Страница 23 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

7.43* [150*] На рисунке П-12 представлены графики зависимости координаты $x$ от времени $t$ для пяти тел. Определите скорости этих тел. Проанализируйте точки пересечения графиков. Постройте графики зависимости скорости от времени.

Рис. П-12

Дано:
Графики зависимости координаты $x$ (в метрах) от времени $t$ (в секундах) для пяти тел. Все единицы измерения соответствуют системе СИ.

Найти:
1. Скорости тел $v_1, v_2, v_3, v_4, v_5$.
2. Проанализировать точки пересечения графиков.
3. Построить графики зависимости скорости от времени $v(t)$.

Решение:

Определите скорости этих тел.

Поскольку графики зависимости координаты от времени представляют собой прямые линии, движение всех тел является равномерным прямолинейным. Скорость каждого тела постоянна и может быть определена как тангенс угла наклона графика $x(t)$ к оси времени. Формула для расчета скорости: $v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$, где $(t_1, x_1)$ и $(t_2, x_2)$ — координаты двух точек на графике.

• Тело 1: График — горизонтальная прямая, проходящая через $x=1$ м. Это означает, что координата тела не изменяется со временем.
  $v_1 = \frac{1 \text{ м} - 1 \text{ м}}{t_2 - t_1} = 0 \text{ м/с}$.

• Тело 2: График проходит через точки $(t_1, x_1) = (0 \text{ с}, 0 \text{ м})$ и $(t_2, x_2) = (4 \text{ с}, 2 \text{ м})$.
  $v_2 = \frac{2 \text{ м} - 0 \text{ м}}{4 \text{ с} - 0 \text{ с}} = 0.5 \text{ м/с}$.

• Тело 3: График проходит через точки $(t_1, x_1) = (0 \text{ с}, 4 \text{ м})$ и $(t_2, x_2) = (6 \text{ с}, 6 \text{ м})$.
  $v_3 = \frac{6 \text{ м} - 4 \text{ м}}{6 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{2}{6} \text{ м/с} = \frac{1}{3} \text{ м/с} \approx 0.33 \text{ м/с}$.

• Тело 4: График проходит через точки $(t_1, x_1) = (0 \text{ с}, 6 \text{ м})$ и $(t_2, x_2) = (4 \text{ с}, 7 \text{ м})$.
  $v_4 = \frac{7 \text{ м} - 6 \text{ м}}{4 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{1}{4} \text{ м/с} = 0.25 \text{ м/с}$.

• Тело 5: График проходит через точки $(t_1, x_1) = (0 \text{ с}, 10 \text{ м})$ и $(t_2, x_2) = (5 \text{ с}, 8 \text{ м})$.
  $v_5 = \frac{8 \text{ м} - 10 \text{ м}}{5 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{-2}{5} \text{ м/с} = -0.4 \text{ м/с}$.
  Отрицательный знак скорости означает, что тело движется в направлении, противоположном положительному направлению оси $x$.

Ответ: Скорости тел равны: $v_1 = 0$ м/с, $v_2 = 0.5$ м/с, $v_3 = 1/3$ м/с, $v_4 = 0.25$ м/с, $v_5 = -0.4$ м/с.

Проанализируйте точки пересечения графиков.

Точка пересечения двух графиков $x(t)$ означает, что в данный момент времени $t$ оба тела находятся в одной и той же точке пространства, т.е. их координаты $x$ равны. Это событие называется встречей тел. Запишем уравнения движения для каждого тела в виде $x(t) = x_0 + vt$:

• $x_1(t) = 1$
• $x_2(t) = 0.5t$
• $x_3(t) = 4 + \frac{1}{3}t$
• $x_4(t) = 6 + 0.25t$
• $x_5(t) = 10 - 0.4t$

На видимом участке графика ($t$ от 0 до ~7 с) есть две точки пересечения:

1. Пересечение графиков 1 и 2. Приравняем их координаты: $x_1(t) = x_2(t) \implies 1 = 0.5t$. Отсюда время встречи $t = 2$ с. Координата встречи $x = 1$ м. Это означает, что тело 2 догоняет и проходит мимо неподвижного тела 1 в момент времени $t=2$ с в точке с координатой $x=1$ м.

