Страница 34 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

10.19 [215] Стальная пластина прикреплена к концу пружины (рис. II-32). Пружина в сжатом состоянии удерживается нитью. Если пережечь нить, то пружина выпрямляется и стальная пластина одновременно ударяет шары, которые лежат на столе. Массы шаров равны, но сделаны они из разных металлов (алюминий, свинец, сталь). Из какого металла сделаны шар 1, шар 2 и шар 3? (На рисунке положение каждого шара после удара обозначено пунктиром.)

Рис. II-32

Решение

При разжатии пружины ее потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию стальной пластины. Пластина, двигаясь, одновременно ударяет по трем шарам, которые изначально покоились. По условию, массы всех шаров одинаковы, но они сделаны из разных металлов. На рисунке видно, что после удара шары пролетают разные расстояния. В предположении, что сила сопротивления движению для всех шаров одинакова (или пренебрежимо мала), пройденное расстояние $s$ за одно и то же время пропорционально начальной скорости $v$, которую шар получил в результате удара. Следовательно, шар, пролетевший наибольшее расстояние, получил наибольшую начальную скорость.

Скорость, которую приобретает шар при столкновении, зависит от того, какая доля кинетической энергии пластины передается шару. Эта передача энергии определяется упругостью столкновения. Чем более упругим является столкновение, тем большая часть кинетической энергии переходит от пластины к шару, и тем выше будет скорость шара после удара.

Упругость столкновения зависит от материалов сталкивающихся тел. В данном случае стальная пластина сталкивается с шарами из стали, алюминия и свинца.

1. Столкновение стальной пластины со стальным шаром является наиболее упругим. При таком ударе теряется минимальное количество энергии, и стальной шар приобретает наибольшую скорость.

2. Столкновение стальной пластины с алюминиевым шаром менее упругое, чем со стальным. Алюминий тверже свинца, но мягче стали. Поэтому алюминиевый шар приобретет скорость меньшую, чем стальной, но большую, чем свинцовый.

3. Столкновение стальной пластины со свинцовым шаром является наименее упругим (наиболее неупругим). Свинец — очень мягкий и пластичный металл. При ударе значительная часть энергии расходуется на его деформацию и нагрев. Поэтому свинцовый шар получит наименьшую начальную скорость.

Сопоставим эти выводы с рисунком:

• Шар 1 пролетел наибольшее расстояние. Следовательно, он получил наибольшую скорость, что соответствует наиболее упругому удару. Значит, это стальной шар.

• Шар 3 пролетел наименьшее расстояние. Следовательно, он получил наименьшую скорость, что соответствует наиболее неупругому удару. Значит, это свинцовый шар.

• Шар 2 пролетел среднее расстояние, что соответствует промежуточному значению скорости. Значит, это алюминиевый шар.

Ответ: Шар 1 сделан из стали, шар 2 — из алюминия, шар 3 — из свинца.

10.20 [218] Мальчик выбирает верёвку, и лодки в озере сближаются (рис. II-33). Какая из двух одинаковых лодок к моменту сближения приобретает большую скорость? Почему?

Рис. II-33

Дано:

Масса мальчика: $m_м$
Масса каждой из одинаковых лодок: $m_л$
Пусть лодка без мальчика будет лодкой 1, а лодка с мальчиком — лодкой 2.
Масса лодки 1: $M_1 = m_л$
Масса лодки 2: $M_2 = m_л + m_м$
Начальные скорости лодок равны нулю.

Найти:

Какая из лодок ($v_1$ или $v_2$) приобретет большую скорость к моменту сближения.

Решение:

Эту задачу можно решить двумя способами.

1-й способ: Используя законы Ньютона.

Когда мальчик тянет веревку, он прикладывает силу к пустой лодке. Согласно третьему закону Ньютона, веревка с такой же по модулю, но противоположной по направлению силой действует на мальчика, а следовательно, и на лодку, в которой он находится. Обозначим модуль этой силы тяги как $F$.

Таким образом, на обе лодки действует одинаковая по модулю сила:

$F_1 = F$ (сила, действующая на пустую лодку)
$F_2 = F$ (сила, действующая на лодку с мальчиком)

Согласно второму закону Ньютона, ускорение, которое приобретает тело, равно $a = F/M$, где $F$ — действующая сила, а $M$ — масса тела.

Найдем ускорения каждой лодки:

Ускорение пустой лодки (лодки 1): $a_1 = \frac{F}{M_1} = \frac{F}{m_л}$

Ускорение лодки с мальчиком (лодки 2): $a_2 = \frac{F}{M_2} = \frac{F}{m_л + m_м}$

Сравним массы: $M_1 = m_л$, а $M_2 = m_л + m_м$. Очевидно, что $M_2 > M_1$.

Поскольку на лодки действуют одинаковые силы, а массы у них разные, то ускорение будет больше у той лодки, чья масса меньше. Следовательно, $a_1 > a_2$.

