Страница 45 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

14.1 [н] Имея на руках мобильный телефон с функциями секундомера и калькулятора, турист определил высоту кокосовой пальмы, измерив время свободного падения её ореха на землю. Какой результат он получил, если показания секундомера составили 2,21 с?

Дано:

Найти:

Высоту кокосовой пальмы, $h$

Решение:

Для определения высоты пальмы воспользуемся формулой для пути, пройденного телом при равноускоренном движении. В данном случае движение ореха является свободным падением, то есть движением с постоянным ускорением, равным ускорению свободного падения $g$.

Высота $h$, с которой падает тело, при движении из состояния покоя определяется по формуле:

$h = \frac{gt^2}{2}$

В этой формуле мы пренебрегаем сопротивлением воздуха. Начальная скорость $v_0$ равна нулю, так как орех начинает падать, а не брошен вниз.

Подставим известные числовые значения в формулу. В качестве значения ускорения свободного падения примем стандартную величину $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.

$h = \frac{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot (2,21 \text{ с})^2}{2}$

Выполним вычисления:

$h = \frac{9,8 \cdot 4,8841}{2} \text{ м} = \frac{47,86418}{2} \text{ м} \approx 23,93 \text{ м}$

Таким образом, результат, который получил турист, — высота пальмы составляет приблизительно 23,93 метра.

Ответ: высота кокосовой пальмы составляет примерно $23,93 \text{ м}$.

14.2 [н] Мячик падает на землю с балкона второго этажа за время $t$. Во сколько раз больше время его падения с восемнадцатого этажа?

Дано:

$n_1 = 2$ – номер этажа, с которого мячик падает в первом случае.

$t_1 = t$ – время падения с высоты второго этажа.

$n_2 = 18$ – номер этажа, с которого мячик падает во втором случае.

Отношение времен падения $\frac{t_2}{t_1}$, где $t_2$ – время падения с восемнадцатого этажа.

Падение мячика можно рассматривать как свободное падение с нулевой начальной скоростью. В этом случае пройденный телом путь (высота $h$) зависит от времени падения $t$ по формуле:

$h = \frac{gt^2}{2}$

где $g$ — ускорение свободного падения.

Из этой формулы выразим время падения:

$t^2 = \frac{2h}{g}$

$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

Как видно из формулы, время падения прямо пропорционально квадратному корню из высоты падения ($t \propto \sqrt{h}$).

Будем считать, что высота падения прямо пропорциональна номеру этажа. Пусть $h_{эт}$ — условная высота одного этажа. Тогда высота, с которой падает мячик во втором случае ($h_2$), относится к высоте в первом случае ($h_1$) так же, как относятся номера этажей:

$\frac{h_2}{h_1} = \frac{n_2 \cdot h_{эт}}{n_1 \cdot h_{эт}} = \frac{n_2}{n_1} = \frac{18}{2} = 9$

Теперь найдем, во сколько раз время падения с восемнадцатого этажа ($t_2$) больше времени падения со второго этажа ($t_1$):

$\frac{t_2}{t_1} = \frac{\sqrt{\frac{2h_2}{g}}}{\sqrt{\frac{2h_1}{g}}} = \sqrt{\frac{h_2}{h_1}}$

Подставив найденное отношение высот, получим:

$\frac{t_2}{t_1} = \sqrt{9} = 3$

Таким образом, время падения с восемнадцатого этажа в 3 раза больше, чем со второго.

Ответ: время падения с восемнадцатого этажа в 3 раза больше.

14.3 [н] Сколько времени продолжалось свободное падение камня с высоты 43,5 м, если при падении на землю его скорость составила 29 $м/с$?

Дано:

Найти:

Решение:

Свободное падение является равноускоренным движением. Пройденный путь (в данном случае — высота $h$) можно найти через среднюю скорость движения. Для равноускоренного движения средняя скорость равна среднему арифметическому начальной ($v_0$) и конечной ($v$) скоростей.