2. Пересечение графиков 4 и 5. Приравняем их координаты: $x_4(t) = x_5(t) \implies 6 + 0.25t = 10 - 0.4t$.
   $0.65t = 4 \implies t = \frac{4}{0.65} = \frac{400}{65} = \frac{80}{13} \approx 6.15$ с.
   Координата встречи: $x = 6 + 0.25 \cdot \frac{80}{13} = 6 + \frac{20}{13} = \frac{98}{13} \approx 7.54$ м.
   Тела 4 и 5 движутся навстречу друг другу ($v_4 > 0$, $v_5 < 0$) и встречаются в момент времени $t \approx 6.15$ с в точке $x \approx 7.54$ м.

Остальные пары графиков на данном временном интервале не пересекаются, но некоторые из них пересекутся в будущем (например, 2 и 3, 3 и 5) или пересекались в прошлом (например, 1 и 3).

Ответ: Точки пересечения на графиках означают встречи тел. На данном участке времени тело 2 встречается с телом 1 в момент $t=2$ с ($x=1$ м), а тело 4 встречается с телом 5 в момент $t \approx 6.15$ с ($x \approx 7.54$ м).

Постройте графики зависимости скорости от времени.

Так как движение всех тел равномерное, их скорости постоянны во времени. Графики зависимости скорости от времени $v(t)$ будут представлять собой горизонтальные прямые.

• $v_1(t) = 0$ м/с
• $v_2(t) = 0.5$ м/с
• $v_3(t) = 1/3$ м/с
• $v_4(t) = 0.25$ м/с
• $v_5(t) = -0.4$ м/с

Графики $v(t)$ для пяти тел представлены на рисунке ниже.

Ответ: Графики зависимости скорости от времени представляют собой пять горизонтальных линий, соответствующих постоянным скоростям каждого из тел (см. рисунок выше).

7.44* [151*] По графикам, изображённым на рисунке II-13, напишите уравнения движения $x = x (t)$. Из уравнений и графиков определите координаты тел через 5 с, скорости движения тел, время и место встречи второго и третьего тел.

Рис. II-13

Дано:

Найти:

Решение:

Движение всех трех тел является равномерным, так как графики их движения представляют собой прямые линии. Общее уравнение равномерного движения имеет вид: $x(t) = x_0 + v_x t$, где $x_0$ – начальная координата (при $t=0$), а $v_x$ – проекция скорости на ось Ох.

уравнения движения $x = x(t)$

Тело 1:
График – горизонтальная прямая, проходящая через отметку $x=5$ м. Это означает, что координата тела не изменяется со временем. Начальная координата $x_{01} = 5$ м. Скорость тела $v_1 = 0$ м/с. Уравнение движения: $x_1(t) = 5$.

Тело 2:
График – наклонная прямая. Начальная координата (при $t=0$) $x_{02} = 5$ м. Для определения скорости выберем две точки на графике, например, $(t_1=0; x_1=5)$ и $(t_2=5; x_2=0)$. Скорость $v_2 = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \frac{0 \text{ м} - 5 \text{ м}}{5 \text{ с} - 0 \text{ с}} = -1$ м/с. Уравнение движения: $x_2(t) = 5 - t$.

Тело 3:
График – наклонная прямая. Начальная координата (при $t=0$) $x_{03} = -10$ м. Для определения скорости выберем две точки на графике, например, $(t_1=0; x_1=-10)$ и $(t_2=20; x_2=0)$. Скорость $v_3 = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \frac{0 \text{ м} - (-10 \text{ м})}{20 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{10 \text{ м}}{20 \text{ с}} = 0.5$ м/с. Уравнение движения: $x_3(t) = -10 + 0.5t$.

Ответ: Уравнения движения тел: $x_1(t) = 5$; $x_2(t) = 5 - t$; $x_3(t) = -10 + 0.5t$.

координаты тел через 5 с

Чтобы найти координаты тел в момент времени $t = 5$ с, можно воспользоваться полученными уравнениями движения или посмотреть значения на графике.

