Страница 21 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

7.24* [123*] Санки скатываются с горы и в некоторый момент времени имеют скорость 10 м/с. Чему равны горизонтальная составляющая $v_\text{г}$ и вертикальная составляющая $v_\text{в}$ этой скорости в данный момент, если наклон горы к горизонту составляет $30^\circ$?

Дано:

Скорость санок, $v = 10$ м/с
Угол наклона горы к горизонту, $\alpha = 30^\circ$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Горизонтальную составляющую скорости, $v_г$
Вертикальную составляющую скорости, $v_в$

Решение:

Скорость санок $v$ является вектором, направленным вдоль склона горы. Чтобы найти его горизонтальную и вертикальную составляющие, мы можем представить этот вектор как гипотенузу в прямоугольном треугольнике. Угол между гипотенузой (вектором скорости) и горизонтальной осью равен углу наклона горы $\alpha$.

Горизонтальная составляющая скорости $v_г$ является прилежащим катетом к углу $\alpha$ в этом треугольнике. Её можно найти по формуле:

$v_г = v \cdot \cos(\alpha)$

Вертикальная составляющая скорости $v_в$ является противолежащим катетом к углу $\alpha$. Её можно найти по формуле:

$v_в = v \cdot \sin(\alpha)$

Подставим известные значения в формулы.

Для горизонтальной составляющей:

$v_г = 10 \text{ м/с} \cdot \cos(30^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ м/с} \approx 8,66 \text{ м/с}$

Для вертикальной составляющей:

$v_в = 10 \text{ м/с} \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \text{ м/с}$

Ответ: горизонтальная составляющая скорости $v_г = 5\sqrt{3} \text{ м/с} \approx 8,7$ м/с; вертикальная составляющая скорости $v_в = 5$ м/с.

7.25 [128] В течение $30 \, \text{с}$ поезд двигался равномерно со скоростью $72 \, \text{км/ч}$. Какой путь прошёл поезд за это время?

Дано:

$t = 30$ с
$v = 72$ км/ч

$v = 72 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{72000}{3600} \frac{\text{м}}{\text{с}} = 20 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

$S$ - ?

Решение:

Поскольку поезд двигался равномерно, его скорость была постоянной. Путь, пройденный телом при равномерном прямолинейном движении, определяется по формуле:

$S = v \cdot t$

где $S$ – это путь, $v$ – скорость движения, а $t$ – время движения.

Для проведения расчетов необходимо, чтобы все величины были выражены в согласованных единицах. Переведем скорость из км/ч в м/с, так как время дано в секундах. Мы это уже сделали в блоке "Дано", и получили $v = 20$ м/с.

Теперь подставим числовые значения в формулу:

$S = 20 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 30 \text{ с} = 600 \text{ м}$

Таким образом, за 30 секунд поезд прошел путь, равный 600 метрам.

Ответ: 600 м.

7.26 [129] Юный пассажир в самолёте дальней авиации отметил, что полёт над лесом длился ровно 1 мин. Зная скорость самолёта (850 км/ч), он тут же определил длину пути, пройденного самолётом над лесом. Какой результат получил юный пассажир?

Дано:

$t = 1$ мин
$v = 850$ км/ч

Найти:

$s$

Решение:

Для того чтобы найти длину пути, пройденного самолётом, необходимо использовать формулу для равномерного движения: $s = v \cdot t$, где $s$ – это путь, $v$ – скорость, а $t$ – время.

В задаче скорость дана в километрах в час (км/ч), а время – в минутах. Для проведения расчётов необходимо привести единицы измерения к единой системе. Удобнее всего перевести время из минут в часы.

Поскольку в одном часе 60 минут, то 1 минута составляет: $t = 1 \text{ мин} = \frac{1}{60} \text{ ч}$

Теперь подставим значения скорости и времени в формулу для нахождения пути: $s = 850 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \cdot \frac{1}{60} \text{ ч}$

Проведём вычисления: $s = \frac{850}{60} \text{ км} = \frac{85}{6} \text{ км} \approx 14,166... \text{ км}$

Округлив результат до сотых, получим: $s \approx 14,17 \text{ км}$

Ответ: юный пассажир получил результат, что длина пути, пройденного над лесом, составляет примерно 14,17 км.