Формула для пройденного пути выглядит так:

$h = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t$

Из условия задачи известно, что падение свободное, следовательно, начальная скорость камня $v_0 = 0$. Подставим это значение в формулу:

$h = \frac{0 + v}{2} \cdot t = \frac{v \cdot t}{2}$

Выразим из полученного уравнения искомое время падения $t$:

$t = \frac{2h}{v}$

Подставим числовые значения из условия:

$t = \frac{2 \cdot 43,5 \text{ м}}{29 \text{ м/с}} = \frac{87 \text{ м}}{29 \text{ м/с}} = 3 \text{ с}$

Ответ: 3 с.

14.4[н] Почему под действием силы тяжести скорость свободно падающего тела (независимо от массы) возрастает каждую секунду на одну и ту же величину? Чему равно это приращение?

Решение

Данный феномен объясняется вторым законом Ньютона и природой силы тяжести.

Согласно второму закону Ньютона, ускорение тела $a$ прямо пропорционально равнодействующей силе $F$, приложенной к нему, и обратно пропорционально его массе $m$:
$F = ma$

На свободно падающее тело (пренебрегая сопротивлением воздуха) действует только одна сила — сила тяжести $F_т$. Эта сила вычисляется как произведение массы тела $m$ на ускорение свободного падения $g$:
$F_т = mg$

Поскольку сила тяжести и является той силой, которая вызывает ускорение, мы можем приравнять правые части этих двух уравнений:
$ma = mg$

Как видно из этого равенства, масса тела $m$ присутствует в обеих частях уравнения, и ее можно сократить. В результате мы приходим к выводу, что ускорение свободно падающего тела не зависит от его массы и всегда равно ускорению свободного падения:
$a = g$

Ускорение по определению — это величина, показывающая, на сколько изменяется скорость тела за единицу времени. Поскольку ускорение свободного падения $g$ вблизи поверхности Земли является постоянной величиной, то и скорость тела за равные промежутки времени (например, за каждую секунду) будет изменяться на одну и ту же величину.

Это приращение скорости и есть второй вопрос задачи. Оно равно ускорению свободного падения. Приращение скорости $\Delta v$ за промежуток времени $\Delta t=1 \text{ с}$ равно:
$\Delta v = a \cdot \Delta t = g \cdot 1 \text{ с} = g$

У поверхности Земли значение ускорения свободного падения принято считать приблизительно равным $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$. Это означает, что каждую секунду падения скорость тела увеличивается примерно на $9.8 \text{ м/с}$.

Ответ: Скорость свободно падающего тела (независимо от массы) возрастает каждую секунду на одну и ту же величину, потому что сообщаемое ему силой тяжести ускорение постоянно и не зависит от массы тела ($a=g$). Это приращение скорости равно ускорению свободного падения $g$, которое у поверхности Земли составляет примерно $9.8 \text{ м/с}$.

14.5 [н] Определите скорость свободно падающего тела в конце первой, второй, третьей секунды движения и путь, пройденный за 1 с, 2 с, 3 с. Выберите масштаб и постройте график зависимости пути от времени. Убедитесь в том, что значения пути, пройденного телом в течение каждой последующей секунды, соответствуют ряду чисел 1, 3, 5, 7, .... Определите, на сколько увеличивается путь, пройденный телом в течение двух любых последующих секунд.

Дано:

Свободное падение тела, следовательно:
начальная скорость $v_0 = 0$ м/с
ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²

Времена движения:
$t_1 = 1$ с
$t_2 = 2$ с
$t_3 = 3$ с

(Все данные уже в системе СИ)

Найти:

Скорости тела $v_1, v_2, v_3$ в конце 1-й, 2-й и 3-й секунды.
Путь $s_1, s_2, s_3$, пройденный за 1, 2 и 3 секунды.
Построить график зависимости $s(t)$.
Проверить, что пути за каждую секунду ($\Delta s_n$) соотносятся как 1:3:5:7...
Найти величину, на которую увеличивается путь, пройденный за каждую последующую секунду ($\Delta s_{n+1} - \Delta s_n$).

Решение:

Определите скорость свободно падающего тела в конце первой, второй, третьей секунды движения

Скорость тела при свободном падении без начальной скорости определяется формулой: $v = gt$.

