Страница 17 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

6.10 [105] Одинаковые ли пути проходят правые и левые колёса автомобиля при повороте (рис. II-2)?

Рис. II-2

6.10 [105]

Решение

При совершении поворота автомобиль движется по криволинейной траектории. Траектории движения правых и левых колёс можно представить в виде дуг концентрических окружностей (окружностей с общим центром). Центр этих окружностей является мгновенным центром поворота автомобиля.

Колёса, которые находятся дальше от центра поворота (внешние колёса), движутся по дуге с большим радиусом. Колёса, которые находятся ближе к центру поворота (внутренние колёса), движутся по дуге с меньшим радиусом. На представленном рисунке автомобиль поворачивает налево, поэтому правые колёса являются внешними, а левые — внутренними.

Длина дуги окружности $s$ определяется по формуле: $s = R \cdot \alpha$ где $R$ — это радиус окружности, а $\alpha$ — центральный угол, соответствующий этой дуге (выраженный в радианах).

Пусть $R_п$ — радиус траектории правых (внешних) колёс, а $R_л$ — радиус траектории левых (внутренних) колёс. Очевидно, что $R_п > R_л$. Угол поворота $\alpha$ для всех точек автомобиля одинаков.

Тогда путь, пройденный правыми колёсами, будет равен $s_п = R_п \cdot \alpha$, а путь, пройденный левыми колёсами, — $s_л = R_л \cdot \alpha$.

Так как $R_п > R_л$ и $\alpha > 0$ (при повороте), то из сравнения формул следует, что $s_п > s_л$.

Следовательно, колёса, находящиеся на внешней стороне поворота, проходят больший путь. Именно для того, чтобы колёса на одной оси могли проходить разный путь за одно и то же время (то есть вращаться с разной скоростью), в конструкции ведущего моста автомобиля предусмотрен специальный механизм — дифференциал.

Ответ: Нет, не одинаковые. Колёса, находящиеся на внешней стороне поворота, проходят больший путь, чем колёса, находящиеся на внутренней стороне.

6.11 [107] Кабина лифта опустилась с одиннадцатого этажа здания на пятый, а затем поднялась на восьмой этаж. Считая, что расстояния между этажами равны по 4 м, определите путь и перемещение кабины. Какой знак имеет проекция вектора перемещения на ось, направленную вертикально вверх?

Рис. II-2

Дано:

Начальный этаж: $n_1 = 11$

Промежуточный этаж: $n_2 = 5$

Конечный этаж: $n_3 = 8$

Расстояние между этажами: $h = 4$ м

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Путь: $s - ?$

Перемещение (модуль): $|\vec{\Delta r}| - ?$

Знак проекции вектора перемещения на ось, направленную вертикально вверх: $sign(\Delta r_y) - ?$

Решение:

Для решения задачи введем вертикальную ось координат $OY$, направленную вверх. За начало отсчета ($y=0$) можно принять уровень первого этажа. Тогда высота $n$-го этажа будет определяться как $y_n = (n-1)h$.

Определение пути кабины

Путь – это скалярная величина, равная длине траектории, пройденной телом. Путь кабины лифта складывается из двух участков: движение вниз с 11-го на 5-й этаж и движение вверх с 5-го на 8-й этаж.

1. Длина первого участка (движение вниз): кабина прошла $n_1 - n_2 = 11 - 5 = 6$ этажей. Путь на этом участке равен:

$s_1 = (n_1 - n_2) \cdot h = 6 \cdot 4 \text{ м} = 24 \text{ м}$

2. Длина второго участка (движение вверх): кабина прошла $n_3 - n_2 = 8 - 5 = 3$ этажа. Путь на этом участке равен:

$s_2 = (n_3 - n_2) \cdot h = 3 \cdot 4 \text{ м} = 12 \text{ м}$

3. Общий путь $s$ равен сумме путей на каждом участке:

$s = s_1 + s_2 = 24 \text{ м} + 12 \text{ м} = 36 \text{ м}$

Ответ: путь, пройденный кабиной лифта, равен 36 м.

Определение перемещения кабины

Перемещение – это вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела. Модуль перемещения – это расстояние между начальной и конечной точками по прямой.