Обе лодки начинают движение одновременно из состояния покоя и движутся до встречи одинаковое время $t$. Скорость при равноускоренном движении из состояния покоя определяется как $v = at$. Значит, к моменту встречи их скорости будут $v_1 = a_1 t$ и $v_2 = a_2 t$. Так как $a_1 > a_2$, то и $v_1 > v_2$.

2-й способ: Используя закон сохранения импульса.

Рассмотрим систему, состоящую из мальчика и двух лодок. Силы натяжения веревки являются внутренними для этой системы. Если пренебречь внешними силами (сопротивлением воды), то для данной системы будет выполняться закон сохранения импульса.

Изначально обе лодки покоились, поэтому суммарный импульс системы был равен нулю.

$p_{начальный} = 0$

Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс системы должен оставаться равным нулю и в процессе движения. Суммарный импульс в любой момент времени равен векторной сумме импульсов пустой лодки ($p_1$) и лодки с мальчиком ($p_2$).

$p_1 + p_2 = 0 \implies p_1 = -p_2$

Это означает, что модули импульсов двух лодок равны в любой момент времени:

$|p_1| = |p_2|$
$M_1 v_1 = M_2 v_2$
$m_л \cdot v_1 = (m_л + m_м) \cdot v_2$

Из этого равенства выразим отношение скоростей:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{m_л + m_м}{m_л}$

Поскольку масса мальчика $m_м > 0$, числитель дроби $(m_л + m_м)$ больше знаменателя $m_л$, следовательно, их отношение больше единицы. Отсюда следует, что $v_1 > v_2$.

Оба способа приводят к выводу, что скорость пустой лодки будет больше.

Ответ: Большую скорость к моменту сближения приобретет пустая лодка. Причина в том, что силы, действующие на лодки, равны по модулю (третий закон Ньютона), а массы объектов различны. Согласно второму закону Ньютона ($a=F/m$), тело с меньшей массой (пустая лодка) получит большее ускорение и, следовательно, разовьет большую скорость за то же время.

10.21 [223] Могут ли два неподвижных вначале тела в результате взаимодействия друг с другом приобрести одинаковые по численному значению скорости?

Дано:

Система из двух тел с массами $m_1$ и $m_2$.

Начальные скорости тел: $\vec{v}_{1н} = 0$, $\vec{v}_{2н} = 0$.

Найти:

Условие, при котором скорости тел после взаимодействия будут равны по модулю: $| \vec{v}_{1к} | = | \vec{v}_{2к} |$.

Решение:

Рассмотрим систему двух тел как замкнутую, так как они взаимодействуют только друг с другом (внутренними силами). Согласно закону сохранения импульса, суммарный импульс замкнутой системы тел остается постоянным.

Начальный импульс системы $\vec{P}_{н}$ равен сумме импульсов тел до взаимодействия. Поскольку тела покоились, их начальные скорости были равны нулю:

$\vec{P}_{н} = m_1 \vec{v}_{1н} + m_2 \vec{v}_{2н} = m_1 \cdot 0 + m_2 \cdot 0 = \vec{0}$

Пусть $\vec{v}_{1к}$ и $\vec{v}_{2к}$ — скорости тел после взаимодействия. Конечный импульс системы $\vec{P}_{к}$ равен:

$\vec{P}_{к} = m_1 \vec{v}_{1к} + m_2 \vec{v}_{2к}$

По закону сохранения импульса $\vec{P}_{н} = \vec{P}_{к}$, следовательно:

$m_1 \vec{v}_{1к} + m_2 \vec{v}_{2к} = \vec{0}$

Из этого векторного равенства следует, что $m_1 \vec{v}_{1к} = -m_2 \vec{v}_{2к}$. Это означает, что векторы скоростей $\vec{v}_{1к}$ и $\vec{v}_{2к}$ направлены в противоположные стороны (так как массы — положительные скалярные величины), а сами тела разлетаются вдоль одной прямой.

Запишем равенство для модулей векторов:

$|m_1 \vec{v}_{1к}| = |-m_2 \vec{v}_{2к}|$

$m_1 |\vec{v}_{1к}| = m_2 |\vec{v}_{2к}|$

Обозначим численные значения скоростей (их модули) как $v_{1к}$ и $v_{2к}$. Тогда:

$m_1 v_{1к} = m_2 v_{2к}$

Вопрос состоит в том, при каком условии возможно $v_{1к} = v_{2к}$. Пусть $v_{1к} = v_{2к} = v$, где $v$ — некоторая ненулевая скорость ($v \ne 0$, так как тела в результате взаимодействия приходят в движение). Подставим это условие в полученное уравнение:

$m_1 v = m_2 v$

Поскольку $v \ne 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $v$:

$m_1 = m_2$

Таким образом, два тела, первоначально находившиеся в покое, могут приобрести в результате взаимодействия одинаковые по численному значению скорости только в том случае, если их массы равны.

Ответ: да, могут, если массы этих тел одинаковы.

