Номер 14.10, страница 46 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 14. Движение тел в поле силы тяжести. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 14.10, страница 46.

14.10* [314*] Камень упал в воду с крутой скалы. Звук его падения был услышан на вершине скалы через 5 с после начала движения камня. Определите высоту скалы, если скорость звука в воздухе равна 340 м/с.

Дано:

Все данные представлены в системе СИ.

Общее время от начала движения камня до прихода звука, $t_{общ}$ = 5 с

Скорость звука в воздухе, $v_{зв}$ = 340 м/с

Начальная скорость камня, $v_0$ = 0 м/с (камень падает из состояния покоя)

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

Высоту скалы, $h$

Решение:

Общее время $t_{общ}$ состоит из двух частей: времени падения камня ($t_{пад}$) и времени, за которое звук от всплеска доходит до вершины скалы ($t_{зв}$).

$t_{общ} = t_{пад} + t_{зв}$

Высоту скалы $h$ можно определить из уравнений движения для камня и для звука.

1. Движение камня — это свободное падение без начальной скорости. Высота скалы описывается формулой:

$h = \frac{g t_{пад}^2}{2}$ (1)

2. Движение звука — это равномерное прямолинейное движение. Высота скалы, которую проходит звук, равна:

$h = v_{зв} \cdot t_{зв}$ (2)

Из основного уравнения времени выразим время движения звука $t_{зв}$:

$t_{зв} = t_{общ} - t_{пад} = 5 - t_{пад}$

Подставим это выражение в формулу (2):

$h = v_{зв} \cdot (5 - t_{пад})$ (3)

Теперь мы можем приравнять правые части уравнений (1) и (3), так как левые части (высота $h$) равны:

$\frac{g t_{пад}^2}{2} = v_{зв} \cdot (5 - t_{пад})$

Подставим известные значения $g$ и $v_{зв}$ и преобразуем уравнение в стандартный вид квадратного уравнения $at^2 + bt + c = 0$ относительно $t_{пад}$:

$\frac{9,8}{2} t_{пад}^2 = 340 \cdot (5 - t_{пад})$

$4,9 t_{пад}^2 = 1700 - 340 t_{пад}$

$4,9 t_{пад}^2 + 340 t_{пад} - 1700 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 340^2 - 4 \cdot 4,9 \cdot (-1700) = 115600 + 33320 = 148920$

Найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{148920} \approx 385,9$

Найдем время падения $t_{пад}$. Поскольку время не может быть отрицательным, мы используем только положительный корень уравнения:

$t_{пад} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-340 + 385,9}{2 \cdot 4,9} = \frac{45,9}{9,8} \approx 4,684$ с

Теперь, зная время падения, можем вычислить высоту скалы $h$ по формуле (1):

$h = \frac{g t_{пад}^2}{2} \approx \frac{9,8 \cdot (4,684)^2}{2} \approx \frac{9,8 \cdot 21,94}{2} \approx 107,5$ м

Проверим результат, вычислив высоту по формуле (3). Сначала найдем $t_{зв}$:

$t_{зв} = 5 - t_{пад} \approx 5 - 4,684 = 0,316$ с

$h = v_{зв} \cdot t_{зв} \approx 340 \cdot 0,316 \approx 107,44$ м

Результаты, полученные двумя способами, практически совпадают (небольшая разница обусловлена округлением). Таким образом, высота скалы составляет примерно 107,5 м.

Ответ: высота скалы приблизительно равна 107,5 м.