Номер 14.29, страница 49 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 14. Движение тел в поле силы тяжести. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 14.29, страница 49.

14.29 [н] Мяч для гольфа, отправленный в полёт с вершины холма высотой 10,0 м под углом $30^\circ$ к горизонту, упал на землю через 8,2 с. Определите:

модуль начальной скорости тела

дальность полёта

время, за которое мяч достиг наивысшей точки траектории

максимальную высоту полёта

Дано:

$h_0 = 10.0 \, м$
$\alpha = 30^\circ$
$t_{полн} = 8.2 \, с$
$g = 9.8 \, м/с^2$

Найти:

$v_0$ - модуль начальной скорости
$L$ - дальность полёта
$t_{подъема}$ - время подъема на максимальную высоту
$H_{max}$ - максимальная высота полёта

Решение:

Введем систему координат. Начало координат $(0;0)$ разместим на земле под точкой броска. Ось $OX$ направим горизонтально в сторону полёта, а ось $OY$ — вертикально вверх. Таким образом, начальные координаты мяча: $x_0 = 0$, $y_0 = h_0 = 10.0 \, м$.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно разложить на два независимых движения: равномерное по горизонтали (ось $OX$) и равноускоренное по вертикали (ось $OY$) с ускорением $g$, направленным вниз.

Запишем уравнения движения:
Проекции начальной скорости на оси:
$v_{0x} = v_0 \cos\alpha$
$v_{0y} = v_0 \sin\alpha$
Координаты тела в любой момент времени $t$:
$x(t) = v_0 \cos\alpha \cdot t$
$y(t) = h_0 + v_0 \sin\alpha \cdot t - \frac{gt^2}{2}$

модуль начальной скорости тела

В момент падения на землю ($t = t_{полн}$) вертикальная координата мяча равна нулю: $y(t_{полн}) = 0$. Подставим известные значения в уравнение для $y(t)$: $0 = h_0 + v_0 \sin\alpha \cdot t_{полн} - \frac{g t_{полн}^2}{2}$

Выразим из этого уравнения начальную скорость $v_0$: $v_0 \sin\alpha \cdot t_{полн} = \frac{g t_{полн}^2}{2} - h_0$
$v_0 = \frac{\frac{g t_{полн}^2}{2} - h_0}{t_{полн} \sin\alpha}$

Подставим числовые значения: $v_0 = \frac{\frac{9.8 \cdot (8.2)^2}{2} - 10.0}{8.2 \cdot \sin30^\circ} = \frac{\frac{9.8 \cdot 67.24}{2} - 10.0}{8.2 \cdot 0.5} = \frac{329.476 - 10.0}{4.1} = \frac{319.476}{4.1} \approx 77.92 \, м/с$

Округляя до трех значащих цифр, получаем:

Ответ: модуль начальной скорости тела равен $77.9 \, м/с$.

дальность полёта

Дальность полёта $L$ — это горизонтальная координата $x$ в момент падения $t_{полн}$. $L = x(t_{полн}) = v_0 \cos\alpha \cdot t_{полн}$

Подставим значения, используя найденную скорость $v_0 \approx 77.92 \, м/с$ для большей точности: $L = 77.92 \cdot \cos30^\circ \cdot 8.2 \approx 77.92 \cdot 0.866 \cdot 8.2 \approx 553.36 \, м$

Округляя до трех значащих цифр:

Ответ: дальность полёта мяча составляет $553 \, м$.

время, за которое мяч достиг наивысшей точки траектории

В наивысшей точке траектории вертикальная составляющая скорости $v_y$ обращается в ноль. Уравнение для вертикальной скорости: $v_y(t) = v_0 \sin\alpha - gt$. При $t = t_{подъема}$, $v_y(t_{подъема}) = 0$: $0 = v_0 \sin\alpha - g t_{подъема}$

Отсюда находим время подъема: $t_{подъема} = \frac{v_0 \sin\alpha}{g}$

Подставим значения: $t_{подъема} = \frac{77.92 \cdot \sin30^\circ}{9.8} = \frac{77.92 \cdot 0.5}{9.8} = \frac{38.96}{9.8} \approx 3.9755 \, с$

Округляя до трех значащих цифр:

Ответ: мяч достиг наивысшей точки траектории за $3.98 \, с$.

максимальную высоту полёта

Максимальная высота полёта $H_{max}$ — это вертикальная координата $y$ в момент времени $t = t_{подъема}$. Высота измеряется от уровня земли (ось $OX$). $H_{max} = y(t_{подъема}) = h_0 + v_0 \sin\alpha \cdot t_{подъема} - \frac{g t_{подъема}^2}{2}$

Можно использовать более простую формулу, подставив выражение для $t_{подъема}$: $H_{max} = h_0 + \frac{(v_0 \sin\alpha)^2}{2g}$

Подставим числовые значения: $H_{max} = 10.0 + \frac{(77.92 \cdot \sin30^\circ)^2}{2 \cdot 9.8} = 10.0 + \frac{(77.92 \cdot 0.5)^2}{19.6} = 10.0 + \frac{(38.96)^2}{19.6} = 10.0 + \frac{1517.88}{19.6} \approx 10.0 + 77.44 \approx 87.44 \, м$

Округляя до одной цифры после запятой (как в $h_0$):

Ответ: максимальная высота полёта равна $87.4 \, м$.