Тело 1: $x_1(5) = 5$ м.

Тело 2: $x_2(5) = 5 - 5 = 0$ м.

Тело 3: $x_3(5) = -10 + 0.5 \cdot 5 = -10 + 2.5 = -7.5$ м.

Ответ: Через 5 с координаты тел равны: $x_1 = 5$ м; $x_2 = 0$ м; $x_3 = -7.5$ м.

скорости движения тел

Скорости тел были определены при составлении уравнений движения. Скорость равна тангенсу угла наклона графика к оси времени.

Тело 1: График параллелен оси времени, значит, скорость равна нулю. $v_1 = 0$ м/с.

Тело 2: Скорость была рассчитана ранее. $v_2 = -1$ м/с.

Тело 3: Скорость была рассчитана ранее. $v_3 = 0.5$ м/с.

Ответ: Скорости движения тел: $v_1 = 0$ м/с; $v_2 = -1$ м/с; $v_3 = 0.5$ м/с.

время и место встречи второго и третьего тел

В момент встречи координаты тел равны. Приравняем уравнения движения для второго и третьего тел: $x_2(t_{встр}) = x_3(t_{встр})$.

$5 - t_{встр} = -10 + 0.5t_{встр}$

$5 + 10 = 0.5t_{встр} + t_{встр}$

$15 = 1.5t_{встр}$

$t_{встр} = \frac{15}{1.5} = 10$ с.

Теперь найдем координату встречи, подставив найденное время в любое из двух уравнений:

$x_{встр} = x_2(10) = 5 - 10 = -5$ м.

Проверим по второму уравнению:

$x_{встр} = x_3(10) = -10 + 0.5 \cdot 10 = -10 + 5 = -5$ м.

Результаты совпадают. Точка пересечения графиков 2 и 3 на рисунке также соответствует этим значениям.

Ответ: Встреча второго и третьего тел произойдет через 10 с после начала движения в точке с координатой $x = -5$ м.

7.45 [152] Тело, двигаясь без начальной скорости, прошло за первую секунду 1 м, за вторую секунду 2 м, за третью секунду 3 м, за четвёртую секунду 4 м и т. д. Можно ли считать такое движение равномерным?

Дано:

Начальная скорость, $v_0 = 0$ м/с
Путь за первую секунду, $s_1 = 1$ м
Путь за вторую секунду, $s_2 = 2$ м
Путь за третью секунду, $s_3 = 3$ м
Путь за четвертую секунду, $s_4 = 4$ м
Промежуток времени для каждого отрезка пути, $\Delta t = 1$ с
(Все данные представлены в системе СИ)

Найти:

Можно ли считать движение равномерным?

Решение:

Равномерным движением называется движение, при котором тело за любые равные промежутки времени проходит одинаковые пути. Основным признаком равномерного движения является постоянство скорости ($v = \text{const}$).

В условии задачи рассматриваются последовательные равные промежутки времени, каждый из которых равен $\Delta t = 1$ с. Пути, пройденные телом за эти промежутки времени, составляют:
- за первую секунду: $s_1 = 1$ м;
- за вторую секунду: $s_2 = 2$ м;
- за третью секунду: $s_3 = 3$ м;
- за четвертую секунду: $s_4 = 4$ м.

Сравнивая пройденные пути, видим, что $s_1 \neq s_2 \neq s_3 \neq s_4$. Поскольку за равные промежутки времени тело проходит разные расстояния, его скорость не является постоянной. Следовательно, движение не является равномерным.

Для подтверждения этого вывода можно рассчитать среднюю скорость тела на каждом секундном интервале по формуле $v_{ср} = \frac{s}{\Delta t}$.

Средняя скорость за первую секунду:
$v_{ср1} = \frac{s_1}{\Delta t} = \frac{1 \text{ м}}{1 \text{ с}} = 1$ м/с.

Средняя скорость за вторую секунду:
$v_{ср2} = \frac{s_2}{\Delta t} = \frac{2 \text{ м}}{1 \text{ с}} = 2$ м/с.

Средняя скорость за третью секунду:
$v_{ср3} = \frac{s_3}{\Delta t} = \frac{3 \text{ м}}{1 \text{ с}} = 3$ м/с.

