Страница 22 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

7.33 [130] За какое время плывущий по течению реки плот преодолеет 15 км, если скорость течения 0,5 м/с?

Дано:

Найти:

$t$

Решение:

Поскольку плот плывет по течению реки и не имеет собственного двигателя, его скорость относительно берега равна скорости течения реки.
$v_{\text{плота}} = v_{\text{течения}} = 0,5 \text{ м/с}$

Время движения $t$ при равномерном движении находится из формулы, связывающей расстояние $S$ и скорость $v$:
$S = v \cdot t$

Выразим из этой формулы искомое время $t$:
$t = \frac{S}{v}$

Подставим числовые значения величин, выраженные в системе СИ:
$t = \frac{15000 \text{ м}}{0,5 \text{ м/с}} = 30000 \text{ с}$

Для наглядности можно перевести полученное время в часы. Зная, что в одном часе 3600 секунд ($60 \text{ мин} \times 60 \text{ с/мин}$):
$t = \frac{30000 \text{ с}}{3600 \text{ с/ч}} = \frac{300}{36} \text{ ч} = \frac{25}{3} \text{ ч} = 8 \frac{1}{3} \text{ ч}$
Это соответствует 8 часам и 20 минутам.

Ответ: $30000 \text{ с}$ (8 часов 20 минут).

7.34 [140] Два автомобиля движутся прямолинейно и равномерно в одном направлении со скоростями $v_1 = 54 \text{ км/ч}$ и $v_2 = 36 \text{ км/ч}$. В начале наблюдения расстояние между ними было равно 18 км. Через какое время первый автомобиль догонит идущий впереди второй автомобиль? Решите задачу аналитически и графически.

Дано:
Скорость первого автомобиля, $v_1 = 54$ км/ч
Скорость второго автомобиля, $v_2 = 36$ км/ч
Начальное расстояние между автомобилями, $S_0 = 18$ км

Перевод в систему СИ:
$v_1 = 54 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 54 \cdot \frac{1000 \, \text{м}}{3600 \, \text{с}} = 15 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$
$v_2 = 36 \, \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 36 \cdot \frac{1000 \, \text{м}}{3600 \, \text{с}} = 10 \, \frac{\text{м}}{\text{с}}$
$S_0 = 18 \, \text{км} = 18 \cdot 1000 \, \text{м} = 18000 \, \text{м}$

Найти:
Время встречи $t$

Решение:
Для удобства будем производить вычисления в километрах и часах, так как все исходные данные представлены в этих единицах.

Аналитически

Выберем систему отсчета, связанную с Землей. Направим ось координат $OX$ по направлению движения автомобилей. В начальный момент времени ($t=0$) пусть первый (догоняющий) автомобиль находится в начале координат, тогда его начальная координата $x_{01} = 0$. Второй автомобиль, находящийся впереди на расстоянии $S_0$, будет иметь начальную координату $x_{02} = S_0 = 18$ км.

Так как движение автомобилей прямолинейное и равномерное, их координаты изменяются со временем по закону $x(t) = x_0 + v \cdot t$.

Составим уравнение движения для первого автомобиля: $x_1(t) = x_{01} + v_1 \cdot t = 0 + 54 \cdot t = 54t$

Составим уравнение движения для второго автомобиля: $x_2(t) = x_{02} + v_2 \cdot t = 18 + 36 \cdot t$

Первый автомобиль догонит второй в тот момент времени $t$, когда их координаты будут равны: $x_1(t) = x_2(t)$.

Приравняем правые части уравнений и решим полученное уравнение относительно $t$: $54t = 18 + 36t$

$54t - 36t = 18$

$18t = 18$

$t = \frac{18}{18} = 1$ (ч)

Ответ: первый автомобиль догонит второй через 1 час.

Графически

Для графического решения задачи построим в одной системе координат графики зависимости координаты от времени $x(t)$ для каждого автомобиля. По оси абсцисс (горизонтальной) отложим время $t$ в часах, а по оси ординат (вертикальной) — координату $x$ в километрах.

1. График движения первого автомобиля задается уравнением $x_1(t) = 54t$. Это линейная функция, ее график — прямая линия, проходящая через начало координат (точку с координатами $t=0, x=0$). Для построения прямой найдем еще одну точку, например, при $t=1$ ч, координата будет $x_1 = 54 \cdot 1 = 54$ км. Таким образом, график проходит через точки (0, 0) и (1, 54).

2. График движения второго автомобиля задается уравнением $x_2(t) = 18 + 36t$. Это также линейная функция. В начальный момент времени $t=0$, координата $x_2 = 18$ км. При $t=1$ ч, координата будет $x_2 = 18 + 36 \cdot 1 = 54$ км. Таким образом, график проходит через точки (0, 18) и (1, 54).

Точка пересечения этих двух графиков на плоскости $(t, x)$ соответствует моменту времени и месту, где автомобили встретятся. Из координат найденных точек видно, что оба графика пересекаются в точке (1, 54).

Абсцисса (координата по оси времени) точки пересечения дает нам искомое время встречи: $t=1$ час. Ордината (координата по оси пути) показывает, на каком расстоянии от начальной точки первого автомобиля произойдет встреча: $x=54$ км.

