Номер 14.17, страница 47 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 14. Движение тел в поле силы тяжести. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 14.17, страница 47.

14.17* [315*] Жонглёр в цирке подбрасывает вертикально вверх шарик с начальной скоростью 10 м/с. Через 0,5 с с такой же скоростью вслед за первым вверх брошен второй шарик. На какой высоте от точки бросания встретятся шарики?

Дано:

$v_0 = 10 \text{ м/с}$ (начальная скорость обоих шариков)
$\Delta t = 0.5 \text{ с}$ (задержка броска второго шарика)
$g \approx 10 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения, принимаем для упрощения расчетов)

Найти:

$h$ — высота встречи шариков.

Решение:

Движение шариков, брошенных вертикально вверх, описывается уравнением кинематики для равноускоренного движения. Выберем начало координат в точке бросания, а ось OY направим вертикально вверх. Тогда зависимость высоты $h$ от времени $t$ имеет вид:

$h(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

Пусть $t$ — время полета первого шарика до момента встречи. Тогда его высота в этот момент будет равна:

$h_1(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

Второй шарик бросают на $\Delta t$ позже, поэтому его время полета до момента встречи составит $(t - \Delta t)$. Его высота в тот же момент времени $t$ (отсчитывая от броска первого шарика) будет равна:

$h_2(t) = v_0(t - \Delta t) - \frac{g(t - \Delta t)^2}{2}$

В момент встречи высоты шариков равны, то есть $h_1(t) = h_2(t)$. Приравняем правые части уравнений:

$v_0 t - \frac{gt^2}{2} = v_0(t - \Delta t) - \frac{g(t - \Delta t)^2}{2}$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$v_0 t - \frac{gt^2}{2} = v_0 t - v_0 \Delta t - \frac{g}{2}(t^2 - 2t\Delta t + (\Delta t)^2)$

$v_0 t - \frac{gt^2}{2} = v_0 t - v_0 \Delta t - \frac{gt^2}{2} + gt\Delta t - \frac{g(\Delta t)^2}{2}$

Сократим одинаковые члены $v_0 t$ и $-\frac{gt^2}{2}$ в обеих частях уравнения:

$0 = -v_0 \Delta t + gt\Delta t - \frac{g(\Delta t)^2}{2}$

Теперь выразим время $t$:

$gt\Delta t = v_0 \Delta t + \frac{g(\Delta t)^2}{2}$

Разделим обе части на $g\Delta t$ (так как $\Delta t \neq 0$):

$t = \frac{v_0}{g} + \frac{\Delta t}{2}$

Подставим числовые значения и найдем время встречи $t$:

$t = \frac{10 \text{ м/с}}{10 \text{ м/с}^2} + \frac{0.5 \text{ с}}{2} = 1 \text{ с} + 0.25 \text{ с} = 1.25 \text{ с}$

Это время, прошедшее с момента броска первого шарика. Теперь найдем высоту встречи, подставив значение $t$ в уравнение для высоты первого шарика:

$h = h_1(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2} = 10 \cdot 1.25 - \frac{10 \cdot (1.25)^2}{2}$

$h = 12.5 - 5 \cdot 1.5625 = 12.5 - 7.8125 = 4.6875 \text{ м}$

Ответ: шарики встретятся на высоте $h = 4.6875 \text{ м}$ от точки бросания.