Расчеты показывают, что средняя скорость тела на каждом последующем интервале увеличивается. Это означает, что движение является неравномерным (ускоренным).

Ответ: нет, такое движение нельзя считать равномерным, так как за равные промежутки времени тело проходит разные пути, что означает, что его скорость не является постоянной.

7.46 [153] Какой из графиков на рисунке II-14 соответствует равномерному прямолинейному движению, а какой — равноускоренному? Можно ли однозначно утверждать, что точка пересечения графиков 3 и 5 свидетельствует о том, что в данный момент времени координаты тел совпадают?

Рис. II-14

Какой из графиков на рисунке II-14 соответствует равномерному прямолинейному движению, а какой — равноускоренному?

Решение
На представленном рисунке II-14 изображены графики зависимости скорости $v$ от времени $t$.
1. Равномерное прямолинейное движение — это движение с постоянной скоростью ($v = \text{const}$). На графике зависимости скорости от времени такому движению соответствует прямая линия, параллельная оси времени (оси абсцисс). Этому условию удовлетворяет график 4, на котором скорость постоянна и равна $v = 8 \text{ м/с}$.
2. Равноускоренное движение — это движение с постоянным ускорением ($a = \text{const}$). При таком движении скорость изменяется со временем по линейному закону: $v(t) = v_0 + at$. На графике зависимости скорости от времени такому движению соответствуют прямые линии, имеющие наклон к оси времени. Этому условию удовлетворяют графики 1, 2, 3 и 5.

Ответ: Равномерному прямолинейному движению соответствует график 4. Равноускоренному движению соответствуют графики 1, 2, 3 и 5.

Можно ли однозначно утверждать, что точка пересечения графиков 3 и 5 свидетельствует о том, что в данный момент времени координаты тел совпадают?

Решение
Точка пересечения двух графиков на диаграмме зависимости скорости от времени ($v-t$) означает, что в данный момент времени скорости тел, чьи движения описывают эти графики, равны. То есть, в точке пересечения графиков 3 и 5 выполняется условие $v_3 = v_5$.
Однако равенство скоростей не означает равенства координат. Координата тела при прямолинейном движении в общем случае описывается уравнением $x(t) = x_0 + \int_{0}^{t} v(\tau)d\tau$, где $x_0$ — начальная координата тела (в момент $t=0$). Для равноускоренного движения это уравнение принимает вид: $x(t) = x_0 + v_0t + \frac{at^2}{2}$ Пусть $t_{пер}$ — это момент времени, в который пересекаются графики 3 и 5. В этот момент $v_3(t_{пер}) = v_5(t_{пер})$. Координаты тел в этот момент будут: $x_3(t_{пер}) = x_{03} + v_{03}t_{пер} + \frac{a_3t_{пер}^2}{2}$ $x_5(t_{пер}) = x_{05} + v_{05}t_{пер} + \frac{a_5t_{пер}^2}{2}$ Из графиков видно, что начальные скорости тел различны ($v_{03} = 14 \text{ м/с}$, $v_{05} = 10 \text{ м/с}$) и их ускорения также различны (у тела 3 ускорение отрицательное, у тела 5 — положительное). Для того чтобы координаты $x_3(t_{пер})$ и $x_5(t_{пер})$ были равны, должно выполняться равенство: $x_{03} + v_{03}t_{пер} + \frac{a_3t_{пер}^2}{2} = x_{05} + v_{05}t_{пер} + \frac{a_5t_{пер}^2}{2}$ Это равенство будет выполняться только при определённом соотношении между начальными координатами $x_{03}$ и $x_{05}$. Поскольку в условии задачи нет никакой информации о начальных положениях тел, мы не можем утверждать, что они начали движение из одной точки или из таких точек, чтобы их координаты совпали в момент $t_{пер}$. Следовательно, однозначно утверждать о совпадении координат нельзя.

Ответ: Нет, нельзя. Точка пересечения на графике зависимости скорости от времени свидетельствует только о равенстве скоростей тел в данный момент времени, но не гарантирует равенства их координат.