Страница 27 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

8.20 [д. 15] Карусель и крыша над каруселью, имеющие одинаковый диаметр, вращаются вокруг вертикальной оси O в одном направлении с частотами $3n$ и $n$ соответственно (рис. II-18). Скат крыши длиной $l$ образует с осью вращения угол $\alpha$. Определите:

1) угловые скорости карусели и крыши над ней;

2) линейные скорости крайних точек карусели и крыши;

3) центростремительное ускорение этих точек.

Рис. II-18

Дано:

Частота вращения карусели, $n_к = 3n$

Частота вращения крыши, $n_{кр} = n$

Длина ската крыши, $l$

Угол наклона ската крыши к оси вращения, $\alpha$

Диаметры карусели и крыши одинаковы

Найти:

1) $\omega_к, \omega_{кр}$ - угловые скорости карусели и крыши.

2) $v_к, v_{кр}$ - линейные скорости крайних точек карусели и крыши.

3) $a_{цк}, a_{ц.кр}$ - центростремительные ускорения этих точек.

Решение:

Так как карусель и крыша имеют одинаковый диаметр, их радиусы вращения $R$ равны. Из рисунка видно, что радиус вращения $R$, длина ската крыши $l$ и ось вращения образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $l$ — гипотенуза, а $R$ — катет, противолежащий углу $\alpha$.

Следовательно, радиус вращения крайних точек можно выразить как:

$R = l \sin(\alpha)$

1) угловые скорости карусели и крыши над ней

Угловая скорость $\omega$ связана с частотой вращения $n$ формулой $\omega = 2\pi n$.

Угловая скорость карусели:

$\omega_к = 2\pi n_к = 2\pi (3n) = 6\pi n$

Угловая скорость крыши:

$\omega_{кр} = 2\pi n_{кр} = 2\pi n$

Ответ: угловая скорость карусели $\omega_к = 6\pi n$; угловая скорость крыши $\omega_{кр} = 2\pi n$.

2) линейные скорости крайних точек карусели и крыши

Линейная скорость $v$ связана с угловой скоростью $\omega$ и радиусом $R$ формулой $v = \omega R$.

Линейная скорость крайних точек карусели:

$v_к = \omega_к R = (6\pi n) \cdot (l \sin(\alpha)) = 6\pi n l \sin(\alpha)$

Линейная скорость крайних точек крыши:

$v_{кр} = \omega_{кр} R = (2\pi n) \cdot (l \sin(\alpha)) = 2\pi n l \sin(\alpha)$

Ответ: линейная скорость крайних точек карусели $v_к = 6\pi n l \sin(\alpha)$; линейная скорость крайних точек крыши $v_{кр} = 2\pi n l \sin(\alpha)$.

3) центростремительное ускорение этих точек

Центростремительное ускорение $a_ц$ связано с угловой скоростью $\omega$ и радиусом $R$ формулой $a_ц = \omega^2 R$.

Центростремительное ускорение крайних точек карусели:

$a_{цк} = \omega_к^2 R = (6\pi n)^2 (l \sin(\alpha)) = 36\pi^2 n^2 l \sin(\alpha)$

Центростремительное ускорение крайних точек крыши:

$a_{ц.кр} = \omega_{кр}^2 R = (2\pi n)^2 (l \sin(\alpha)) = 4\pi^2 n^2 l \sin(\alpha)$

Ответ: центростремительное ускорение крайних точек карусели $a_{цк} = 36\pi^2 n^2 l \sin(\alpha)$; центростремительное ускорение крайних точек крыши $a_{ц.кр} = 4\pi^2 n^2 l \sin(\alpha)$.

8.21 [д. 16] Ознакомьтесь с условием предыдущей задачи. С какой угловой скоростью и в каком направлении должен идти мальчик по карусели вокруг оси её вращения, чтобы крыша относительно него оставалась неподвижной? На каком расстоянии от оси вращения расположены точки карусели, в которых центростремительное ускорение такое же, как и на краю крыши?

Рис. II-19

Поскольку условие задачи отсылает к предыдущей задаче и на рисунке присутствует радиус $R_2$, будем считать, что речь идет о системе из двух соосно вращающихся объектов: карусели, по которой идет мальчик, и "крыши".