1. Начальное положение кабины – 11-й этаж. Координата $y_1$:

$y_1 = (n_1 - 1) \cdot h = (11 - 1) \cdot 4 \text{ м} = 10 \cdot 4 \text{ м} = 40 \text{ м}$

2. Конечное положение кабины – 8-й этаж. Координата $y_3$:

$y_3 = (n_3 - 1) \cdot h = (8 - 1) \cdot 4 \text{ м} = 7 \cdot 4 \text{ м} = 28 \text{ м}$

3. Проекция вектора перемещения на ось $OY$ равна разности конечной и начальной координат:

$\Delta r_y = y_3 - y_1 = 28 \text{ м} - 40 \text{ м} = -12 \text{ м}$

4. Модуль перемещения $|\vec{\Delta r}|$ равен модулю его проекции, так как движение происходит вдоль одной прямой:

$|\vec{\Delta r}| = |\Delta r_y| = |-12 \text{ м}| = 12 \text{ м}$

Ответ: модуль перемещения кабины лифта равен 12 м.

Какой знак имеет проекция вектора перемещения на ось, направленную вертикально вверх?

Вектор перемещения $\vec{\Delta r}$ направлен от начальной точки (11-й этаж) к конечной (8-й этаж). Так как конечный этаж находится ниже начального, вектор перемещения направлен вертикально вниз. Ось координат $OY$ по условию направлена вертикально вверх. Поскольку направление вектора перемещения противоположно направлению оси $OY$, его проекция на эту ось будет отрицательной. Это подтверждается расчетом выше: $\Delta r_y = -12$ м.

Ответ: проекция вектора перемещения на ось, направленную вертикально вверх, имеет отрицательный знак.

6.12 [108] Автомобиль проехал по улице 400 м, затем свернул направо и проехал по переулку ещё 300 м. Считая движение прямолинейным на каждом из отрезков пути, вычислите путь автомобиля и его перемещение.

Дано:

Расстояние, пройденное по улице: $s_1 = 400$ м
Расстояние, пройденное по переулку: $s_2 = 300$ м

Найти:

Путь $L$ — ?
Перемещение $S$ — ?

Решение:

Путь автомобиля

Путь — это скалярная величина, равная общей длине траектории, пройденной телом. Чтобы найти общий путь автомобиля, нужно сложить длины двух участков его движения.

$L = s_1 + s_2$

$L = 400 \text{ м} + 300 \text{ м} = 700 \text{ м}$

Ответ: путь автомобиля равен 700 м.

Перемещение автомобиля

Перемещение — это вектор, направленный из начальной точки движения в конечную. Поскольку автомобиль свернул направо, его траектория состоит из двух взаимно перпендикулярных отрезков. Эти отрезки являются катетами прямоугольного треугольника, а модуль перемещения — его гипотенузой. Для нахождения модуля перемещения воспользуемся теоремой Пифагора.

$S = \sqrt{s_1^2 + s_2^2}$

$S = \sqrt{(400 \text{ м})^2 + (300 \text{ м})^2} = \sqrt{160000 \text{ м}^2 + 90000 \text{ м}^2} = \sqrt{250000 \text{ м}^2} = 500 \text{ м}$

Ответ: перемещение автомобиля равно 500 м.

6.13 [109] В военно-патриотической игре группа школьников получила задание пройти $400 \text{ м}$ на север, $500 \text{ м}$ на восток, $600 \text{ м}$ на юг, $200 \text{ м}$ на запад, $200 \text{ м}$ на север и $300 \text{ м}$ на запад. Изобразите в тетради траекторию передвижения группы в выбранном вами масштабе и определите весь пройденный ею путь и перемещение.

Дано:

Движение группы школьников состоит из следующих этапов:
$s_1$ = 400 м на север
$s_2$ = 500 м на восток
$s_3$ = 600 м на юг
$s_4$ = 200 м на запад
$s_5$ = 200 м на север
$s_6$ = 300 м на запад
Все величины даны в единицах системы СИ (метры).

Найти:

1. Пройденный путь $L$.
2. Перемещение $\vec{S}$.
3. Изобразить траекторию.

Решение:

Изображение траектории движения группы

Для изображения траектории выберем масштаб, например, 100 м в реальности будут соответствовать 50 пикселям на схеме (или 1 см в тетради). Начало движения — точка "Старт". Направления: Север — вверх, Восток — вправо.

На схеме видно, что траектория движения является замкнутой линией. Группа вернулась в исходную точку.

Определение пройденного пути

Пройденный путь $L$ — это скалярная величина, равная сумме длин всех участков траектории. $L = s_1 + s_2 + s_3 + s_4 + s_5 + s_6$ $L = 400 \text{ м} + 500 \text{ м} + 600 \text{ м} + 200 \text{ м} + 200 \text{ м} + 300 \text{ м} = 2200 \text{ м}$

Ответ: пройденный путь равен 2200 м.

Определение перемещения

Перемещение $\vec{S}$ — это вектор, соединяющий начальную и конечную точки траектории. Для его нахождения введем систему координат: ось $Oy$ направим на север, а ось $Ox$ — на восток. Найдем проекции вектора перемещения на эти оси.