7.27 [132] Трактор за первые 5 мин проехал 600 м. Какой путь он проедет за 0,5 ч, двигаясь с той же скоростью?

Дано:

$s_1 = 600$ м

$t_1 = 5$ мин

$t_2 = 0.5$ ч

Переведем данные в систему СИ:

$t_1 = 5 \cdot 60 = 300$ с

$t_2 = 0.5 \cdot 3600 = 1800$ с

Найти:

$s_2$ - ?

Решение:

Движение трактора является равномерным, так как по условию задачи его скорость постоянна. Скорость равномерного движения определяется по формуле:

$v = \frac{s}{t}$

Сначала найдем скорость трактора, используя данные для первого участка пути:

$v = \frac{s_1}{t_1} = \frac{600 \text{ м}}{300 \text{ с}} = 2$ м/с

Теперь, зная скорость трактора, мы можем найти путь $s_2$, который он проедет за время $t_2$, двигаясь с той же скоростью. Формула для нахождения пути:

$s_2 = v \cdot t_2$

Подставим числовые значения:

$s_2 = 2 \text{ м/с} \cdot 1800 \text{ с} = 3600$ м

Результат можно также выразить в километрах: $3600 \text{ м} = 3.6$ км.

Ответ: за 0,5 ч трактор проедет путь 3600 м (или 3,6 км).

7.28 [131] В подрывной технике используют сгорающий с небольшой скоростью бикфордов шнур. Какой длины надо взять шнур, чтобы успеть отбежать на расстояние 300 м, пока шнур горит? Скорость бега равна $5 \text{ м/с}$, а пламя по шнуру распространяется со скоростью $0,8 \text{ см/с}$.

Дано

Расстояние, на которое нужно отбежать, $s = 300$ м

Скорость бега, $v_1 = 5$ м/с

Скорость горения шнура, $v_2 = 0,8$ см/с

Найти:

Длину шнура, $L - ?$

Решение

Для того чтобы успеть отбежать на безопасное расстояние, время горения бикфордова шнура ($t$) должно быть равно времени, за которое человек пробежит это расстояние. Сначала найдем время, необходимое человеку, чтобы отбежать на расстояние $s$.

Время движения человека можно найти по формуле:

$t = \frac{s}{v_1}$

Подставим известные значения:

$t = \frac{300 \text{ м}}{5 \text{ м/с}} = 60 \text{ с}$

Теперь, зная время горения шнура, мы можем найти его необходимую длину $L$. Длина шнура равна произведению скорости его горения на время горения:

$L = v_2 \cdot t$

Подставим значения, предварительно переведя скорость горения шнура в систему СИ (м/с):

$L = 0,008 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 60 \text{ с} = 0,48 \text{ м}$

Таким образом, чтобы успеть отбежать на 300 метров, нужно взять бикфордов шнур длиной 0,48 метра (или 48 сантиметров).

Ответ: необходимо взять шнур длиной $0,48$ м.

7.29 [134] Один велосипедист 12 с двигался со скоростью 6 м/с, а второй проехал этот же участок пути за 9 с. Чему равна средняя скорость второго велосипедиста на этом участке пути?

Дано:

Время движения первого велосипедиста $t_1 = 12$ с

Скорость первого велосипедиста $v_1 = 6$ м/с

Время движения второго велосипедиста $t_2 = 9$ с

Найти:

Среднюю скорость второго велосипедиста $v_2$.

Решение:

В задаче говорится, что оба велосипедиста проехали один и тот же участок пути. Обозначим этот путь как $S$. Сначала найдем длину этого участка пути, используя данные для первого велосипедиста. Путь, пройденный телом при равномерном движении, вычисляется по формуле:

$S = v \cdot t$

Для первого велосипедиста:

$S = v_1 \cdot t_1$

Подставим числовые значения:

$S = 6 \, \text{м/с} \cdot 12 \, \text{с} = 72 \, \text{м}$

Таким образом, длина участка пути составляет 72 метра.