Скорость в конце первой секунды ($t=1$ с):
$v_1 = g \cdot t_1 = 9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot 1 \, \text{с} = 9.8 \, \text{м/с}$

Скорость в конце второй секунды ($t=2$ с):
$v_2 = g \cdot t_2 = 9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot 2 \, \text{с} = 19.6 \, \text{м/с}$

Скорость в конце третьей секунды ($t=3$ с):
$v_3 = g \cdot t_3 = 9.8 \, \text{м/с}^2 \cdot 3 \, \text{с} = 29.4 \, \text{м/с}$

Ответ: Скорость тела в конце первой секунды составляет 9.8 м/с, в конце второй — 19.6 м/с, в конце третьей — 29.4 м/с.

и путь, пройденный за 1 с, 2 с, 3 с

Путь, пройденный телом при свободном падении без начальной скорости, определяется формулой: $s = \frac{gt^2}{2}$.

Путь, пройденный за 1 секунду ($t=1$ с):
$s_1 = \frac{g t_1^2}{2} = \frac{9.8 \cdot 1^2}{2} = 4.9 \, \text{м}$

Путь, пройденный за 2 секунды ($t=2$ с):
$s_2 = \frac{g t_2^2}{2} = \frac{9.8 \cdot 2^2}{2} = \frac{9.8 \cdot 4}{2} = 19.6 \, \text{м}$

Путь, пройденный за 3 секунды ($t=3$ с):
$s_3 = \frac{g t_3^2}{2} = \frac{9.8 \cdot 3^2}{2} = \frac{9.8 \cdot 9}{2} = 44.1 \, \text{м}$

Ответ: Путь, пройденный телом за 1 с, равен 4.9 м, за 2 с — 19.6 м, за 3 с — 44.1 м.

Выберите масштаб и постройте график зависимости пути от времени

Зависимость пути от времени имеет вид $s(t) = \frac{g}{2}t^2 = 4.9t^2$. Это квадратичная зависимость, графиком которой является парабола, проходящая через начало координат.

Для построения графика составим таблицу значений:

Для построения графика выберем масштаб:
По оси абсцисс (время $t$): 1 клетка = 0.5 с.
По оси ординат (путь $s$): 1 клетка = 5 м.

Нанеся точки из таблицы на координатную плоскость и соединив их плавной линией, получим ветвь параболы.

Ответ: График зависимости пути от времени — это ветвь параболы, выходящая из начала координат. Точки для построения: (0, 0), (1, 4.9), (2, 19.6), (3, 44.1).

Убедитесь в том, что значения пути, пройденного телом в течение каждой последующей секунды, соответствуют ряду чисел 1, 3, 5, 7, ...

Найдем путь, который тело проходит за каждую отдельную секунду движения.

Путь за первую секунду ($n=1$):
$\Delta s_1 = s(1) - s(0) = 4.9 - 0 = 4.9 \, \text{м}$

Путь за вторую секунду ($n=2$):
$\Delta s_2 = s(2) - s(1) = 19.6 - 4.9 = 14.7 \, \text{м}$

Путь за третью секунду ($n=3$):
$\Delta s_3 = s(3) - s(2) = 44.1 - 19.6 = 24.5 \, \text{м}$

Найдем соотношение этих путей:
$\Delta s_1 : \Delta s_2 : \Delta s_3 = 4.9 : 14.7 : 24.5$

Разделим все члены отношения на наименьший ($\Delta s_1 = 4.9$):
$\frac{4.9}{4.9} : \frac{14.7}{4.9} : \frac{24.5}{4.9} = 1 : 3 : 5$

Соотношение соответствует ряду нечетных чисел 1, 3, 5, ... .

Ответ: Пути, пройденные за первую, вторую и третью секунды, равны 4.9 м, 14.7 м и 24.5 м соответственно. Их отношение 1:3:5 подтверждает, что значения соответствуют ряду нечетных чисел.

Определите, на сколько увеличивается путь, пройденный телом в течение двух любых последующих секунд

Эта формулировка означает, что нужно найти разность между путями, пройденными за две последовательные секунды, то есть $\Delta s_{n+1} - \Delta s_n$.

