Страница 47 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

14.17* [315*] Жонглёр в цирке подбрасывает вертикально вверх шарик с начальной скоростью 10 м/с. Через 0,5 с с такой же скоростью вслед за первым вверх брошен второй шарик. На какой высоте от точки бросания встретятся шарики?

Дано:

$v_0 = 10 \text{ м/с}$ (начальная скорость обоих шариков)
$\Delta t = 0.5 \text{ с}$ (задержка броска второго шарика)
$g \approx 10 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения, принимаем для упрощения расчетов)

Найти:

$h$ — высота встречи шариков.

Решение:

Движение шариков, брошенных вертикально вверх, описывается уравнением кинематики для равноускоренного движения. Выберем начало координат в точке бросания, а ось OY направим вертикально вверх. Тогда зависимость высоты $h$ от времени $t$ имеет вид:

$h(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

Пусть $t$ — время полета первого шарика до момента встречи. Тогда его высота в этот момент будет равна:

$h_1(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$

Второй шарик бросают на $\Delta t$ позже, поэтому его время полета до момента встречи составит $(t - \Delta t)$. Его высота в тот же момент времени $t$ (отсчитывая от броска первого шарика) будет равна:

$h_2(t) = v_0(t - \Delta t) - \frac{g(t - \Delta t)^2}{2}$

В момент встречи высоты шариков равны, то есть $h_1(t) = h_2(t)$. Приравняем правые части уравнений:

$v_0 t - \frac{gt^2}{2} = v_0(t - \Delta t) - \frac{g(t - \Delta t)^2}{2}$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$v_0 t - \frac{gt^2}{2} = v_0 t - v_0 \Delta t - \frac{g}{2}(t^2 - 2t\Delta t + (\Delta t)^2)$

$v_0 t - \frac{gt^2}{2} = v_0 t - v_0 \Delta t - \frac{gt^2}{2} + gt\Delta t - \frac{g(\Delta t)^2}{2}$

Сократим одинаковые члены $v_0 t$ и $-\frac{gt^2}{2}$ в обеих частях уравнения:

$0 = -v_0 \Delta t + gt\Delta t - \frac{g(\Delta t)^2}{2}$

Теперь выразим время $t$:

$gt\Delta t = v_0 \Delta t + \frac{g(\Delta t)^2}{2}$

Разделим обе части на $g\Delta t$ (так как $\Delta t \neq 0$):

$t = \frac{v_0}{g} + \frac{\Delta t}{2}$

Подставим числовые значения и найдем время встречи $t$:

$t = \frac{10 \text{ м/с}}{10 \text{ м/с}^2} + \frac{0.5 \text{ с}}{2} = 1 \text{ с} + 0.25 \text{ с} = 1.25 \text{ с}$

Это время, прошедшее с момента броска первого шарика. Теперь найдем высоту встречи, подставив значение $t$ в уравнение для высоты первого шарика:

$h = h_1(t) = v_0 t - \frac{gt^2}{2} = 10 \cdot 1.25 - \frac{10 \cdot (1.25)^2}{2}$

$h = 12.5 - 5 \cdot 1.5625 = 12.5 - 7.8125 = 4.6875 \text{ м}$

Ответ: шарики встретятся на высоте $h = 4.6875 \text{ м}$ от точки бросания.

14.18 [н] Какие из приведённых ниже уравнений описывают изменение проекции вектора скорости тела, брошенного вертикально вверх с некоторой начальной скоростью:

1) $v_y = 9,8 - 9,8t$

2) $v_y = 9,8t$

3) $v_y = -6 + 9,8t$

4) $v_y = -9,8t?$

Для каждого движения тела изобразите направления: координатной оси, вектора начальной скорости тела и вектора ускорения свободного падения.

Решение

Общий вид уравнения для проекции скорости тела при равноускоренном движении:

$v_y(t) = v_{0y} + a_y t$

где $v_y(t)$ — проекция скорости в момент времени $t$, $v_{0y}$ — проекция начальной скорости, $a_y$ — проекция ускорения.

