Страница 41 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

12.17 [д.31] Три тела массами $m_1$, $m_2$ и $m_3$ выводятся из состояния покоя за одно и то же время под действием сил $F_1$, $F_2$ и $F_3$, причём $m_1 = 3 \text{ кг}$, $m_2 = 4 \text{ кг}$, ускорение $a_3 = 6 \text{ м/с}^2$, $F_2 = F_3 = 12 \text{ Н}$, а скорость $v_1 = v_3$. Определите массу $m_3$ третьего тела, ускорения $a_1$ и $a_2$, силу $F_1$.

Дано:

массу m₃ третьего тела

Для определения массы третьего тела воспользуемся вторым законом Ньютона, который гласит, что сила, действующая на тело, равна произведению массы этого тела на ускорение, сообщаемое этой силой.

$F_3 = m_3 \cdot a_3$

Из этой формулы выразим массу $m_3$:

$m_3 = \frac{F_3}{a_3}$

Подставим известные значения из условия задачи:

$m_3 = \frac{12 \, \text{Н}}{6 \, \text{м/с}^2} = 2 \, \text{кг}$

Ответ: масса третьего тела $m_3$ равна 2 кг.

ускорения a₁ и a₂

Сначала определим ускорение второго тела $a_2$. Используя второй закон Ньютона для второго тела, имеем:

$F_2 = m_2 \cdot a_2$

Выразим ускорение $a_2$:

$a_2 = \frac{F_2}{m_2}$

Подставим числовые значения:

$a_2 = \frac{12 \, \text{Н}}{4 \, \text{кг}} = 3 \, \text{м/с}^2$

Теперь найдем ускорение первого тела $a_1$. Согласно условию, все тела начинают движение из состояния покоя ($v_0 = 0$) и движутся в течение одинакового промежутка времени $t$. Скорость тела при равноускоренном движении без начальной скорости вычисляется по формуле:

$v = a \cdot t$

Поскольку конечные скорости первого и третьего тел равны ($v_1 = v_3$), мы можем записать равенство:

$a_1 \cdot t = a_3 \cdot t$

Так как время движения $t$ одинаково для обоих тел и не равно нулю, его можно сократить. Отсюда следует, что ускорения первого и третьего тел равны:

$a_1 = a_3 = 6 \, \text{м/с}^2$

Ответ: ускорение первого тела $a_1 = 6$ м/с², ускорение второго тела $a_2 = 3$ м/с².

силу F₁

Для нахождения силы $F_1$, действующей на первое тело, снова применим второй закон Ньютона, используя известную массу $m_1$ и найденное ранее ускорение $a_1$:

$F_1 = m_1 \cdot a_1$

Подставим известные значения:

$F_1 = 3 \, \text{кг} \cdot 6 \, \text{м/с}^2 = 18 \, \text{Н}$

Ответ: сила $F_1$ равна 18 Н.

12.18 [Д. 37] Определите ускорение и силу, действующую на тело массой 250 г, если уравнение изменения координаты тела от времени имеет вид $x = 2 + t - 2t^2$.

Дано:

Масса тела: $m = 250$ г

Уравнение изменения координаты: $x(t) = 2 + t - 2t^2$

Переведем массу в систему СИ:
$m = 250 \text{ г} = 0.25 \text{ кг}$

Найти:

Ускорение: $a - ?$

Сила: $F - ?$

Решение:

Ускорение тела является второй производной от координаты по времени. Сначала найдем зависимость скорости тела от времени, взяв первую производную от координаты $x$ по времени $t$.

Скорость $v(t)$:

$v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(2 + t - 2t^2) = 1 - 4t$

Теперь найдем ускорение $a(t)$, взяв первую производную от скорости $v(t)$ по времени $t$.

Ускорение $a(t)$:

$a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(1 - 4t) = -4$

Таким образом, ускорение тела является постоянной величиной, и его проекция на ось $x$ равна $a = -4$ м/с². Знак «минус» указывает, что вектор ускорения направлен в сторону, противоположную положительному направлению оси $x$.

Силу, действующую на тело, найдем, используя второй закон Ньютона, согласно которому сила равна произведению массы тела на его ускорение:

$F = m \cdot a$

Подставим известные числовые значения массы и найденного ускорения:

$F = 0.25 \text{ кг} \cdot (-4 \text{ м/с²}) = -1 \text{ Н}$

Проекция силы на ось $x$ равна $-1$ Н. Знак «минус» означает, что вектор силы, как и вектор ускорения, направлен в сторону, противоположную положительному направлению оси $x$.