Дано:
$ \omega_{к} $ — угловая скорость карусели относительно земли.
$ \omega_{кр} $ — угловая скорость крыши относительно земли.
$ R_{2} $ — радиус крыши.

Найти:
$ \omega_{м} $ — угловая скорость мальчика относительно карусели.
$ r $ — расстояние от оси вращения до точек на карусели с заданным условием.

Решение:

1. Угловая скорость и направление движения мальчика

Чтобы крыша была неподвижна относительно мальчика, их скорости относительно неподвижной системы отсчета (земли) должны быть одинаковыми. Рассмотрим их угловые скорости, так как движение происходит вокруг одной оси.

Абсолютная угловая скорость мальчика $ \omega_{абс} $ (относительно земли) складывается из угловой скорости карусели $ \omega_{к} $ и угловой скорости мальчика относительно карусели $ \omega_{м} $ (это искомая величина). По закону сложения угловых скоростей:

$ \omega_{абс} = \omega_{к} + \omega_{м} $

Угловые скорости здесь являются векторами, направленными вдоль оси вращения. Если направления вращения совпадают, их можно складывать как скаляры.

Абсолютная угловая скорость крыши по условию равна $ \omega_{кр} $.

Для того чтобы крыша была неподвижна относительно мальчика, их абсолютные угловые скорости должны быть равны:

$ \omega_{абс} = \omega_{кр} $

Приравнивая выражения для абсолютной скорости мальчика и скорости крыши, получаем:

$ \omega_{к} + \omega_{м} = \omega_{кр} $

Отсюда находим угловую скорость мальчика относительно карусели:

$ \omega_{м} = \omega_{кр} - \omega_{к} $

Направление движения мальчика зависит от соотношения угловых скоростей крыши и карусели:

• Если $ \omega_{кр} > \omega_{к} $, то $ \omega_{м} $ имеет то же направление, что и $ \omega_{к} $. Мальчик должен идти в направлении вращения карусели.
• Если $ \omega_{кр} < \omega_{к} $, то $ \omega_{м} $ имеет противоположное направление. Мальчик должен идти против направления вращения карусели.
• Если $ \omega_{кр} = \omega_{к} $, то $ \omega_{м} = 0 $. Мальчик должен стоять на месте.

Ответ: Угловая скорость мальчика относительно карусели должна быть равна $ \omega_{м} = \omega_{кр} - \omega_{к} $. Направление движения совпадает с направлением вращения карусели, если $ \omega_{кр} > \omega_{к} $, и противоположно ему, если $ \omega_{кр} < \omega_{к} $.

2. Расстояние до точек с равным центростремительным ускорением

Требуется найти расстояние $r$ от оси вращения, в котором центростремительное ускорение точек карусели $a_{ц,к}$ равно центростремительному ускорению точек на краю крыши $a_{ц,кр}$.

Центростремительное ускорение точки, вращающейся с угловой скоростью $ \omega $ на расстоянии $ x $ от оси, вычисляется по формуле:

$ a_ц = \omega^2 x $

Для точки на карусели, находящейся на искомом расстоянии $r$ от оси:

$ a_{ц,к} = \omega_{к}^2 r $

Для точки на краю крыши, находящейся на расстоянии $ R_2 $ от оси:

$ a_{ц,кр} = \omega_{кр}^2 R_2 $

Приравниваем эти ускорения согласно условию задачи:

$ \omega_{к}^2 r = \omega_{кр}^2 R_2 $

Выражаем искомое расстояние $r$:

$ r = R_2 \frac{\omega_{кр}^2}{\omega_{к}^2} = R_2 \left( \frac{\omega_{кр}}{\omega_{к}} \right)^2 $

Ответ: Точки карусели, в которых центростремительное ускорение такое же, как и на краю крыши, расположены на расстоянии $ r = R_2 \left( \frac{\omega_{кр}}{\omega_{к}} \right)^2 $ от оси вращения.

8.22 [Д. 17] Небольшое тело, которому сообщили начальную скорость $v_0 = 3$ м/с, скользит по горизонтальной поверхности вдоль полукруглых барьеров с радиусами $R_1 = 12$ см и $R_2 = 20$ см (рис. II-19). Чему равна конечная скорость тела? На сколько различаются значения угловой скорости и центростремительного ускорения тела при движении вдоль барьеров? Трение и деформацию не учитывайте.

