Номер 7.43, страница 23 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 7. Скорость. Средняя скорость. Ускорение и его относительность. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 7.43, страница 23.

7.43* [150*] На рисунке П-12 представлены графики зависимости координаты $x$ от времени $t$ для пяти тел. Определите скорости этих тел. Проанализируйте точки пересечения графиков. Постройте графики зависимости скорости от времени.

Рис. П-12

Дано:
Графики зависимости координаты $x$ (в метрах) от времени $t$ (в секундах) для пяти тел. Все единицы измерения соответствуют системе СИ.

Найти:
1. Скорости тел $v_1, v_2, v_3, v_4, v_5$.
2. Проанализировать точки пересечения графиков.
3. Построить графики зависимости скорости от времени $v(t)$.

Решение:

Определите скорости этих тел.

Поскольку графики зависимости координаты от времени представляют собой прямые линии, движение всех тел является равномерным прямолинейным. Скорость каждого тела постоянна и может быть определена как тангенс угла наклона графика $x(t)$ к оси времени. Формула для расчета скорости: $v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1}$, где $(t_1, x_1)$ и $(t_2, x_2)$ — координаты двух точек на графике.

• Тело 1: График — горизонтальная прямая, проходящая через $x=1$ м. Это означает, что координата тела не изменяется со временем.
  $v_1 = \frac{1 \text{ м} - 1 \text{ м}}{t_2 - t_1} = 0 \text{ м/с}$.

• Тело 2: График проходит через точки $(t_1, x_1) = (0 \text{ с}, 0 \text{ м})$ и $(t_2, x_2) = (4 \text{ с}, 2 \text{ м})$.
  $v_2 = \frac{2 \text{ м} - 0 \text{ м}}{4 \text{ с} - 0 \text{ с}} = 0.5 \text{ м/с}$.

• Тело 3: График проходит через точки $(t_1, x_1) = (0 \text{ с}, 4 \text{ м})$ и $(t_2, x_2) = (6 \text{ с}, 6 \text{ м})$.
  $v_3 = \frac{6 \text{ м} - 4 \text{ м}}{6 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{2}{6} \text{ м/с} = \frac{1}{3} \text{ м/с} \approx 0.33 \text{ м/с}$.

• Тело 4: График проходит через точки $(t_1, x_1) = (0 \text{ с}, 6 \text{ м})$ и $(t_2, x_2) = (4 \text{ с}, 7 \text{ м})$.
  $v_4 = \frac{7 \text{ м} - 6 \text{ м}}{4 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{1}{4} \text{ м/с} = 0.25 \text{ м/с}$.

• Тело 5: График проходит через точки $(t_1, x_1) = (0 \text{ с}, 10 \text{ м})$ и $(t_2, x_2) = (5 \text{ с}, 8 \text{ м})$.
  $v_5 = \frac{8 \text{ м} - 10 \text{ м}}{5 \text{ с} - 0 \text{ с}} = \frac{-2}{5} \text{ м/с} = -0.4 \text{ м/с}$.
  Отрицательный знак скорости означает, что тело движется в направлении, противоположном положительному направлению оси $x$.

Ответ: Скорости тел равны: $v_1 = 0$ м/с, $v_2 = 0.5$ м/с, $v_3 = 1/3$ м/с, $v_4 = 0.25$ м/с, $v_5 = -0.4$ м/с.

Проанализируйте точки пересечения графиков.

Точка пересечения двух графиков $x(t)$ означает, что в данный момент времени $t$ оба тела находятся в одной и той же точке пространства, т.е. их координаты $x$ равны. Это событие называется встречей тел. Запишем уравнения движения для каждого тела в виде $x(t) = x_0 + vt$:

• $x_1(t) = 1$
• $x_2(t) = 0.5t$
• $x_3(t) = 4 + \frac{1}{3}t$
• $x_4(t) = 6 + 0.25t$
• $x_5(t) = 10 - 0.4t$

На видимом участке графика ($t$ от 0 до ~7 с) есть две точки пересечения:

1. Пересечение графиков 1 и 2. Приравняем их координаты: $x_1(t) = x_2(t) \implies 1 = 0.5t$. Отсюда время встречи $t = 2$ с. Координата встречи $x = 1$ м. Это означает, что тело 2 догоняет и проходит мимо неподвижного тела 1 в момент времени $t=2$ с в точке с координатой $x=1$ м.

2. Пересечение графиков 4 и 5. Приравняем их координаты: $x_4(t) = x_5(t) \implies 6 + 0.25t = 10 - 0.4t$.
   $0.65t = 4 \implies t = \frac{4}{0.65} = \frac{400}{65} = \frac{80}{13} \approx 6.15$ с.
   Координата встречи: $x = 6 + 0.25 \cdot \frac{80}{13} = 6 + \frac{20}{13} = \frac{98}{13} \approx 7.54$ м.
   Тела 4 и 5 движутся навстречу друг другу ($v_4 > 0$, $v_5 < 0$) и встречаются в момент времени $t \approx 6.15$ с в точке $x \approx 7.54$ м.

Остальные пары графиков на данном временном интервале не пересекаются, но некоторые из них пересекутся в будущем (например, 2 и 3, 3 и 5) или пересекались в прошлом (например, 1 и 3).

Ответ: Точки пересечения на графиках означают встречи тел. На данном участке времени тело 2 встречается с телом 1 в момент $t=2$ с ($x=1$ м), а тело 4 встречается с телом 5 в момент $t \approx 6.15$ с ($x \approx 7.54$ м).

Постройте графики зависимости скорости от времени.

Так как движение всех тел равномерное, их скорости постоянны во времени. Графики зависимости скорости от времени $v(t)$ будут представлять собой горизонтальные прямые.

• $v_1(t) = 0$ м/с
• $v_2(t) = 0.5$ м/с
• $v_3(t) = 1/3$ м/с
• $v_4(t) = 0.25$ м/с
• $v_5(t) = -0.4$ м/с

Графики $v(t)$ для пяти тел представлены на рисунке ниже.

Ответ: Графики зависимости скорости от времени представляют собой пять горизонтальных линий, соответствующих постоянным скоростям каждого из тел (см. рисунок выше).