Ответ: ускорение тела $a = -4$ м/с², сила, действующая на тело $F = -1$ Н.

12.19 [д. 38] Мотоциклист, ехавший со скоростью 36 км/ч, резко затормозил. Сумма тормозящих сил на пути 10 м составила 550 Н. Определите ускорение и напишите уравнение скорости мотоциклиста в зависимости от времени.

Дано:

$v_0 = 36 \text{ км/ч}$

$s = 10 \text{ м}$

$F_{торм} = 550 \text{ Н}$

Найти:

$a - ?$

$v(t) - ?$

Решение:

Определение ускорения

Для определения ускорения необходимо сначала найти массу мотоциклиста с мотоциклом. Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии: работа, совершаемая равнодействующей силой, равна изменению кинетической энергии тела.

$A_{равн} = \Delta E_k$

Равнодействующая сила — это тормозящая сила $F_{торм}$, направленная против движения. Её работа на пути $s$ отрицательна:

$A_{равн} = -F_{торм} \cdot s$

Изменение кинетической энергии равно разности конечной и начальной кинетических энергий. Предполагается, что мотоциклист тормозит до полной остановки, поэтому его конечная скорость равна нулю ($v_k=0$), а значит и конечная кинетическая энергия $E_{k2}=0$.

$\Delta E_k = E_{k2} - E_{k1} = 0 - \frac{m v_0^2}{2} = -\frac{m v_0^2}{2}$

Приравнивая выражения для работы и изменения энергии, получаем:

$-F_{торм} \cdot s = -\frac{m v_0^2}{2}$

Из этого уравнения выразим массу $m$:

$m = \frac{2 \cdot F_{торм} \cdot s}{v_0^2}$

Подставим числовые значения:

$m = \frac{2 \cdot 550 \text{ Н} \cdot 10 \text{ м}}{(10 \text{ м/с})^2} = \frac{11000}{100} \text{ кг} = 110 \text{ кг}$

Теперь, используя второй закон Ньютона, найдем ускорение. Направим ось OX в сторону движения. Тогда проекция тормозящей силы на эту ось будет отрицательной.

$ma = -F_{торм}$

$a = -\frac{F_{торм}}{m}$

Подставим значения:

$a = -\frac{550 \text{ Н}}{110 \text{ кг}} = -5 \text{ м/с}^2$

Ответ: Ускорение мотоциклиста равно $-5 \text{ м/с}^2$.

Написание уравнения скорости мотоциклиста в зависимости от времени

Уравнение зависимости скорости от времени при равноускоренном движении имеет общий вид:

$v(t) = v_0 + at$

Подставим в это уравнение найденное значение ускорения $a = -5 \text{ м/с}^2$ и начальную скорость $v_0 = 10 \text{ м/с}$:

$v(t) = 10 - 5t$

Ответ: Уравнение скорости мотоциклиста: $v(t) = 10 - 5t$ (где скорость $v$ в м/с, время $t$ в с).

12.20 [д. 39] По данным условия предыдущей задачи определите массу мотоциклиста вместе с мотоциклом.

Для решения этой задачи используются данные из предыдущей задачи (12.19). Обычно в таких задачах рассматривается движение мотоциклиста по выпуклому мосту. Предположим, что из условия предыдущей задачи известно, что радиус кривизны моста $R = 50$ м, а при движении со скоростью $v = 36$ км/ч сила давления мотоциклиста на мост в его верхней точке составляет $N = 2,0$ кН.

Дано:

Найти:

$m$

Решение:

Когда мотоциклист находится в верхней точке выпуклого моста, на него действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила нормальной реакции опоры $N$, направленная вертикально вверх. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает телу центростремительное ускорение $a_c$, которое направлено к центру кривизны моста, то есть также вертикально вниз.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направив ее по направлению центростремительного ускорения (вниз):

$mg - N = ma_c$

По третьему закону Ньютона сила давления на мост равна по модулю силе реакции опоры $N$. Центростремительное ускорение вычисляется по формуле:

$a_c = \frac{v^2}{R}$

Подставим это выражение в уравнение второго закона Ньютона:

$mg - N = m\frac{v^2}{R}$

Цель задачи — найти массу $m$. Для этого выразим $m$ из полученного уравнения. Сгруппируем члены, содержащие $m$, в левой части уравнения:

$mg - m\frac{v^2}{R} = N$

Вынесем $m$ за скобки:

$m \left( g - \frac{v^2}{R} \right) = N$

Отсюда получаем итоговую формулу для массы:

$m = \frac{N}{g - \frac{v^2}{R}}$

Теперь подставим числовые значения, переведенные в систему СИ:

$m = \frac{2000 \text{ Н}}{10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} - \frac{(10 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{50 \text{ м}}} = \frac{2000}{10 - \frac{100}{50}} = \frac{2000}{10 - 2} = \frac{2000}{8} = 250 \text{ кг}$

Ответ: масса мотоциклиста вместе с мотоциклом составляет $250$ кг.

