Номер 14.7, страница 45 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 14. Движение тел в поле силы тяжести. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 14.7, страница 45.

14.7 [н] В каких случаях график модуля скорости тела, совершающего свободное падение (см. рис. II-48), можно считать графиком проекции вектора скорости на вертикальную ось?

$v, \text{м/с}$

$t, \text{с}$

Рис. II-48

График модуля скорости тела $v(t)$ совпадает с графиком проекции его вектора скорости на вертикальную ось $v_y(t)$ только в том случае, когда эта проекция неотрицательна в течение всего рассматриваемого времени движения, то есть при выполнении условия $v_y(t) \ge 0$. Это связано с тем, что модуль скорости по определению является величиной неотрицательной, $v = |\vec{v}|$, а для одномерного движения вдоль оси $y$ это эквивалентно $v = |v_y|$. Если $v_y \ge 0$, то $|v_y| = v_y$, и графики совпадают. Если же $v_y < 0$, то $|v_y| = -v_y$, и графики будут зеркально симметричны относительно оси времени.

Рассмотрим, в каких случаях свободного падения выполняется условие $v_y(t) \ge 0$. Это зависит от выбора направления вертикальной оси и начальных условий движения.

1. Вертикальная ось Oy направлена вниз.
В этом случае проекция ускорения свободного падения на ось Oy положительна: $a_y = g$. Уравнение для проекции скорости имеет вид:$v_y(t) = v_{0y} + gt$где $v_{0y}$ — проекция начальной скорости.Чтобы условие $v_y(t) \ge 0$ выполнялось для любого момента времени $t \ge 0$, необходимо, чтобы начальная проекция скорости также была неотрицательной: $v_{0y} \ge 0$. Это соответствует двум физическим ситуациям:

• Тело начинает падение из состояния покоя (его отпускают). Тогда $v_{0y} = 0$, и $v_y(t) = gt$. Скорость всегда направлена вниз (сонаправлена с осью) и ее проекция неотрицательна. На рисунке II-48 этому случаю соответствует график B, для которого $v(0)=0$, а ускорение $a = \frac{20 \text{ м/с}}{2 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}^2 \approx g$.
• Тело брошено вертикально вниз. Тогда $v_{0y} > 0$, и $v_y(t)$ очевидно будет положительна при $t \ge 0$. Скорость также всегда направлена вниз. На рисунке II-48 этому случаю соответствует график A, где начальная скорость $v(0) = 5 \text{ м/с}$, а ускорение $a = \frac{25 \text{ м/с} - 5 \text{ м/с}}{2 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}^2 \approx g$.

В обоих этих случаях (графики A и B) график модуля скорости можно считать графиком проекции скорости на вертикальную ось, направленную вниз.

2. Вертикальная ось Oy направлена вверх.
В этом случае проекция ускорения свободного падения отрицательна: $a_y = -g$. Уравнение для проекции скорости:$v_y(t) = v_{0y} - gt$Чтобы $v_y(t)$ была неотрицательной, тело должно быть брошено вертикально вверх ($v_{0y} > 0$), так как если $v_{0y} \le 0$ (тело брошено вниз или отпущено), то $v_y(t)$ будет всегда отрицательной (или равной нулю в начальный момент).При движении вверх ($v_{0y} > 0$), проекция скорости $v_y(t)$ будет неотрицательной только до момента времени $t_{подъема} = v_{0y}/g$, когда тело достигает максимальной высоты. После этого момента тело начинает падать, и проекция его скорости становится отрицательной.График C как раз иллюстрирует модуль скорости тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью $v_0 = 15 \text{ м/с}$. Проекция его скорости описывается функцией $v_y(t) = 15 - 10t$. Эта проекция положительна при $t < 1.5 \text{ с}$, равна нулю при $t = 1.5 \text{ с}$ и отрицательна при $t > 1.5 \text{ с}$. График модуля скорости $v(t) = |v_y(t)|$ совпадает с графиком проекции $v_y(t)$ только на интервале времени $[0; 1.5 \text{ с}]$. Поскольку на рисунке показан интервал до $t=2 \text{ с}$, на всем этом интервале графики не совпадают.

Таким образом, график модуля скорости можно считать графиком проекции скорости на вертикальную ось без каких-либо оговорок о промежутке времени в случаях, когда вектор скорости не меняет своего направления относительно выбранной оси.

Ответ:График модуля скорости тела, совершающего свободное падение, можно считать графиком проекции вектора скорости на вертикальную ось в следующих случаях:

1. Если вертикальная ось направлена вниз, а тело отпущено из состояния покоя (начальная скорость равна нулю). Этому случаю соответствует график B.
2. Если вертикальная ось направлена вниз, а тело брошено с начальной скоростью, направленной вертикально вниз. Этому случаю соответствует график A.
3. Если вертикальная ось направлена вверх, тело брошено вертикально вверх, и рассматривается только интервал времени, в течение которого тело поднимается до наивысшей точки.