Второй велосипедист проехал этот же путь $S = 72$ м за время $t_2 = 9$ с. Чтобы найти его среднюю скорость $v_2$, воспользуемся той же формулой, выразив из нее скорость:

$v_2 = \frac{S}{t_2}$

Подставим значения для второго велосипедиста:

$v_2 = \frac{72 \, \text{м}}{9 \, \text{с}} = 8 \, \text{м/с}$

Ответ: средняя скорость второго велосипедиста на этом участке пути равна 8 м/с.

7.30 [147] На рисунке П-10 представлены графики зависимости пути от времени для трёх тел. Какое из этих тел движется:

а) равномерно;

б) замедленно;

в) ускоренно?

Можно ли утверждать, что тела движутся прямолинейно? Чему равна скорость тела, движущегося равномерно?

$s, \text{ м}$

$t, \text{ с}$

Рис. П-10

Проанализируем представленные на рисунке графики зависимости пути s от времени t для трех тел. Характер движения тела можно определить по форме его графика.

а) равномерно
Равномерное движение — это движение с постоянной скоростью. На графике зависимости пути от времени такому движению соответствует прямая линия, так как пройденный путь прямо пропорционален времени ($s = v \cdot t$). На рисунке такой вид имеет график под номером 1.

Ответ: равномерно движется тело 1.

б) замедленно
При замедленном движении скорость тела со временем уменьшается. На графике $s(t)$ мгновенная скорость в каждый момент времени равна тангенсу угла наклона касательной к графику в данной точке. Если скорость уменьшается, то и угол наклона касательной к оси времени должен уменьшаться. Этому условию соответствует график 3, который с течением времени становится все более пологим.

Ответ: замедленно движется тело 3.

в) ускоренно
При ускоренном движении скорость тела со временем возрастает. Следовательно, наклон касательной к графику $s(t)$ должен увеличиваться. Такое поведение демонстрирует график 2, который "изгибается вверх", то есть его крутизна со временем растет.

Ответ: ускоренно движется тело 2.

Можно ли утверждать, что тела движутся прямолинейно?
Нет, на основании представленных графиков такое утверждение сделать нельзя. График показывает зависимость пройденного пути (длины траектории), а не перемещения, от времени. Тело может двигаться по криволинейной траектории, и если его путевая скорость будет изменяться, мы получим графики, подобные 2 или 3. Даже для графика 1, который соответствует движению с постоянной по модулю скоростью, траектория не обязана быть прямой (классический пример — движение по окружности с постоянной скоростью). Таким образом, без дополнительной информации о траектории, сделать однозначный вывод о прямолинейности движения невозможно.

Ответ: нет, нельзя.

Чему равна скорость тела, движущегося равномерно?

Дано:

График зависимости пути от времени для тела 1.
Из графика: в момент времени $t = 4$ с пройденный путь $s = 4$ м.

Единицы измерения (метры и секунды) соответствуют системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

$v_1$ — скорость тела 1.

Решение:

Тело 1 движется равномерно, следовательно, его скорость постоянна. Скорость при равномерном движении вычисляется по формуле: $v = \frac{s}{t}$ где $s$ — путь, пройденный телом за промежуток времени $t$. Для нахождения скорости тела 1 выберем на его графике любую удобную точку. Например, точку с координатами ($t = 4$ с, $s = 4$ м). Подставим эти значения в формулу: $v_1 = \frac{4 \text{ м}}{4 \text{ с}} = 1 \text{ м/с}$

Ответ: скорость тела, движущегося равномерно, равна 1 м/с.

7.31 [138] Определите длину поезда, движущегося равномерно по мосту длиной $630 \text{ м}$ со скоростью $18 \text{ км/ч}$, если поезд проходит мост в течение $2,5 \text{ мин}$.