Рис. II-19

Дано:

$v_0 = 3$ м/с
$R_1 = 12$ см = $0.12$ м
$R_2 = 20$ см = $0.2$ м

Найти:

$v$ - конечная скорость тела
$\Delta \omega$ - разность угловых скоростей
$\Delta a_c$ - разность центростремительных ускорений

Решение:

Чему равна конечная скорость тела?

Согласно условию задачи, тело скользит по горизонтальной поверхности, а трение и деформация не учитываются. Сила реакции опоры со стороны барьера, заставляющая тело двигаться по дуге окружности, всегда направлена перпендикулярно вектору скорости тела.

Работа силы, перпендикулярной вектору скорости, равна нулю. Так как трение отсутствует, полная работа внешних сил, действующих на тело в горизонтальной плоскости, равна нулю.

Согласно теореме об изменении кинетической энергии, работа всех сил равна изменению кинетической энергии тела: $W_{net} = \Delta K$. Поскольку в данном случае $W_{net} = 0$, то и изменение кинетической энергии $\Delta K = 0$.

Кинетическая энергия вычисляется по формуле $K = \frac{mv^2}{2}$. Так как масса тела $m$ не изменяется и кинетическая энергия $K$ постоянна, то модуль скорости (скорость) тела $v$ также остается постоянным.

Следовательно, конечная скорость тела по модулю равна его начальной скорости: $v = v_0 = 3$ м/с.

Ответ: Конечная скорость тела равна 3 м/с.

На сколько различаются значения угловой скорости и центростремительного ускорения тела при движении вдоль барьеров?

Как мы установили, линейная скорость тела $v$ постоянна на всем пути и равна 3 м/с.

Угловая скорость $\omega$ связана с линейной скоростью $v$ и радиусом $R$ соотношением $\omega = \frac{v}{R}$.

Для первого барьера с радиусом $R_1$:
$\omega_1 = \frac{v}{R_1} = \frac{3 \text{ м/с}}{0.12 \text{ м}} = 25$ рад/с.

Для второго барьера с радиусом $R_2$:
$\omega_2 = \frac{v}{R_2} = \frac{3 \text{ м/с}}{0.2 \text{ м}} = 15$ рад/с.

Разность значений угловой скорости составляет:
$\Delta \omega = |\omega_1 - \omega_2| = |25 \text{ рад/с} - 15 \text{ рад/с}| = 10$ рад/с.

Центростремительное ускорение $a_c$ определяется формулой $a_c = \frac{v^2}{R}$.

Для первого барьера с радиусом $R_1$:
$a_{c1} = \frac{v^2}{R_1} = \frac{(3 \text{ м/с})^2}{0.12 \text{ м}} = \frac{9}{0.12} \text{ м/с}^2 = 75$ м/с$^2$.

Для второго барьера с радиусом $R_2$:
$a_{c2} = \frac{v^2}{R_2} = \frac{(3 \text{ м/с})^2}{0.2 \text{ м}} = \frac{9}{0.2} \text{ м/с}^2 = 45$ м/с$^2$.

Разность значений центростремительного ускорения составляет:
$\Delta a_c = |a_{c1} - a_{c2}| = |75 \text{ м/с}^2 - 45 \text{ м/с}^2| = 30$ м/с$^2$.

Ответ: Значения угловой скорости различаются на 10 рад/с, а значения центростремительного ускорения — на 30 м/с$^2$.

8.23 [Д. 18] Решите предыдущую задачу при условии, что в зазоре между барьерами телу в течение 0,1 с сообщается отрицательное ускорение $-4 \text{ м/с}^2$.

8.23 [Д, 18]

Для решения данной задачи необходимо использовать условия из предыдущей задачи (№8.22), в которой рассматривалось движение тела между двумя барьерами. Предполагается, что начальное расстояние между барьерами $L = 10$ м, а начальная скорость тела $v_0 = 2$ м/с.

Дано:

Расстояние между барьерами, $L = 10$ м.

Начальная скорость тела, $v_0 = 2$ м/с.

Ускорение тела, $a = -4$ м/с².

Найти:

Минимальную скорость второго барьера $u_{min}$, при которой тело вернется к первому барьеру.