Проекция на ось $Ox$ (Восток-Запад): $S_x = (\text{движение на восток}) - (\text{движение на запад})$ $S_x = s_2 - s_4 - s_6 = 500 \text{ м} - 200 \text{ м} - 300 \text{ м} = 0 \text{ м}$

Проекция на ось $Oy$ (Север-Юг): $S_y = (\text{движение на север}) - (\text{движение на юг})$ $S_y = (s_1 + s_5) - s_3 = (400 \text{ м} + 200 \text{ м}) - 600 \text{ м} = 600 \text{ м} - 600 \text{ м} = 0 \text{ м}$

Так как обе проекции равны нулю, это означает, что конечная точка совпадает с начальной. Модуль вектора перемещения равен: $|\vec{S}| = \sqrt{S_x^2 + S_y^2} = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0 \text{ м}$

Ответ: перемещение группы равно 0 м.

6.14 [106] Определите знаки проекций векторов перемещения $\vec{s_1}$, $\vec{s_2}$, $\vec{s_3}$, $\vec{s_4}$, $\vec{s_5}$, $\vec{s_6}$ на оси X и Y системы координат XOY (рис. II-3).

Рис. II-3

Решение

Для определения знака проекции вектора на координатную ось необходимо посмотреть, в каком направлении «смотрит» проекция вектора относительно положительного направления оси. Если направление проекции совпадает с направлением оси, знак проекции положителен. Если направление противоположно — знак отрицателен. Если вектор перпендикулярен оси, его проекция на эту ось равна нулю.

$\vec{s}_1$

Вектор $\vec{s}_1$ направлен горизонтально вправо, его направление совпадает с положительным направлением оси OX. Следовательно, его проекция на ось OX положительна ($s_{1x} > 0$). Вектор $\vec{s}_1$ перпендикулярен оси OY, поэтому его проекция на эту ось равна нулю ($s_{1y} = 0$).

Ответ: $s_{1x} > 0$, $s_{1y} = 0$.

$\vec{s}_2$

Вектор $\vec{s}_2$ направлен вертикально вверх, его направление совпадает с положительным направлением оси OY. Следовательно, его проекция на ось OY положительна ($s_{2y} > 0$). Вектор $\vec{s}_2$ перпендикулярен оси OX, поэтому его проекция на эту ось равна нулю ($s_{2x} = 0$).

Ответ: $s_{2x} = 0$, $s_{2y} > 0$.

$\vec{s}_3$

Вектор $\vec{s}_3$ направлен вправо и вниз. Его проекция на ось OX направлена вправо (в положительном направлении), поэтому $s_{3x} > 0$. Проекция на ось OY направлена вниз (в отрицательном направлении), поэтому $s_{3y} < 0$.

Ответ: $s_{3x} > 0$, $s_{3y} < 0$.

$\vec{s}_4$

Вектор $\vec{s}_4$ направлен вправо и вверх. Его проекция на ось OX направлена вправо (в положительном направлении), поэтому $s_{4x} > 0$. Проекция на ось OY направлена вверх (в положительном направлении), поэтому $s_{4y} > 0$.

Ответ: $s_{4x} > 0$, $s_{4y} > 0$.

$\vec{s}_5$

Вектор $\vec{s}_5$ направлен влево и вверх. Его проекция на ось OX направлена влево (в отрицательном направлении), поэтому $s_{5x} < 0$. Проекция на ось OY направлена вверх (в положительном направлении), поэтому $s_{5y} > 0$.

Ответ: $s_{5x} < 0$, $s_{5y} > 0$.

$\vec{s}_6$

Вектор $\vec{s}_6$ направлен горизонтально влево, его направление противоположно положительному направлению оси OX. Следовательно, его проекция на ось OX отрицательна ($s_{6x} < 0$). Вектор $\vec{s}_6$ перпендикулярен оси OY, поэтому его проекция на эту ось равна нулю ($s_{6y} = 0$).

Ответ: $s_{6x} < 0$, $s_{6y} = 0$.

6.15 [110] Минутная стрелка часов за один час совершает полный оборот. Какой путь проходит при этом конец стрелки длиной 5 см? Чему равно линейное перемещение конца стрелки?

Дано:

Перевод в СИ:

Найти:

Решение:

Какой путь проходит при этом конец стрелки длиной 5 см?