Используем вычисленные выше значения:

Увеличение пути при переходе от первой ко второй секунде:
$\Delta s_2 - \Delta s_1 = 14.7 \, \text{м} - 4.9 \, \text{м} = 9.8 \, \text{м}$

Увеличение пути при переходе от второй к третьей секунде:
$\Delta s_3 - \Delta s_2 = 24.5 \, \text{м} - 14.7 \, \text{м} = 9.8 \, \text{м}$

Можно доказать это в общем виде. Путь, пройденный за $n$-ую секунду: $\Delta s_n = s(n) - s(n-1) = \frac{g}{2}n^2 - \frac{g}{2}(n-1)^2 = \frac{g}{2}(2n-1)$.

Тогда разность путей за $(n+1)$-ую и $n$-ую секунды равна:
$\Delta s_{n+1} - \Delta s_n = \frac{g}{2}(2(n+1)-1) - \frac{g}{2}(2n-1) = \frac{g}{2}(2n+1 - (2n-1)) = \frac{g}{2}(2) = g$.

Таким образом, путь, пройденный за каждую последующую секунду, увеличивается на постоянную величину, равную ускорению свободного падения $g$.

Ответ: Путь, пройденный телом за каждую последующую секунду, увеличивается на 9.8 м.

14.6 [н] На рисунке II-48 представлены графики модуля скорости трёх тел А, В и С, на которые действует сила тяжести. Является ли движение каждого из тел свободным падением? Напишите уравнения зависимости скорости свободно падающих тел от времени наблюдения.

Уравнение зависимости модуля скорости свободно падающих тел от времени наблюдения (при начальной скорости, равной нулю): $v = gt$.

Для решения задачи необходимо проанализировать предоставленные графики модуля скорости в зависимости от времени для тел A, B и C. Свободное падение — это движение тела исключительно под действием силы тяжести. Такое движение является равноускоренным, с ускорением свободного падения $g \approx 9,8 \, \text{м/с}^2$. На графике зависимости скорости от времени ($v$ от $t$) такому движению соответствует прямая линия, тангенс угла наклона которой к оси времени равен ускорению.

Поскольку сам рисунок II-48 отсутствует, мы будем исходить из наиболее вероятного сценария, который обычно предлагается в таких задачах: два тела движутся в режиме свободного падения (с разными начальными условиями), а третье — нет. Для расчетов примем гипотетические данные, которые могли бы быть сняты с такого графика.

Данные, снятые с гипотетических графиков $v(t)$:
Тело А: начальная скорость $v_{0A} = 0 \, \text{м/с}$; скорость в момент времени $t=2 \, \text{с}$ равна $v_A = 19,6 \, \text{м/с}$.
Тело B: начальная скорость $v_{0B} = 5 \, \text{м/с}$; скорость в момент времени $t=2 \, \text{с}$ равна $v_B = 24,6 \, \text{м/с}$.
Тело С: начальная скорость $v_{0C} = 0 \, \text{м/с}$; скорость в момент времени $t=2 \, \text{с}$ равна $v_C = 10 \, \text{м/с}$.
Ускорение свободного падения: $g = 9,8 \, \text{м/с}^2$.

1. Определить, является ли движение каждого из тел свободным падением.
2. Записать уравнения зависимости скорости $v(t)$ для свободно падающих тел.

Чтобы определить, является ли движение свободным падением, необходимо вычислить ускорение для каждого тела и сравнить его со значением ускорения свободного падения $g$. Ускорение находится по формуле: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_t - v_0}{t}$.

Является ли движение каждого из тел свободным падением?

Анализ движения тела А:
Ускорение тела А составляет: $a_A = \frac{19,6 \, \text{м/с} - 0 \, \text{м/с}}{2 \, \text{с}} = 9,8 \, \text{м/с}^2$.
Так как $a_A = g$, движение тела А является свободным падением. Это падение из состояния покоя.

Анализ движения тела B:
Ускорение тела B составляет: $a_B = \frac{24,6 \, \text{м/с} - 5 \, \text{м/с}}{2 \, \text{с}} = \frac{19,6 \, \text{м/с}}{2 \, \text{с}} = 9,8 \, \text{м/с}^2$.
Так как $a_B = g$, движение тела B также является свободным падением. Это падение с начальной скоростью, направленной вниз.