Дано:

Длина моста $L_{м} = 630 \text{ м}$

Скорость поезда $v = 18 \text{ км/ч}$

Время прохождения моста $t = 2,5 \text{ мин}$

Перевод в систему СИ:

$v = 18 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 18 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 5 \text{ м/с}$

$t = 2,5 \text{ мин} = 2,5 \cdot 60 \text{ с} = 150 \text{ с}$

Найти:

Длину поезда $L_{п}$.

Решение:

Поезд считается полностью прошедшим мост в тот момент, когда его последний вагон покидает мост. Время движения $t$ отсчитывается с момента, когда головной вагон въезжает на мост, и до момента, когда хвостовой вагон съезжает с него. За это время головная часть поезда проходит путь $S$, который равен сумме длины моста $L_{м}$ и собственной длины поезда $L_{п}$.

Таким образом, общее расстояние, пройденное поездом, равно:

$S = L_{м} + L_{п}$

Поскольку поезд движется равномерно со скоростью $v$, это же расстояние можно вычислить по формуле пути:

$S = v \cdot t$

Приравняв два выражения для расстояния $S$, получим уравнение:

$L_{м} + L_{п} = v \cdot t$

Из этого уравнения выразим искомую длину поезда $L_{п}$:

$L_{п} = v \cdot t - L_{м}$

Подставим числовые значения величин в системе СИ и произведем вычисления:

$L_{п} = 5 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 150 \text{ с} - 630 \text{ м} = 750 \text{ м} - 630 \text{ м} = 120 \text{ м}$

Ответ: 120 м.

7.32* [139*] Пассажир поезда, идущего со скоростью 40 км/ч, видит в течение 3 с встречный поезд длиной 75 м. С какой скоростью движется встречный поезд?

Дано:

Скорость поезда, в котором едет пассажир, $v_1 = 40$ км/ч

Время наблюдения встречного поезда $t = 3$ с

Длина встречного поезда $L = 75$ м

Найти:

Скорость встречного поезда $v_2$.

Решение:

Данная задача решается с использованием понятия относительной скорости. Рассмотрим движение в системе отсчета, связанной с пассажиром. В этой системе отсчета пассажир (и его поезд) неподвижен.

Когда два объекта движутся навстречу друг другу, их относительная скорость сближения $v_{отн}$ равна сумме их скоростей относительно земли:

$v_{отн} = v_1 + v_2$

где $v_1$ – скорость поезда пассажира, а $v_2$ – искомая скорость встречного поезда.

С точки зрения пассажира, за время $t$ мимо него проходит весь встречный поезд. Это означает, что относительное перемещение равно длине встречного поезда $L$. Связь между расстоянием, скоростью и временем выражается формулой:

$L = v_{отн} \cdot t$

Подставим в эту формулу выражение для относительной скорости:

$L = (v_1 + v_2) \cdot t$

Из этого уравнения мы можем выразить искомую скорость $v_2$:

$v_1 + v_2 = \frac{L}{t}$

$v_2 = \frac{L}{t} - v_1$

Теперь подставим числовые значения, переведенные в систему СИ:

$v_2 = \frac{75 \text{ м}}{3 \text{ с}} - \frac{100}{9} \text{ м/с}$

$v_2 = 25 \text{ м/с} - \frac{100}{9} \text{ м/с}$

Приведем к общему знаменателю:

$v_2 = \frac{25 \cdot 9}{9} \text{ м/с} - \frac{100}{9} \text{ м/с} = \frac{225 - 100}{9} \text{ м/с} = \frac{125}{9} \text{ м/с}$

Мы получили скорость в метрах в секунду. Для удобства переведем ее обратно в километры в час, умножив на коэффициент 3,6:

$v_2 = \frac{125}{9} \cdot 3.6 \text{ км/ч} = \frac{125}{9} \cdot \frac{36}{10} \text{ км/ч} = 125 \cdot \frac{4}{10} \text{ км/ч} = 12.5 \cdot 4 \text{ км/ч} = 50 \text{ км/ч}$

Ответ: скорость встречного поезда равна 50 км/ч.