Конец минутной стрелки движется по траектории, представляющей собой окружность. Радиус этой окружности $R$ равен длине стрелки $l$. За один час стрелка совершает один полный оборот. Путь $S$, пройденный концом стрелки, равен длине этой окружности. Длина окружности вычисляется по формуле: $S = 2 \pi R$ Подставляем значение радиуса $R = l = 5$ см: $S = 2 \cdot \pi \cdot 5 \text{ см} = 10 \pi \text{ см}$ Для получения численного значения, используем приближенное значение $\pi \approx 3.14$: $S \approx 10 \cdot 3.14 \text{ см} = 31.4 \text{ см}$

Ответ: путь, пройденный концом стрелки, равен $10\pi$ см, что составляет примерно 31,4 см.

Чему равно линейное перемещение конца стрелки?

Линейное перемещение — это вектор $\vec{\Delta r}$, соединяющий начальное и конечное положение материальной точки. Поскольку за один час минутная стрелка совершает полный оборот, ее конец возвращается в исходную точку. Это означает, что начальное и конечное положения совпадают. В таком случае вектор перемещения является нулевым вектором, а его модуль (длина) равен нулю. $|\vec{\Delta r}| = 0$

Ответ: линейное перемещение конца стрелки равно 0.

6.16 [100] После стыковки космический корабль и орбитальная станция летели некоторое время совместно. Что можно сказать о скорости и виде их движения относительно друг друга и относительно Земли при таком полёте?

Скорость и вид движения относительно друг друга

После стыковки космический корабль и орбитальная станция образуют единую систему, которая движется как одно целое. Это означает, что их взаимное расположение не изменяется с течением времени. Следовательно, их скорость относительно друг друга равна нулю. Другими словами, в системе отсчета, связанной с орбитальной станцией, космический корабль будет неподвижен, и наоборот.

Ответ: Относительно друг друга космический корабль и станция находятся в состоянии покоя, их относительная скорость равна нулю ($v_{отн} = 0$).

Скорость и вид движения относительно Земли

Относительно Земли система, состоящая из корабля и станции, движется по околоземной орбите. Это движение происходит под действием силы гравитационного притяжения Земли. Сила тяжести всегда направлена к центру Земли, в то время как вектор скорости направлен по касательной к траектории. Поскольку направление вектора скорости постоянно изменяется, движение является ускоренным (с центростремительным ускорением). Траектория движения является криволинейной (в общем случае эллиптической, в частном — круговой). Таким образом, движение системы "корабль-станция" относительно Земли является криволинейным и ускоренным.

Ответ: Относительно Земли космический корабль и станция совершают криволинейное ускоренное движение.

6.17 [101] На рисунке II-4 изображена часть траектории движения Земли вокруг Солнца. Стрелками показаны направления движения Земли и её вращения. Когда жители Москвы движутся в пространстве быстрее относительно Солнца: в полдень или в полночь? Почему?

Рис. II-4

Скорость любого объекта на поверхности Земли (например, жителя Москвы) относительно Солнца является векторной суммой двух скоростей: скорости движения центра Земли по орбите вокруг Солнца ($ \vec{v}_{о} $) и линейной скорости этого объекта из-за суточного вращения Земли вокруг своей оси ($ \vec{v}_{в} $).

$ \vec{v}_{общая} = \vec{v}_{о} + \vec{v}_{в} $

Из рисунка видно, что направление вращения Земли вокруг своей оси совпадает с направлением её движения по орбите.

В полночь
В полночь наблюдатель (житель Москвы) находится на той стороне Земли, которая обращена от Солнца. В этой точке вектор линейной скорости суточного вращения $ \vec{v}_{в} $ направлен в ту же сторону, что и вектор орбитальной скорости Земли $ \vec{v}_{о} $. Так как векторы скоростей сонаправлены, их модули складываются:
$ v_{полночь} = v_{о} + v_{в} $

В полдень
В полдень наблюдатель находится на стороне Земли, обращенной к Солнцу. В этой точке вектор линейной скорости суточного вращения $ \vec{v}_{в} $ направлен в сторону, противоположную вектору орбитальной скорости $ \vec{v}_{о} $. Так как векторы скоростей направлены в противоположные стороны, модуль результирующей скорости равен разности их модулей:
$ v_{полдень} = v_{о} - v_{в} $

Сравнивая скорости в полдень и в полночь, мы видим, что $ v_{о} + v_{в} > v_{о} - v_{в} $. Следовательно, в полночь жители Москвы движутся быстрее относительно Солнца.

Орбитальная скорость Земли $ v_{о} $ составляет примерно $ 30 \text{ км/с} $. Линейная скорость вращения на широте Москвы $ v_{в} $ составляет примерно $ 0,26 \text{ км/с} $. Таким образом, разница в скорости существенна.

Ответ: Жители Москвы движутся в пространстве быстрее относительно Солнца в полночь, так как в это время суток их скорость, обусловленная вращением Земли, складывается со скоростью движения Земли по орбите. В полдень, наоборот, эти скорости вычитаются.