Для тела, движущегося под действием силы тяжести, ускорение — это ускорение свободного падения $\vec{g}$, которое всегда направлено вертикально вниз, и его модуль равен $g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2$.

Условие "тело, брошенное вертикально вверх с некоторой начальной скоростью" означает, что вектор начальной скорости $\vec{v}_0$ направлен вверх и не равен нулю ($v_0 \neq 0$).

Рассмотрим два возможных случая направления координатной оси OY:

1. Ось OY направлена вертикально вверх. В этом случае проекция начальной скорости положительна ($v_{0y} = v_0 > 0$), а проекция ускорения свободного падения отрицательна ($a_y = -g = -9,8 \, \text{м/с}^2$). Уравнение скорости принимает вид: $v_y = v_0 - 9,8t$.

2. Ось OY направлена вертикально вниз. В этом случае проекция начальной скорости отрицательна ($v_{0y} = -v_0 < 0$), а проекция ускорения свободного падения положительна ($a_y = g = 9,8 \, \text{м/с}^2$). Уравнение скорости принимает вид: $v_y = -v_0 + 9,8t$.

Исходя из этого, проанализируем каждое из предложенных уравнений.

1) $v_y = 9,8 - 9,8t$

Сравнивая с общей формулой $v_y = v_{0y} + a_y t$, находим, что проекция начальной скорости $v_{0y} = 9,8 \, \text{м/с}$, а проекция ускорения $a_y = -9,8 \, \text{м/с}^2$.

Так как $v_{0y} > 0$ и $a_y < 0$, это уравнение соответствует случаю, когда тело брошено вертикально вверх (начальная скорость направлена вверх) в системе координат, где ось OY также направлена вверх.

Направления векторов и оси:

• Координатная ось OY: направлена вертикально вверх.
• Вектор начальной скорости $\vec{v}_0$: направлен вертикально вверх.
• Вектор ускорения свободного падения $\vec{g}$: направлен вертикально вниз.

2) $v_y = 9,8t$

В этом уравнении проекция начальной скорости $v_{0y} = 0$, а проекция ускорения $a_y = 9,8 \, \text{м/с}^2$.

Поскольку начальная скорость равна нулю, это уравнение не описывает тело, брошенное с некоторой начальной скоростью. Оно описывает тело, начинающее свободное падение из состояния покоя, в системе координат, где ось OY направлена вниз.

Направления векторов и оси:

• Координатная ось OY: направлена вертикально вниз.
• Вектор начальной скорости $\vec{v}_0$: равен нулю (тело в начальный момент времени покоится).
• Вектор ускорения свободного падения $\vec{g}$: направлен вертикально вниз.

3) $v_y = -6 + 9,8t$

Здесь проекция начальной скорости $v_{0y} = -6 \, \text{м/с}$, а проекция ускорения $a_y = 9,8 \, \text{м/с}^2$.

Так как $v_{0y} < 0$ и $a_y > 0$, это уравнение соответствует случаю, когда тело брошено вертикально вверх (начальная скорость направлена вверх) в системе координат, где ось OY направлена вниз. Начальная скорость $v_0 = 6 \, \text{м/с}$.

Направления векторов и оси:

• Координатная ось OY: направлена вертикально вниз.
• Вектор начальной скорости $\vec{v}_0$: направлен вертикально вверх.
• Вектор ускорения свободного падения $\vec{g}$: направлен вертикально вниз.

4) $v_y = -9,8t$

В этом уравнении проекция начальной скорости $v_{0y} = 0$, а проекция ускорения $a_y = -9,8 \, \text{м/с}^2$.

Поскольку начальная скорость равна нулю, это уравнение не описывает тело, брошенное с некоторой начальной скоростью. Оно описывает тело, начинающее свободное падение из состояния покоя, в системе координат, где ось OY направлена вверх.

Направления векторов и оси:

• Координатная ось OY: направлена вертикально вверх.
• Вектор начальной скорости $\vec{v}_0$: равен нулю (тело в начальный момент времени покоится).
• Вектор ускорения свободного падения $\vec{g}$: направлен вертикально вниз.