Анализ движения тела C:
Ускорение тела C составляет: $a_C = \frac{10 \, \text{м/с} - 0 \, \text{м/с}}{2 \, \text{с}} = 5 \, \text{м/с}^2$.
Так как $a_C \neq g$, движение тела C не является свободным падением. Несмотря на то, что на тело действует сила тяжести, на него также действуют другие силы (например, сила сопротивления среды или сила реакции опоры), которые уменьшают его ускорение.

Ответ: Движение тел А и В является свободным падением. Движение тела С не является свободным падением.

Напишите уравнения зависимости скорости свободно падающих тел от времени наблюдения.

Уравнение скорости для равноускоренного движения имеет вид $v(t) = v_0 + at$. Для свободно падающих тел (A и B) ускорение $a=g$. Направим ось координат вертикально вниз, тогда проекция скорости будет положительной.

Для тела А: $v_{0A} = 0$, $a_A = 9,8 \, \text{м/с}^2$. Уравнение скорости: $v_A(t) = 9,8t$.

Для тела B: $v_{0B} = 5 \, \text{м/с}$, $a_B = 9,8 \, \text{м/с}^2$. Уравнение скорости: $v_B(t) = 5 + 9,8t$.

Ответ: Уравнения зависимости скорости от времени для свободно падающих тел: для тела А $v_A(t) = 9,8t$; для тела В $v_B(t) = 5 + 9,8t$. (Здесь скорость $v$ выражена в м/с, время $t$ — в с).

14.7 [н] В каких случаях график модуля скорости тела, совершающего свободное падение (см. рис. II-48), можно считать графиком проекции вектора скорости на вертикальную ось?

$v, \text{м/с}$

$t, \text{с}$

Рис. II-48

График модуля скорости тела $v(t)$ совпадает с графиком проекции его вектора скорости на вертикальную ось $v_y(t)$ только в том случае, когда эта проекция неотрицательна в течение всего рассматриваемого времени движения, то есть при выполнении условия $v_y(t) \ge 0$. Это связано с тем, что модуль скорости по определению является величиной неотрицательной, $v = |\vec{v}|$, а для одномерного движения вдоль оси $y$ это эквивалентно $v = |v_y|$. Если $v_y \ge 0$, то $|v_y| = v_y$, и графики совпадают. Если же $v_y < 0$, то $|v_y| = -v_y$, и графики будут зеркально симметричны относительно оси времени.

Рассмотрим, в каких случаях свободного падения выполняется условие $v_y(t) \ge 0$. Это зависит от выбора направления вертикальной оси и начальных условий движения.

1. Вертикальная ось Oy направлена вниз.
В этом случае проекция ускорения свободного падения на ось Oy положительна: $a_y = g$. Уравнение для проекции скорости имеет вид:$v_y(t) = v_{0y} + gt$где $v_{0y}$ — проекция начальной скорости.Чтобы условие $v_y(t) \ge 0$ выполнялось для любого момента времени $t \ge 0$, необходимо, чтобы начальная проекция скорости также была неотрицательной: $v_{0y} \ge 0$. Это соответствует двум физическим ситуациям:

• Тело начинает падение из состояния покоя (его отпускают). Тогда $v_{0y} = 0$, и $v_y(t) = gt$. Скорость всегда направлена вниз (сонаправлена с осью) и ее проекция неотрицательна. На рисунке II-48 этому случаю соответствует график B, для которого $v(0)=0$, а ускорение $a = \frac{20 \text{ м/с}}{2 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}^2 \approx g$.
• Тело брошено вертикально вниз. Тогда $v_{0y} > 0$, и $v_y(t)$ очевидно будет положительна при $t \ge 0$. Скорость также всегда направлена вниз. На рисунке II-48 этому случаю соответствует график A, где начальная скорость $v(0) = 5 \text{ м/с}$, а ускорение $a = \frac{25 \text{ м/с} - 5 \text{ м/с}}{2 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}^2 \approx g$.

В обоих этих случаях (графики A и B) график модуля скорости можно считать графиком проекции скорости на вертикальную ось, направленную вниз.

