подтверждает, что значения соответствуют ряду нечетных чисел.

Определите, на сколько увеличивается путь, пройденный телом в течение двух любых последующих секунд

Эта формулировка означает, что нужно найти разность между путями, пройденными за две последовательные секунды, то есть $\Delta s_{n+1} - \Delta s_n$.

Используем вычисленные выше значения:

Увеличение пути при переходе от первой ко второй секунде:
$\Delta s_2 - \Delta s_1 = 14.7 \, \text{м} - 4.9 \, \text{м} = 9.8 \, \text{м}$

Увеличение пути при переходе от второй к третьей секунде:
$\Delta s_3 - \Delta s_2 = 24.5 \, \text{м} - 14.7 \, \text{м} = 9.8 \, \text{м}$

Можно доказать это в общем виде. Путь, пройденный за $n$-ую секунду: $\Delta s_n = s(n) - s(n-1) = \frac{g}{2}n^2 - \frac{g}{2}(n-1)^2 = \frac{g}{2}(2n-1)$.

Тогда разность путей за $(n+1)$-ую и $n$-ую секунды равна:
$\Delta s_{n+1} - \Delta s_n = \frac{g}{2}(2(n+1)-1) - \frac{g}{2}(2n-1) = \frac{g}{2}(2n+1 - (2n-1)) = \frac{g}{2}(2) = g$.

Таким образом, путь, пройденный за каждую последующую секунду, увеличивается на постоянную величину, равную ускорению свободного падения $g$.

Ответ: Путь, пройденный телом за каждую последующую секунду, увеличивается на 9.8 м.