Ответ:

Движение тела, брошенного вертикально вверх с некоторой начальной скоростью, описывают уравнения 1) и 3).

• Уравнение 1) $v_y = 9,8 - 9,8t$ соответствует случаю, когда ось OY направлена вверх, а начальная скорость равна $9,8 \, \text{м/с}$.
• Уравнение 3) $v_y = -6 + 9,8t$ соответствует случаю, когда ось OY направлена вниз, а начальная скорость равна $6 \, \text{м/с}$.

Уравнения 2) и 4) описывают движение из состояния покоя, а не движение тела, брошенного с начальной скоростью.

14.19 [н] Внимательно рассмотрите рисунок П-53. Опишите движение тела и составьте уравнения зависимости значений координат $x$ и $y$ от времени, а также проекций $v_y$ и $v_y$ вектора скорости на оси координат. Как вычислить скорость движения тела в любой момент времени?

Рис. П-53

Описание движения тела

На рисунке изображено движение тела, брошенного горизонтально с некоторой высоты. Такое движение является сложным, и его принято рассматривать как результат сложения двух независимых друг от друга движений:

• Движение вдоль оси ОХ (горизонтальное): В горизонтальном направлении на тело не действуют силы (сопротивлением воздуха пренебрегаем). Поэтому проекция ускорения на ось ОХ равна нулю ($a_x = 0$). Это означает, что движение тела вдоль оси ОХ является равномерным и прямолинейным. Горизонтальная составляющая скорости тела остается постоянной и равной начальной скорости $v_x = v_0$.

• Движение вдоль оси OY (вертикальное): В вертикальном направлении на тело действует постоянная сила тяжести, которая сообщает ему постоянное ускорение — ускорение свободного падения $\vec{g}$, направленное вертикально вниз. Поскольку ось OY направлена вверх, проекция ускорения на эту ось отрицательна: $a_y = -g$. Движение вдоль оси OY является равноускоренным. Так как тело брошено горизонтально, начальная проекция скорости на ось OY равна нулю ($v_{0y} = 0$).

В результате сложения этих двух движений траекторией тела является ветвь параболы. Тело одновременно смещается по горизонтали с постоянной скоростью и падает по вертикали с постоянно возрастающей по модулю скоростью.

Ответ: Движение тела, брошенного горизонтально, является криволинейным движением с постоянным ускорением $\vec{g}$. Его можно рассматривать как сумму двух независимых движений: равномерного прямолинейного движения по горизонтали и равноускоренного движения (свободного падения) по вертикали.

Уравнения зависимости координат и проекций скорости от времени

Для составления уравнений используем стандартные кинематические формулы. Систему отсчета выберем так, как показано на рисунке: начало координат (0,0) находится на земле, ось OX направлена горизонтально, а ось OY — вертикально вверх. Начальные условия (в момент времени $t=0$):

• Начальные координаты: $x_0 = 0$, $y_0 = h$.

• Начальные проекции скорости: $v_{0x} = v_0$, $v_{0y} = 0$.

• Проекции ускорения: $a_x = 0$, $a_y = -g$.

1. Уравнения для координат:

Общий вид уравнений для координат при равноускоренном движении:

$x(t) = x_0 + v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2}$

$y(t) = y_0 + v_{0y} t + \frac{a_y t^2}{2}$

Подставим наши начальные условия и проекции ускорений:

• Для координаты $x$: $x(t) = 0 + v_0 \cdot t + \frac{0 \cdot t^2}{2} = v_0 t$.

• Для координаты $y$: $y(t) = h + 0 \cdot t + \frac{(-g) t^2}{2} = h - \frac{gt^2}{2}$.

2. Уравнения для проекций скорости:

Общий вид уравнений для проекций скорости:

$v_x(t) = v_{0x} + a_x t$

$v_y(t) = v_{0y} + a_y t$

Подставим наши значения:

• Для проекции скорости $v_x$: $v_x(t) = v_0 + 0 \cdot t = v_0$.