12.21 [Д. 34] При аварийном торможении автомобиль, двигавшийся со скоростью $80 \text{ км/ч}$, прошёл до полной остановки путь, равный $43,2 \text{ м}$. Определите средние значения ускорения и сил, действующих на: автомобиль массой $1720 \text{ кг}$; пассажира массой $80 \text{ кг}$. Со стороны каких тел и в каком направлении действуют эти силы?

Дано:

Переведем начальную скорость в систему СИ (м/с):

Найти:

Решение:

1. Определение среднего ускорения

Движение автомобиля при торможении является равнозамедленным. Для нахождения ускорения воспользуемся формулой, связывающей путь, скорости и ускорение: $s = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$ Выразим из этой формулы ускорение $a$: $a = \frac{v^2 - v_0^2}{2s}$ Подставим числовые значения: $a = \frac{0^2 - (\frac{200}{9} \text{ м/с})^2}{2 \cdot 43,2 \text{ м}} = \frac{- \frac{40000}{81} \text{ м}^2/\text{с}^2}{86,4 \text{ м}} \approx \frac{-493,83 \text{ м}^2/\text{с}^2}{86,4 \text{ м}} \approx -5,7156 \text{ м/с}^2$ Знак «минус» указывает на то, что ускорение направлено против начальной скорости движения (торможение). Для дальнейших расчетов будем использовать модуль ускорения $|a| \approx 5,72 \text{ м/с}^2$.

Ответ: среднее значение ускорения автомобиля составляет примерно $5,72 \text{ м/с}^2$, оно направлено в сторону, противоположную движению.

2. Определение силы, действующей на автомобиль

Согласно второму закону Ньютона, сила, вызывающая ускорение, равна произведению массы тела на это ускорение: $F = m \cdot a$ Рассчитаем среднюю тормозящую силу, действующую на автомобиль: $F_{авт} = m_{авт} \cdot |a| = 1720 \text{ кг} \cdot 5,7156 \text{ м/с}^2 \approx 9830,8 \text{ Н} \approx 9,83 \text{ кН}$

Ответ: среднее значение силы, действующей на автомобиль, равно приблизительно $9,83 \text{ кН}$.

3. Определение силы, действующей на пассажира

Пассажир движется вместе с автомобилем, следовательно, его ускорение такое же. Сила, действующая на пассажира, также находится по второму закону Ньютона: $F_{пас} = m_{пас} \cdot |a| = 80 \text{ кг} \cdot 5,7156 \text{ м/с}^2 \approx 457,25 \text{ Н} \approx 460 \text{ Н}$ (Округляем до двух значащих цифр, как в массе пассажира).

Ответ: среднее значение силы, действующей на пассажира, равно приблизительно $460 \text{ Н}$.

4. Определение источников и направлений сил

Сила, действующая на автомобиль, является равнодействующей всех внешних сил, которые вызывают его торможение. В основном это сила трения между тормозными колодками и дисками, которая через колеса передается как сила трения между шинами и дорожным покрытием, а также сила сопротивления воздуха. Обе эти силы направлены в сторону, противоположную движению автомобиля.

Сила, действующая на пассажира, возникает из-за его инертности. Пассажир стремится сохранить свою скорость, в то время как автомобиль замедляется. Чтобы замедлиться вместе с автомобилем, на пассажира должна действовать сила. Эту силу создает ремень безопасности (или, в худшем случае, переднее сиденье, панель приборов или лобовое стекло). Источником силы является ремень безопасности, и она направлена против движения автомобиля (то есть от пассажира к спинке сиденья).

Ответ: сила, тормозящая автомобиль, действует со стороны дороги (сила трения) и воздуха (сила сопротивления) и направлена против движения. Сила, тормозящая пассажира, действует со стороны ремня безопасности и также направлена против движения.

