Номер 7.40, страница 22 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 7. Скорость. Средняя скорость. Ускорение и его относительность. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 7.40, страница 22.

7.40* [146*] Три четверти своего пути автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, остальную часть пути — со скоростью 80 км/ч. Чему равна средняя скорость движения автомобиля?

Дано:

$S_1 = \frac{3}{4}S$ — первая часть пути
$v_1 = 60$ км/ч — скорость на первой части пути
$S_2 = \frac{1}{4}S$ — вторая (оставшаяся) часть пути
$v_2 = 80$ км/ч — скорость на второй части пути

$v_1 = 60 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 60 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{50}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 16,67 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
$v_2 = 80 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 80 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{200}{9} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 22,22 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

$v_{ср}$ — средняя скорость движения автомобиля.

Решение:

Средняя скорость движения $v_{ср}$ по определению равна отношению всего пройденного пути $S_{общ}$ ко всему времени движения $t_{общ}$.

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Весь путь $S_{общ}$ состоит из двух участков, $S_1$ и $S_2$. Обозначим весь путь как $S$. Тогда:

$S_{общ} = S_1 + S_2 = \frac{3}{4}S + \frac{1}{4}S = S$

Общее время движения $t_{общ}$ равно сумме времени движения на каждом из участков: $t_{общ} = t_1 + t_2$.
Время на первом участке: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{3S/4}{v_1} = \frac{3S}{4v_1}$.
Время на втором участке: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S/4}{v_2} = \frac{S}{4v_2}$.

Следовательно, общее время движения равно:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{3S}{4v_1} + \frac{S}{4v_2} = S \left( \frac{3}{4v_1} + \frac{1}{4v_2} \right)$

Теперь подставим выражения для общего пути и общего времени в формулу для средней скорости. Переменная $S$, обозначающая весь путь, сократится:

$v_{ср} = \frac{S}{S \left( \frac{3}{4v_1} + \frac{1}{4v_2} \right)} = \frac{1}{\frac{3}{4v_1} + \frac{1}{4v_2}}$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю $4v_1v_2$ и упростим выражение:

$v_{ср} = \frac{1}{\frac{3v_2 + v_1}{4v_1v_2}} = \frac{4v_1v_2}{v_1 + 3v_2}$

Подставим числовые значения скоростей. Расчеты удобнее проводить в км/ч.

$v_{ср} = \frac{4 \cdot 60 \cdot 80}{60 + 3 \cdot 80} = \frac{19200}{60 + 240} = \frac{19200}{300} = 64 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Ответ: средняя скорость движения автомобиля равна 64 км/ч.