• Для проекции скорости $v_y$: $v_y(t) = 0 + (-g)t = -gt$. (Знак "минус" показывает, что вектор вертикальной составляющей скорости направлен вниз, то есть в сторону, противоположную направлению оси OY).

Ответ: Уравнения зависимости координат и проекций скорости от времени имеют вид:
$x(t) = v_0 t$
$y(t) = h - \frac{gt^2}{2}$
$v_x(t) = v_0$
$v_y(t) = -gt$

Как вычислить скорость движения тела в любой момент времени

Скорость тела (то есть модуль его вектора скорости $\vec{v}$) в любой момент времени $t$ можно найти, зная проекции этого вектора на оси координат, $v_x$ и $v_y$. Вектор скорости $\vec{v}$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат векторы его составляющих, а их длины (модули) равны $|v_x|$ и $|v_y|$.

По теореме Пифагора, модуль скорости $v$ равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций:

$v = |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

Теперь подставим в эту формулу выражения для проекций скорости, полученные ранее: $v_x(t) = v_0$ и $v_y(t) = -gt$.

$v(t) = \sqrt{(v_0)^2 + (-gt)^2}$

Так как квадрат отрицательного числа положителен, выражение упрощается:

$v(t) = \sqrt{v_0^2 + g^2 t^2}$

Эта формула позволяет рассчитать мгновенную скорость тела в любой момент времени $t$ от начала движения до падения.

Ответ: Скорость движения тела в любой момент времени $t$ вычисляется по формуле $v(t) = \sqrt{v_x(t)^2 + v_y(t)^2}$, что для данного случая равно $v(t) = \sqrt{v_0^2 + g^2 t^2}$.

14.20 [н] Выстрел из пистолета производят в горизонтальном направлении с высоты 19,6 м над уровнем земли (см. рисунок II-53). Начальная скорость пули 315 м/с. Определите: время полёта; дальность полёта пули, т. е. максимальное расстояние по горизонтали.

Y

$y_0$

$h$

0

$\vec{v}_0$

$\vec{v}_x$

$\vec{v}_y$

$\vec{v}$

$\vec{g}$

$l$

$x_{\max}$

X

Рис. II-53

Дано:

Высота, $h = 19,6$ м
Начальная скорость, $v_0 = 315$ м/с

Найти:

время полёта, $t$ - ?
дальность полёта пули, $l$ - ?

Решение:

Движение пули, выпущенной горизонтально, представляет собой сложное движение, которое можно разложить на два независимых: равномерное прямолинейное движение в горизонтальном направлении и равноускоренное движение (свободное падение) в вертикальном направлении.

Выберем систему координат, в которой начало находится в точке выстрела, ось ОХ направлена горизонтально по направлению выстрела, а ось OY — вертикально вниз. В этой системе координат начальные условия движения пули следующие:

• начальные координаты: $x_0 = 0$, $y_0 = 0$;
• проекции начальной скорости: $v_{0x} = v_0$, $v_{0y} = 0$;
• проекции ускорения: $a_x = 0$, $a_y = g$ (где $g \approx 9,8$ м/с$^2$ — ускорение свободного падения).

Тогда уравнения, описывающие координаты пули в любой момент времени $t$, будут:

По оси OX: $x(t) = v_0 t$

По оси OY: $y(t) = \frac{gt^2}{2}$

время полёта

Время полёта — это промежуток времени, за который пуля достигнет земли. В момент падения вертикальное смещение пули будет равно высоте $h$. Таким образом, $y(t) = h$.

Используя уравнение для вертикального движения, найдём время полёта $t$:

$h = \frac{gt^2}{2}$

Выразим из формулы время:

$t^2 = \frac{2h}{g} \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Подставим числовые значения:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 19,6 \text{ м}}{9,8 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{39,2}{9,8}} \text{ с} = \sqrt{4} \text{ с} = 2 \text{ с}$

Ответ: 2 с.