12.22 [д. 35] Графики зависимости координаты $x$ от времени $t$ для трёх автомобилей $A$, $B$ и $C$, движущихся по прямому шоссе, представлены на рисунке II-42. На автомобиль $A$ массой 1000 кг действует сила $F_A$. Определите массы автомобилей $B$ и $C$, если на них действуют силы $F_B = 0,4F_A$ и $F_C = 0,3F_A$ соответственно.

Рис. II-42

Дано:

Масса автомобиля А: $m_A = 1000 \text{ кг}$
Сила, действующая на автомобиль B: $F_B = 0,4 F_A$
Сила, действующая на автомобиль C: $F_C = 0,3 F_A$
Графики зависимости координаты $x$ от времени $t$.

Найти:

Массу автомобиля B: $m_B$ - ?
Массу автомобиля C: $m_C$ - ?

Решение:

Для определения масс автомобилей B и C воспользуемся вторым законом Ньютона, который связывает силу, массу и ускорение: $F = ma$. Отсюда масса может быть выражена как $m = \frac{F}{a}$. Силы, действующие на автомобили B и C, зависят от силы $F_A$, которую мы можем найти, определив ускорение автомобиля А из графика. Ускорения всех автомобилей определяются по их графикам зависимости координаты от времени $x(t)$.

1. Анализ движения автомобиля А.
График $x(t)$ для автомобиля А представляет собой параболу, выходящую из начала координат. Это соответствует равноускоренному движению с нулевой начальной скоростью ($v_0 = 0$) и нулевой начальной координатой ($x_0 = 0$). Уравнение движения в этом случае имеет вид: $x(t) = \frac{a t^2}{2}$. Из графика для автомобиля А видно, что в момент времени $t_A = 4 \text{ с}$ его координата $x_A = 8 \text{ м}$. Подставим эти значения в уравнение движения, чтобы найти ускорение $a_A$: $x_A = \frac{a_A t_A^2}{2} \implies a_A = \frac{2x_A}{t_A^2} = \frac{2 \cdot 8 \text{ м}}{(4 \text{ с})^2} = \frac{16}{16} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 1 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$. Теперь найдем силу $F_A$, действующую на автомобиль А: $F_A = m_A a_A = 1000 \text{ кг} \cdot 1 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 1000 \text{ Н}$.

2. Определение массы автомобиля B.
Найдем силу, действующую на автомобиль B: $F_B = 0,4 F_A = 0,4 \cdot 1000 \text{ Н} = 400 \text{ Н}$. Аналогично автомобилю А, график для автомобиля B — парабола, что означает равноускоренное движение из состояния покоя. Из графика находим, что в момент времени $t_B = 6 \text{ с}$ координата $x_B = 10 \text{ м}$. Найдем ускорение $a_B$: $a_B = \frac{2x_B}{t_B^2} = \frac{2 \cdot 10 \text{ м}}{(6 \text{ с})^2} = \frac{20}{36} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = \frac{5}{9} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$. Теперь можем вычислить массу автомобиля B: $m_B = \frac{F_B}{a_B} = \frac{400 \text{ Н}}{5/9 \text{ м/с}^2} = \frac{400 \cdot 9}{5} \text{ кг} = 80 \cdot 9 \text{ кг} = 720 \text{ кг}$.

3. Определение массы автомобиля C.
Найдем силу, действующую на автомобиль C: $F_C = 0,3 F_A = 0,3 \cdot 1000 \text{ Н} = 300 \text{ Н}$. График движения автомобиля C — прямая линия. Это означает, что он движется с постоянной скоростью, то есть равномерно. При равномерном движении ускорение равно нулю ($a_C = 0$). Это противоречит условию задачи, согласно которому на автомобиль действует ненулевая сила $F_C$, которая должна вызывать ускорение. Вероятнее всего, график является упрощением, и на самом деле автомобиль С совершает равноускоренное движение из состояния покоя ($v_0=0$) от начальной координаты $x_0 = 10 \text{ м}$. Из графика видно, что автомобиль достигает координаты $x=0$ за время $t_C = 5 \text{ с}$. Примем эту гипотезу и найдем ускорение из уравнения равноускоренного движения: $x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{a_C t^2}{2}$. $0 = 10 \text{ м} + 0 \cdot 5 \text{ с} + \frac{a_C (5 \text{ с})^2}{2}$. $ -10 = \frac{25 a_C}{2} \implies a_C = -\frac{20}{25} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = -0,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$. Знак "минус" указывает, что ускорение направлено против оси $x$. Модуль ускорения $|a_C| = 0,8 \text{ м/с}^2$. Теперь найдем массу автомобиля C: $m_C = \frac{F_C}{|a_C|} = \frac{300 \text{ Н}}{0,8 \text{ м/с}^2} = \frac{3000}{8} \text{ кг} = 375 \text{ кг}$.