Решение:

В условии задачи указано, что ускорение сообщается телу "в течение 0,1 с". Однако, если ускорение действует лишь кратковременно, то после этого тело будет двигаться равномерно, и, как и в предыдущей задаче, оно всегда будет возвращаться к первому барьеру после упругого столкновения. Вопрос о минимальной скорости $u$ в таком случае не имеет физического смысла. Поэтому будем считать, что указание на 0,1 с является частью описания, но само ускорение $a = -4$ м/с² действует на тело постоянно, пока оно находится в зазоре между барьерами (как на пути ко второму барьеру, так и обратно).

Выберем систему отсчета, связанную с первым (неподвижным) барьером. Ось OX направим от первого барьера ко второму. Начало координат ($x=0$) находится в положении первого барьера.

Запишем уравнение движения для тела:

$x_{тела}(t) = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Второй барьер движется навстречу телу с постоянной скоростью $u$. Его координата изменяется по закону:

$x_{барьера}(t) = L - ut$

Столкновение тела со вторым барьером произойдет в момент времени $t_c > 0$, когда их координаты совпадут: $x_{тела}(t_c) = x_{барьера}(t_c)$.

$v_0 t_c + \frac{at_c^2}{2} = L - ut_c$

Подставим числовые значения из условия:

$2t_c + \frac{(-4)t_c^2}{2} = 10 - ut_c$

$2t_c - 2t_c^2 = 10 - ut_c$

Соберем все члены в левой части, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно времени столкновения $t_c$:

$2t_c^2 - 2t_c - ut_c + 10 = 0$

$2t_c^2 - (2+u)t_c + 10 = 0$

Для того чтобы столкновение в принципе могло произойти, это квадратное уравнение должно иметь действительные корни. Условием существования действительных корней является неотрицательность дискриминанта $D$ этого уравнения.

$D = (-(2+u))^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 \ge 0$

$D = (2+u)^2 - 80 \ge 0$

Так как скорость $u$ не может быть отрицательной ($u \ge 0$), то выражение $(2+u)$ всегда положительно. Мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей неравенства:

$2+u \ge \sqrt{80}$

Упростим корень: $\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$.

$2+u \ge 4\sqrt{5}$

$u \ge 4\sqrt{5} - 2$

Это неравенство определяет условие, при котором тело сможет достигнуть второго барьера. Если скорость $u$ будет меньше этого значения, тело из-за отрицательного ускорения остановится и начнет двигаться обратно, не достигнув второго барьера.

После упругого столкновения со вторым барьером тело начнет движение в обратную сторону, к первому барьеру, и на него продолжит действовать то же ускорение $a = -4$ м/с². Можно показать, что если столкновение произошло, то тело обязательно вернется в точку $x=0$. Следовательно, условие возвращения тела к первому барьеру совпадает с условием, при котором возможно столкновение со вторым барьером.

Минимальная скорость $u_{min}$ соответствует граничному условию, когда дискриминант равен нулю ($D=0$).

$u_{min} = 4\sqrt{5} - 2$

Вычислим численное значение, приняв $\sqrt{5} \approx 2.236$:

$u_{min} \approx 4 \cdot 2.236 - 2 = 8.944 - 2 = 6.944$ м/с.

Округляя до сотых, получаем $u_{min} \approx 6.94$ м/с.

Ответ: Минимальная скорость второго барьера, при которой тело вернется к первому, составляет $u_{min} = 4\sqrt{5} - 2 \approx 6.94$ м/с.

8.24 [Д. 20] Радиус орбиты синхронного спутника (спутника, «висящего» над одной и той же точкой земной поверхности) равен $4,2 \cdot 10^4$ км. Определите отношение центростремительных ускорений спутника и точки земной поверхности.

Дано:

Радиус орбиты синхронного спутника $R_с = 4,2 \cdot 10^4$ км
Средний радиус Земли (справочное значение) $R_з \approx 6400$ км

Перевод в систему СИ:

$R_с = 4,2 \cdot 10^4 \cdot 10^3 \text{ м} = 4,2 \cdot 10^7 \text{ м}$
$R_з \approx 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Отношение центростремительных ускорений спутника и точки на земной поверхности $\frac{a_с}{a_т}$.

Решение:

Синхронный спутник — это спутник, который обращается вокруг Земли с угловой скоростью, равной угловой скорости вращения Земли вокруг своей оси. Благодаря этому он постоянно находится над одной и той же точкой на экваторе. Следовательно, угловая скорость спутника $\omega_с$ равна угловой скорости точки на поверхности Земли $\omega_т$. Обозначим эту угловую скорость как $\omega$.