дальность полёта пули, т. е. максимальное расстояние по горизонтали

Дальность полёта $l$ — это максимальное расстояние, которое пуля пролетит по горизонтали за всё время своего полёта $t$. Для расчёта используем уравнение для горизонтального движения:

$l = x(t) = v_0 t$

Подставим значения начальной скорости и найденного времени полёта:

$l = 315 \text{ м/с} \cdot 2 \text{ с} = 630 \text{ м}$

Ответ: 630 м.

14.21 [н] Заставляя камешки прыгать

Рис. II-53

по воде, мальчик бросает их горизонтально на высоте 100 см над поверхностью воды. С какой скоростью он бросил камешек, если первый раз он коснулся воды на расстоянии 8 м? На сколько скорость камешка в момент удара о воду отличается от его начальной скорости?

Дано:

Высота броска, $h = 100$ см

Дальность полета до первого касания, $L = 8$ м

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с$^2$

Переведем все величины в систему СИ:
$h = 100 \text{ см} = 1 \text{ м}$

Найти:

1. Начальную скорость броска камешка, $v_0$

2. Разницу между скоростью в момент удара и начальной скоростью, $\Delta v = v_f - v_0$

Решение:

Движение брошенного горизонтально камешка можно рассматривать как результат сложения двух независимых движений: равномерного по горизонтали и равноускоренного (свободного падения) по вертикали. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

С какой скоростью он бросил камешек?

Сначала определим время полета камешка $t$ до касания с водой. Это время зависит только от высоты броска $h$, так как начальная вертикальная скорость равна нулю. Используем формулу для пути при равноускоренном движении:

$h = \frac{gt^2}{2}$

Отсюда выразим время полета $t$:

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Подставим известные значения:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 1 \text{ м}}{9.8 \text{ м/с}^2}} \approx \sqrt{0.204} \text{ с} \approx 0.452 \text{ с}$

За это время $t$ камешек пролетел по горизонтали расстояние $L$. Горизонтальное движение является равномерным с постоянной скоростью $v_0$ (начальная скорость броска).

$L = v_0 \cdot t$

Выразим начальную скорость $v_0$:

$v_0 = \frac{L}{t} = \frac{L}{\sqrt{2h/g}} = L \sqrt{\frac{g}{2h}}$

Подставим числовые значения:

$v_0 = 8 \text{ м} \cdot \sqrt{\frac{9.8 \text{ м/с}^2}{2 \cdot 1 \text{ м}}} = 8 \cdot \sqrt{4.9} \text{ м/с} \approx 8 \cdot 2.2136 \text{ м/с} \approx 17.71 \text{ м/с}$

Ответ: начальная скорость камешка составляет примерно $17.7$ м/с.

На сколько скорость камешка в момент удара о воду отличается от его начальной скорости?

Скорость камешка в момент удара о воду $v_f$ — это векторная сумма его горизонтальной ($v_x$) и вертикальной ($v_y$) составляющих скорости в этот момент.

Горизонтальная составляющая скорости $v_x$ не изменяется в течение всего полета:

$v_x = v_0 \approx 17.71 \text{ м/с}$

Вертикальная составляющая скорости $v_y$ в момент падения ($t \approx 0.452$ с) находится по формуле:

$v_y = gt = g \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{2gh}$

Подставим значения:

$v_y = \sqrt{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \text{ м}} = \sqrt{19.6} \text{ м/с} \approx 4.43 \text{ м/с}$

Полная скорость $v_f$ в момент удара (модуль вектора скорости) находится по теореме Пифагора:

$v_f = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

$v_f \approx \sqrt{(17.71 \text{ м/с})^2 + (4.43 \text{ м/с})^2} \approx \sqrt{313.6 + 19.6} \text{ м/с} = \sqrt{333.2} \text{ м/с} \approx 18.25 \text{ м/с}$

Теперь найдем, на сколько конечная скорость $v_f$ отличается от начальной $v_0$:

$\Delta v = v_f - v_0 \approx 18.25 \text{ м/с} - 17.71 \text{ м/с} \approx 0.54 \text{ м/с}$

Ответ: скорость камешка в момент удара о воду отличается от его начальной скорости примерно на $0.54$ м/с.