Номер 14.22, страница 48 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 14. Движение тел в поле силы тяжести. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 14.22, страница 48.

14.22 [н] С какой начальной скоростью тело было брошено с высоты $h$ в горизонтальном направлении, если в конце полёта компоненты вектора скорости $v_x$ и $v_y$ оказались одинаковыми? Чему равен угол между вектором скорости и осью $X$ в момент падения на землю?

Дано:

Высота броска: $h$

Условие в момент падения: $v_x = v_y$

Найти:

Начальная скорость $v_0 - ?$

Угол падения $\alpha - ?$

Решение:

Рассмотрим движение тела в системе координат, где ось OX направлена горизонтально по направлению начальной скорости, а ось OY — вертикально вниз. Начало координат $(0,0)$ находится в точке броска.

При таком выборе системы координат начальные условия движения будут следующими:
начальная скорость по оси X: $v_{0x} = v_0$;
начальная скорость по оси Y: $v_{0y} = 0$.

Движение тела можно рассматривать как совокупность двух независимых движений: равномерного по горизонтали (ось OX) и равноускоренного (свободное падение) по вертикали (ось OY).

Запишем уравнения для компонент скорости в произвольный момент времени $t$:
Горизонтальная компонента скорости остается постоянной: $v_x(t) = v_0$.
Вертикальная компонента скорости изменяется по закону: $v_y(t) = v_{0y} + gt = gt$.

Полет тела продолжается до момента времени $T$, когда оно достигает земли. За это время тело по вертикали смещается на расстояние $h$. Используя формулу для пути при равноускоренном движении, получаем:
$h = \frac{gT^2}{2}$

Из этого уравнения можно выразить время полета $T$:
$T = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Согласно условию задачи, в момент падения на землю ($t = T$) компоненты вектора скорости $v_x$ и $v_y$ равны:
$v_x(T) = v_y(T)$

Подставляя выражения для компонент скорости, получаем:
$v_0 = gT$

Теперь, чтобы найти начальную скорость $v_0$, подставим в полученное равенство выражение для времени полета $T$:
$v_0 = g \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{g^2 \cdot \frac{2h}{g}} = \sqrt{2gh}$

Далее определим угол $\alpha$ между вектором скорости и осью OX в момент падения. Тангенс этого угла равен отношению вертикальной компоненты скорости к горизонтальной:
$\tan{\alpha} = \frac{v_y(T)}{v_x(T)}$

Поскольку по условию $v_x(T) = v_y(T)$, то:
$\tan{\alpha} = 1$

Следовательно, искомый угол равен:
$\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$

Ответ: начальная скорость тела была равна $v_0 = \sqrt{2gh}$, а угол между вектором скорости и осью X в момент падения на землю составляет $45^\circ$.