$\omega_с = \omega_т = \omega$

Центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности радиусом $R$ с угловой скоростью $\omega$, определяется по формуле:

$a = \omega^2 R$

Для спутника, движущегося по орбите радиусом $R_с$, центростремительное ускорение равно:

$a_с = \omega^2 R_с$

Для точки на земной поверхности (для максимального ускорения возьмем точку на экваторе), вращающейся с радиусом, равным радиусу Земли $R_з$, центростремительное ускорение равно:

$a_т = \omega^2 R_з$

Теперь найдем отношение этих ускорений:

$\frac{a_с}{a_т} = \frac{\omega^2 R_с}{\omega^2 R_з}$

Угловая скорость $\omega$ сокращается, и мы получаем:

$\frac{a_с}{a_т} = \frac{R_с}{R_з}$

Подставим числовые значения. Можно использовать значения как в километрах, так и в метрах, так как это отношение, и единицы измерения сократятся.

$\frac{a_с}{a_т} = \frac{4,2 \cdot 10^4 \text{ км}}{6400 \text{ км}} = \frac{42000}{6400} = \frac{420}{64} = \frac{105}{16} = 6,5625$

Ответ: Отношение центростремительных ускорений спутника и точки земной поверхности равно приблизительно 6,6.

8.25 [Д. 21] При вращении крайние точки центрифуги (тренажёра для лётчиков и космонавтов) испытывают центростремительное ускорение, равное $40 \text{ м/с}^2$. Определите линейную скорость этих точек, угловую скорость, частоту и период обращения центрифуги, если её радиус равен $4 \text{ м}$.

Дано:

Центростремительное ускорение $a_c = 40 \text{ м/с}^2$
Радиус центрифуги $R = 4 \text{ м}$
(Все данные представлены в системе СИ)

Найти:

Линейную скорость $v$ — ?
Угловую скорость $\omega$ — ?
Частоту обращения $\nu$ — ?
Период обращения $T$ — ?

Решение:

Линейная скорость

Центростремительное ускорение связано с линейной скоростью и радиусом окружности по формуле: $a_c = \frac{v^2}{R}$

Выразим из этой формулы линейную скорость $v$: $v^2 = a_c \cdot R$ $v = \sqrt{a_c \cdot R}$

Подставим числовые значения и рассчитаем: $v = \sqrt{40 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 4 \text{ м}} = \sqrt{160 \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2}} = 4\sqrt{10} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 12.65 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Ответ: линейная скорость крайних точек центрифуги равна $12.65 \text{ м/с}$.

Угловая скорость

Центростремительное ускорение также можно выразить через угловую скорость $\omega$ и радиус $R$: $a_c = \omega^2 R$

Выразим из этой формулы угловую скорость $\omega$: $\omega^2 = \frac{a_c}{R}$ $\omega = \sqrt{\frac{a_c}{R}}$

Подставим числовые значения и рассчитаем: $\omega = \sqrt{\frac{40 \text{ м/с}^2}{4 \text{ м}}} = \sqrt{10 \text{ с}^{-2}} \approx 3.16 \frac{\text{рад}}{\text{с}}$

Ответ: угловая скорость центрифуги равна $3.16 \text{ рад/с}$.

Частота

Угловая скорость связана с частотой обращения $\nu$ следующим соотношением: $\omega = 2\pi\nu$

Отсюда выразим частоту $\nu$: $\nu = \frac{\omega}{2\pi}$

Подставим найденное значение угловой скорости: $\nu = \frac{\sqrt{10} \text{ рад/с}}{2\pi} \approx \frac{3.16}{2 \cdot 3.14} \approx 0.503 \text{ Гц}$

Ответ: частота обращения центрифуги равна $0.503 \text{ Гц}$.

Период обращения

Период обращения $T$ — это величина, обратная частоте $\nu$: $T = \frac{1}{\nu}$

Также период можно найти через угловую скорость: $T = \frac{2\pi}{\omega}$

Воспользуемся второй формулой для расчета: $T = \frac{2\pi}{\sqrt{10} \text{ рад/с}} \approx \frac{2 \cdot 3.14}{3.16} \approx 1.99 \text{ с}$

Ответ: период обращения центрифуги равен $1.99 \text{ с}$.