Номер 14.15, страница 46 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 14. Движение тел в поле силы тяжести. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 14.15, страница 46.

14.15 [н] На рисунке II-52 представлены графики пути двух тел А и В, двигавшихся в вертикальном направлении. Как направлена и чему равна начальная скорость каждого из тел? Какой знак имеет проекция вектора начальной скорости на ось $Y$, если ось направлена вверх? Можно ли утверждать, что к моменту времени, соответствующему пересечению графиков, тела прошли одинаковый путь? Находились ли они в одной и той же точке пространства?

$s$, м

$t$, с

Рис. II-52

Дано:

Графики зависимости пути $s$ от времени $t$ для двух тел А и В, движущихся вертикально. Ось Y направлена вверх.

Найти:

1. Направление и значение начальной скорости каждого тела.
2. Знак проекции вектора начальной скорости на ось Y.
3. Равенство путей в момент пересечения графиков.
4. Находились ли тела в одной точке пространства в момент пересечения графиков.

Решение:

Анализ проведем на основе представленных графиков зависимости пути $s$ от времени $t$. Мгновенная скорость тела в любой момент времени определяется как тангенс угла наклона касательной к графику $s(t)$ в соответствующей точке: $v = \frac{ds}{dt}$.

Как направлена и чему равна начальная скорость каждого из тел?

Начальная скорость $v_0$ — это скорость тела в момент времени $t=0$. Чтобы найти ее, нужно определить наклон касательной к графику в точке $(0,0)$.
Для тела А:
Касательная к графику А в точке $t=0$ имеет положительный наклон. Проведем касательную через начало координат. Мы видим, что она проходит примерно через точку $(t=1 \text{ с}, s=20 \text{ м})$. Таким образом, начальная скорость тела А равна:
$v_{0A} = \frac{\Delta s}{\Delta t} \approx \frac{20 \text{ м} - 0 \text{ м}}{1 \text{ с} - 0 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$.
Поскольку путь $s$ со временем увеличивается, тело движется в одном направлении. Так как движение вертикальное и по условию ось Y направлена вверх, то вектор начальной скорости направлен вверх.
Для тела B:
Касательная к графику B в точке $t=0$ горизонтальна. Это означает, что ее наклон равен нулю.
$v_{0B} = 0 \text{ м/с}$.
Тело B начинает движение из состояния покоя.

Ответ: Начальная скорость тела А направлена вверх и равна примерно $20 \text{ м/с}$. Начальная скорость тела В равна нулю.

Какой знак имеет проекция вектора начальной скорости на ось Y, если ось направлена вверх?

Проекция вектора скорости на ось Y, $v_y$, будет положительной, если вектор скорости сонаправлен с осью Y, и отрицательной, если направлен противоположно.
Для тела А:
Вектор начальной скорости $\vec{v}_{0A}$ направлен вверх, так же как и ось Y. Следовательно, его проекция на ось Y положительна: $v_{0yA} > 0$.
Для тела B:
Вектор начальной скорости $\vec{v}_{0B}$ равен нулю. Следовательно, его проекция на ось Y также равна нулю: $v_{0yB} = 0$.

Ответ: Проекция начальной скорости тела А на ось Y имеет положительный знак. Проекция начальной скорости тела В равна нулю.

Можно ли утверждать, что к моменту времени, соответствующему пересечению графиков, тела прошли одинаковый путь?

Точка пересечения двух графиков на плоскости $(t, s)$ — это точка, в которой значения времени $t$ и пути $s$ для обоих тел совпадают.
Из графика видно, что кривые A и B пересекаются в момент времени $t \approx 1,8 \text{ с}$. В этот момент значение на оси ординат (оси пути $s$) для обоих графиков одинаково и составляет $s \approx 20 \text{ м}$.
Таким образом, к моменту пересечения графиков оба тела прошли одинаковый путь, равный примерно $20 \text{ м}$.

Ответ: Да, можно утверждать, что в момент времени, соответствующий пересечению графиков, тела прошли одинаковый путь.

Находились ли они в одной и той же точке пространства?

График показывает пройденный путь $s$, а не координату $y$. Координата тела в любой момент времени $t$ связана с пройденным путем и начальной координатой $y_0$ соотношением $y(t) = y_0 + s(t)$ (для движения в положительном направлении оси Y).
В момент времени $t_x$, когда графики пересекаются, мы имеем $s_A(t_x) = s_B(t_x)$.
Чтобы тела находились в одной и той же точке пространства, их координаты должны быть равны: $y_A(t_x) = y_B(t_x)$.
Это означает, что должно выполняться равенство:
$y_A(0) + s_A(t_x) = y_B(0) + s_B(t_x)$.
Поскольку $s_A(t_x) = s_B(t_x)$, это равенство выполняется только в том случае, если начальные координаты тел были одинаковы: $y_A(0) = y_B(0)$.
В условии задачи не сказано, что тела начали движение из одной и той же точки. Следовательно, мы не можем утверждать, что в момент пересечения графиков они находились в одной точке пространства. Это было бы так только при условии, что они стартовали из одной точки.

Ответ: Не обязательно. Тела находились бы в одной точке пространства, только если бы они начали свое движение из одной и той же начальной точки.