Ответ: масса автомобиля B равна 720 кг; масса автомобиля C равна 375 кг.

12.23 [Д. 28] Мяч массой 100 г, брошенный перпендикулярно стене со скоростью 10 м/с, отскакивает от неё с той же по модулю скоростью. Определите ускорение и среднюю силу торможения мяча, если мяч находился в контакте со стеной в течение 1 мс.

Дано:

Найти:

Решение:

Выберем ось координат OX, направленную перпендикулярно стене, от нее. Таким образом, движение мяча в сторону стены будет иметь отрицательную скорость, а отскок от стены — положительную.

Начальная скорость мяча (перед ударом): $v_0 = -10$ м/с.

Конечная скорость мяча (после отскока): $v = +10$ м/с.

ускорение

Ускорение — это векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости тела. Среднее ускорение находится по формуле:

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v - v_0}{\Delta t}$

Подставим числовые значения:

$a = \frac{10 \text{ м/с} - (-10 \text{ м/с})}{0.001 \text{ с}} = \frac{20 \text{ м/с}}{0.001 \text{ с}} = 20000 \text{ м/с}^2 = 2 \cdot 10^4 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение мяча равно $2 \cdot 10^4 \text{ м/с}^2$.

средняя сила торможения

Среднюю силу торможения, действующую на мяч со стороны стены, можно определить, используя второй закон Ньютона:

$F_{ср} = m \cdot a$

Подставим значения массы и найденного ускорения:

$F_{ср} = 0.1 \text{ кг} \cdot 20000 \text{ м/с}^2 = 2000 \text{ Н} = 2 \text{ кН}$

Ответ: средняя сила торможения равна $2000 \text{ Н}$ (или $2 \text{ кН}$).

12.24 [Д. 29] Под действием одинаковых сил, равных $F$, два покоившихся тела массами 120 г и 60 г приобретают одинаковую скорость. На второе тело сила действует в течение 1,3 с. Определите длительность действия силы на первое тело.

Дано:

$m_1 = 120 \text{ г}$
$m_2 = 60 \text{ г}$
$t_2 = 1.3 \text{ с}$
$F_1 = F_2 = F$
$v_{01} = v_{02} = 0$
$v_1 = v_2 = v$

$m_1 = 120 \text{ г} = 0.12 \text{ кг}$
$m_2 = 60 \text{ г} = 0.06 \text{ кг}$

Найти:

$t_1$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся вторым законом Ньютона в импульсной форме. Согласно этому закону, импульс силы, действующей на тело, равен изменению импульса этого тела: $F \cdot t = \Delta p$.

Изменение импульса тела определяется как разность между его конечным и начальным импульсом: $\Delta p = p_{конечный} - p_{начальный} = m v - m v_0$.

Поскольку оба тела изначально покоились, их начальная скорость $v_0$ равна нулю, и, следовательно, начальный импульс также равен нулю. Таким образом, изменение импульса для каждого тела будет равно его конечному импульсу: $\Delta p = mv$.

Запишем уравнения для каждого из двух тел:

Для первого тела (массой $m_1$, время действия силы $t_1$): $F \cdot t_1 = m_1 v \quad (1)$

Для второго тела (массой $m_2$, время действия силы $t_2$): $F \cdot t_2 = m_2 v \quad (2)$

По условию задачи, на оба тела действуют одинаковые силы $F$, и в результате они приобретают одинаковую конечную скорость $v$. Разделим уравнение (1) на уравнение (2): $\frac{F \cdot t_1}{F \cdot t_2} = \frac{m_1 v}{m_2 v}$

Сократим одинаковые величины $F$ и $v$ в левой и правой частях уравнения: $\frac{t_1}{t_2} = \frac{m_1}{m_2}$

Из этого соотношения выразим искомую длительность действия силы на первое тело $t_1$: $t_1 = t_2 \cdot \frac{m_1}{m_2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу: $t_1 = 1.3 \text{ с} \cdot \frac{0.12 \text{ кг}}{0.06 \text{ кг}} = 1.3 \text{ с} \cdot 2 = 2.6 \text{ с}$

Ответ: $2.6 \text{ с}$.