10.22 [224] Воздух под поршнем насоса сжали. Изменилась ли масса воздуха?

Решение

Масса является физической величиной, которая характеризует количество вещества в теле. В данном случае тело — это порция воздуха, находящаяся под поршнем насоса. Воздух состоит из огромного числа молекул.

Процесс сжатия воздуха под поршнем означает уменьшение объема, который этот воздух занимает. Если предположить, что система (цилиндр с поршнем) герметична, то при сжатии количество молекул воздуха внутри не изменяется — ни одна молекула не покидает объем под поршнем и ни одна новая не добавляется.

Поскольку количество вещества (то есть число молекул воздуха) осталось прежним, то и его масса не изменилась.

При сжатии воздуха изменяются его другие параметры:

• Уменьшается объем ($V$).
• Увеличивается плотность ($\rho$), так как то же количество массы ($m$) теперь занимает меньший объем: $\rho = m/V$.
• Увеличивается давление ($p$) и, как правило, температура ($T$).

Масса ($m$) же остается постоянной.

Ответ: нет, масса воздуха не изменилась.

10.23 [225] Гирю опустили в сосуд с водой. Изменилась ли масса гири?

Чтобы правильно ответить на этот вопрос, важно различать два физических понятия: массу и вес.

Масса ($m$) — это мера инертности тела и количества вещества в нем. В классической механике масса является неотъемлемой, постоянной характеристикой тела. Она не зависит от того, где находится тело и какие силы на него действуют.

Вес ($P$) — это сила, с которой тело из-за притяжения к Земле действует на опору или подвес. В простейшем случае, когда тело покоится на горизонтальной поверхности в воздухе, его вес равен силе тяжести: $P = F_т = mg$.

Когда гирю опускают в сосуд с водой, ситуация меняется. На гирю теперь действуют две силы в вертикальном направлении:

• Сила тяжести ($F_т$), направленная вниз. Она не меняется, так как масса гири и гравитационное поле Земли остались прежними.
• Выталкивающая сила, или сила Архимеда ($F_А$), направленная вверх. Она возникает из-за того, что давление воды на нижние слои объекта больше, чем на верхние.

В результате действия выталкивающей силы, которая "помогает" удерживать гирю, её вес в воде уменьшается. Этот новый, уменьшенный вес называют кажущимся весом, и он равен $P_{каж} = P - F_А$. Именно поэтому гирю в воде поднять или удержать легче, чем в воздухе.

Однако, несмотря на изменение веса, количество вещества в гире (то есть количество атомов, из которых она состоит) не изменилось. Следовательно, её масса осталась прежней.

Ответ: Нет, масса гири не изменилась. Изменился ее вес в воде (он уменьшился), но масса как мера количества вещества осталась постоянной.

10.24 [227] Изменится ли масса воды, когда часть её обратится в лёд или пар?

С точки зрения классической физики, которая изучается в школьном курсе, масса воды при переходе в другое агрегатное состояние (лёд или пар) не изменяется. Давайте разберемся почему.

Превращение воды в лёд (процесс кристаллизации) или в пар (процесс парообразования) является физическим процессом, а не химической реакцией. Это означает, что химический состав вещества остаётся прежним. И жидкая вода, и твёрдый лёд, и газообразный пар состоят из одних и тех же молекул — $H_2O$.

Масса тела — это мера количества вещества в нём. Поскольку в ходе замерзания или испарения в замкнутой системе количество молекул воды не меняется (молекулы не исчезают и не появляются), то и общая масса системы (вода + лёд или вода + пар) остаётся постоянной и равной первоначальной массе воды. Изменяются лишь расстояния между молекулами и характер их движения, что приводит к изменению таких свойств, как объём и плотность, но не масса.

Строго говоря, с точки зрения специальной теории относительности Эйнштейна, масса и энергия взаимосвязаны знаменитой формулой $E=mc^2$. Для того чтобы превратить воду в пар, системе необходимо сообщить энергию (теплоту парообразования). Эта энергия увеличивает внутреннюю энергию системы, а следовательно, и её массу на величину $\Delta m = \Delta E/c^2$. Напротив, при замерзании вода отдаёт энергию (теплоту кристаллизации) в окружающую среду, её внутренняя энергия уменьшается, что приводит к ничтожному уменьшению массы.

Однако это изменение массы настолько мало, что его невозможно измерить на практике. Например, при превращении 1 кг воды в пар масса увеличится всего лишь примерно на $2.5 \cdot 10^{-11}$ кг. Поэтому в рамках классической физики и для всех практических расчётов этим эффектом полностью пренебрегают и считают массу неизменной.

Ответ: Нет, масса воды не изменится. Превращение воды в лёд или пар — это физический процесс изменения агрегатного состояния, при котором количество вещества (и, следовательно, его масса) сохраняется. Теоретическое изменение массы из-за изменения внутренней энергии, согласно теории относительности, является пренебрежимо малым.