Номер 14.24, страница 48 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 14. Движение тел в поле силы тяжести. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 14.24, страница 48.

14.24 [н] Тело брошено с некоторой начальной скоростью $v_0$ под углом $0 < \alpha < 90^\circ$ к горизонтали. По какой траектории оно будет двигаться, если масштабы движения невелики и силы сопротивления не оказывают влияния на это движение? Равны ли начальная и конечная скорости полёта тела при этих условиях? Составьте кинематические уравнения для координат $x$ и $y$, а также для компонент $v_x$ и $v_y$ вектора скорости тела в зависимости от времени.

Какая величина принимает значение, равное $0$:

1) в верхней точке траектории;

2) в конце полёта?

Дано:

Начальная скорость: $v_0$

Угол к горизонту: $\alpha$ ($0 < \alpha < 90^\circ$)

Ускорение свободного падения: $g$

Сопротивление воздуха отсутствует.

Найти:

1. Траекторию движения.

2. Сравнить начальную и конечную скорости.

3. Кинематические уравнения: $x(t)$, $y(t)$, $v_x(t)$, $v_y(t)$.

4. Величину, равную нулю в верхней точке траектории и в конце полёта.

Решение:

Выберем систему отсчёта, связанную с Землей. Начало координат $(0,0)$ поместим в точку броска. Ось $OX$ направим горизонтально по направлению полёта, а ось $OY$ — вертикально вверх. В этом случае на тело действует только сила тяжести, сообщающая ему ускорение $\vec{g}$, направленное вертикально вниз. Таким образом, проекции ускорения на оси координат равны $a_x = 0$ и $a_y = -g$.

Начальную скорость $\vec{v}_0$ разложим на компоненты: $v_{0x} = v_0 \cos \alpha$ и $v_{0y} = v_0 \sin \alpha$.

Составьте кинематические уравнения для координат x и y, а также для компонент v_x и v_y вектора скорости тела в зависимости от времени.

Движение тела является суперпозицией двух независимых движений: равномерного вдоль оси $OX$ (так как $a_x = 0$) и равноускоренного вдоль оси $OY$ (так как $a_y = -g$).

Зависимость компонент скорости от времени:

$v_x(t) = v_{0x} + a_x t = v_0 \cos \alpha$

$v_y(t) = v_{0y} + a_y t = v_0 \sin \alpha - gt$

Зависимость координат от времени (учитывая, что $x_0=0, y_0=0$):

$x(t) = x_0 + v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2} = (v_0 \cos \alpha) t$

$y(t) = y_0 + v_{0y} t + \frac{a_y t^2}{2} = (v_0 \sin \alpha) t - \frac{gt^2}{2}$

Ответ: Кинематические уравнения имеют вид:

$v_x(t) = v_0 \cos \alpha$

$v_y(t) = v_0 \sin \alpha - gt$

$x(t) = (v_0 \cos \alpha) t$

$y(t) = (v_0 \sin \alpha) t - \frac{gt^2}{2}$

По какой траектории оно будет двигаться, если масштабы движения невелики и силы сопротивления не оказывают влияния на это движение?

Чтобы найти уравнение траектории $y(x)$, необходимо исключить время $t$ из системы уравнений для координат. Из уравнения для $x(t)$ выразим время: $t = \frac{x}{v_0 \cos \alpha}$. Подставим это выражение в уравнение для $y(t)$:

$y(x) = (v_0 \sin \alpha) \left( \frac{x}{v_0 \cos \alpha} \right) - \frac{g}{2} \left( \frac{x}{v_0 \cos \alpha} \right)^2$

Упростив, получаем уравнение траектории:

$y(x) = x \tan \alpha - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha} x^2$

Это уравнение вида $y = Ax - Bx^2$ ($A$ и $B$ — положительные константы), которое является каноническим уравнением параболы, ветви которой направлены вниз.

Ответ: Тело будет двигаться по параболе.

Равны ли начальная и конечная скорости полёта тела при этих условиях?

Начальный вектор скорости: $\vec{v}_0 = (v_0 \cos \alpha) \hat{i} + (v_0 \sin \alpha) \hat{j}$.

Для нахождения конечной скорости найдём полное время полёта $T$. Полёт заканчивается при возвращении тела на начальную высоту, т.е. при $y(T)=0$.

$(v_0 \sin \alpha) T - \frac{gT^2}{2} = 0 \implies T \left( v_0 \sin \alpha - \frac{gT}{2} \right) = 0$.

Отсюда время полёта $T = \frac{2 v_0 \sin \alpha}{g}$ (решение $T=0$ соответствует началу движения).

Компоненты конечной скорости $\vec{v}_k$ в момент времени $t=T$:

$v_{kx} = v_x(T) = v_0 \cos \alpha$

$v_{ky} = v_y(T) = v_0 \sin \alpha - gT = v_0 \sin \alpha - g \frac{2 v_0 \sin \alpha}{g} = -v_0 \sin \alpha$

Конечный вектор скорости: $\vec{v}_k = (v_0 \cos \alpha) \hat{i} - (v_0 \sin \alpha) \hat{j}$.

Сравнивая векторы $\vec{v}_0$ и $\vec{v}_k$, мы видим, что они не равны, так как их вертикальные компоненты имеют противоположные знаки. Однако их модули (скалярные скорости) равны:

$|\vec{v}_k| = \sqrt{(v_0 \cos \alpha)^2 + (-v_0 \sin \alpha)^2} = \sqrt{v_0^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)} = v_0 = |\vec{v}_0|$.

Ответ: Начальная и конечная скорости как векторы не равны, так как они имеют разное направление. Их модули равны.

Какая величина принимает значение, равное 0:

1) в верхней точке траектории;

В верхней точке траектории тело достигает максимальной высоты. В этот момент его вертикальная скорость обращается в ноль, так как тело прекращает подниматься и начинает опускаться. Горизонтальная скорость при этом остаётся постоянной и не равной нулю.

Ответ: В верхней точке траектории равна нулю вертикальная компонента скорости ($v_y = 0$).

2) в конце полёта?

В конце полёта (при условии возвращения на начальную высоту) тело оказывается в точке с координатами $(x(T), 0)$. Таким образом, его вертикальная координата $y$ равна нулю. Это также означает, что его вертикальное перемещение за всё время полёта равно нулю.

Ответ: В конце полёта равна нулю вертикальная координата тела ($y = 0$).