2. Вертикальная ось Oy направлена вверх.
В этом случае проекция ускорения свободного падения отрицательна: $a_y = -g$. Уравнение для проекции скорости:$v_y(t) = v_{0y} - gt$Чтобы $v_y(t)$ была неотрицательной, тело должно быть брошено вертикально вверх ($v_{0y} > 0$), так как если $v_{0y} \le 0$ (тело брошено вниз или отпущено), то $v_y(t)$ будет всегда отрицательной (или равной нулю в начальный момент).При движении вверх ($v_{0y} > 0$), проекция скорости $v_y(t)$ будет неотрицательной только до момента времени $t_{подъема} = v_{0y}/g$, когда тело достигает максимальной высоты. После этого момента тело начинает падать, и проекция его скорости становится отрицательной.График C как раз иллюстрирует модуль скорости тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью $v_0 = 15 \text{ м/с}$. Проекция его скорости описывается функцией $v_y(t) = 15 - 10t$. Эта проекция положительна при $t < 1.5 \text{ с}$, равна нулю при $t = 1.5 \text{ с}$ и отрицательна при $t > 1.5 \text{ с}$. График модуля скорости $v(t) = |v_y(t)|$ совпадает с графиком проекции $v_y(t)$ только на интервале времени $[0; 1.5 \text{ с}]$. Поскольку на рисунке показан интервал до $t=2 \text{ с}$, на всем этом интервале графики не совпадают.

Таким образом, график модуля скорости можно считать графиком проекции скорости на вертикальную ось без каких-либо оговорок о промежутке времени в случаях, когда вектор скорости не меняет своего направления относительно выбранной оси.

Ответ:График модуля скорости тела, совершающего свободное падение, можно считать графиком проекции вектора скорости на вертикальную ось в следующих случаях:

1. Если вертикальная ось направлена вниз, а тело отпущено из состояния покоя (начальная скорость равна нулю). Этому случаю соответствует график B.
2. Если вертикальная ось направлена вниз, а тело брошено с начальной скоростью, направленной вертикально вниз. Этому случаю соответствует график A.
3. Если вертикальная ось направлена вверх, тело брошено вертикально вверх, и рассматривается только интервал времени, в течение которого тело поднимается до наивысшей точки.

14.8 [н] По данным задачи 14.6 определите пути, пройденные телами $A$ и $B$ за 1 с движения.

Дано:

Из условия задачи 14.6:

Скорость тела A: $v_A = 2$ м/с (движение равномерное)

Начальная скорость тела B: $v_{0B} = 0$ м/с

Ускорение тела B: $a_B = 1$ м/с² (движение равноускоренное)

Время движения: $t = 1$ с

Найти:

$S_A$ — путь, пройденный телом A

$S_B$ — путь, пройденный телом B

Решение:

Для определения путей, пройденных телами А и В, воспользуемся данными, полученными из анализа графиков в задаче 14.6. Тело А движется равномерно, а тело В — равноускоренно.

Путь, пройденный телом А

Тело А движется с постоянной скоростью $v_A$. Путь, пройденный телом при равномерном движении, вычисляется по формуле:

$S_A = v_A \cdot t$

Подставим известные значения:

$S_A = 2 \text{ м/с} \cdot 1 \text{ с} = 2 \text{ м}$

Ответ: путь, пройденный телом А за 1 с, составляет 2 м.

Путь, пройденный телом B

Тело B движется равноускоренно без начальной скорости ($v_{0B} = 0$). Его ускорение $a_B$ было найдено из графика в задаче 14.6 ($a_B = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{4 \text{ м/с}}{4 \text{ с}} = 1 \text{ м/с}^2$). Путь, пройденный телом при равноускоренном движении, вычисляется по формуле:

$S_B = v_{0B}t + \frac{a_B t^2}{2}$

Так как $v_{0B} = 0$, формула упрощается до:

$S_B = \frac{a_B t^2}{2}$

Подставим известные значения:

$S_B = \frac{1 \text{ м/с}^2 \cdot (1 \text{ с})^2}{2} = \frac{1}{2} \text{ м} = 0.5 \text{ м}$

Ответ: путь, пройденный телом В за 1 с, составляет 0.5 м.