Ответ: по графикам видно, что встреча автомобилей произойдет через 1 час.

7.35 [141] Венеция соединена с материковой частью Италии мостом длиной 4 км 70 м. Велосипедист преодолевает это расстояние за 6 мин 47 с. Определите, на сколько позже должен въехать на мост автомобиль, чтобы догнать велосипедиста в конце моста, если скорость автомобиля на 4,2 м/с больше скорости велосипедиста.

Дано:

Длина моста, $S = 4 \text{ км } 70 \text{ м}$
Время движения велосипедиста, $t_в = 6 \text{ мин } 47 \text{ с}$
Разница скоростей, $\Delta v = v_а - v_в = 4,2 \text{ м/с}$

Переведем данные в систему СИ:

$S = 4 \cdot 1000 \text{ м} + 70 \text{ м} = 4070 \text{ м}$
$t_в = 6 \cdot 60 \text{ с} + 47 \text{ с} = 360 \text{ с} + 47 \text{ с} = 407 \text{ с}$

Найти:

$\Delta t$ — время, на которое автомобиль должен выехать позже.

Решение:

Для того чтобы автомобиль догнал велосипедиста в конце моста, они должны прибыть в конечную точку одновременно. Это означает, что автомобиль должен начать движение позже на время, равное разности времени их движения по мосту.

1. Сначала найдем скорость велосипедиста ($v_в$). Она рассчитывается как отношение пройденного пути ко времени.

$v_в = \frac{S}{t_в} = \frac{4070 \text{ м}}{407 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}$

2. Теперь определим скорость автомобиля ($v_а$). Из условия известно, что она на $4,2 \text{ м/с}$ больше скорости велосипедиста.

$v_а = v_в + \Delta v = 10 \text{ м/с} + 4,2 \text{ м/с} = 14,2 \text{ м/с}$

3. Рассчитаем время, необходимое автомобилю для преодоления моста ($t_а$).

$t_а = \frac{S}{v_а} = \frac{4070 \text{ м}}{14,2 \text{ м/с}}$

4. Искомая разница во времени старта ($\Delta t$) равна разности времени в пути велосипедиста и автомобиля.

$\Delta t = t_в - t_а = 407 \text{ с} - \frac{4070 \text{ м}}{14,2 \text{ м/с}}$

Проведем вычисления:

$\Delta t = 407 - \frac{4070}{14,2} = 407 - \frac{40700}{142} \approx 407 - 286,62 \approx 120,38 \text{ с}$

Наименьшая точность исходных данных — два значащих числа (в величине $4,2 \text{ м/с}$), поэтому результат следует округлить. Округляя до целого числа, получаем 120 секунд.

$120 \text{ с} = 2 \text{ мин}$

Ответ: автомобиль должен въехать на мост на 120 с (2 минуты) позже велосипедиста.

7.36* [142*] Из пунктов A и B по шоссе навстречу друг другу движутся два автобуса. Один выехал в 9 ч из пункта A, другой — в 9 ч 30 мин из пункта B. Первый движется со скоростью 40 км/ч, а второй — со скоростью 60 км/ч. Расстояние между пунктами равно 120 км. В какое время и на каком расстоянии от пункта A автобусы встретятся?

Дано:

Время выезда первого автобуса из пункта А, $t_{start1}$ = 9 ч
Время выезда второго автобуса из пункта В, $t_{start2}$ = 9 ч 30 мин
Скорость первого автобуса, $v_1$ = 40 км/ч
Скорость второго автобуса, $v_2$ = 60 км/ч
Расстояние между пунктами А и В, $S$ = 120 км

Найти:

Время встречи автобусов, $t_{встр}$ - ?
Расстояние от пункта А до места встречи, $S_A$ - ?

Решение:

1. Второй автобус выехал на 30 минут (0.5 часа) позже первого. Найдем, какое расстояние успел проехать первый автобус за это время.

$\Delta t = 9 \text{ ч } 30 \text{ мин} - 9 \text{ ч } 00 \text{ мин} = 30 \text{ мин} = 0.5 \text{ ч}$

Расстояние, которое проехал первый автобус до выезда второго:

$S_1 = v_1 \cdot \Delta t = 40 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \cdot 0.5 \text{ ч} = 20 \text{ км}$

2. В 9:30, когда второй автобус начал движение, расстояние между автобусами сократилось и стало равно:

$S' = S - S_1 = 120 \text{ км} - 20 \text{ км} = 100 \text{ км}$

3. Теперь оба автобуса движутся навстречу друг другу. Найдем их скорость сближения. Так как они движутся навстречу, их скорости складываются:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 40 \frac{\text{км}}{\text{ч}} + 60 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 100 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

4. Найдем время, через которое автобусы встретятся, с момента выезда второго автобуса (т.е. с 9:30):

$t' = \frac{S'}{v_{сбл}} = \frac{100 \text{ км}}{100 \frac{\text{км}}{\text{ч}}} = 1 \text{ ч}$

5. Определим время встречи на часах. Встреча произойдет через 1 час после 9:30.

$t_{встр} = 9 \text{ ч } 30 \text{ мин} + 1 \text{ ч} = 10 \text{ ч } 30 \text{ мин}$

6. Теперь найдем расстояние от пункта А, на котором произойдет встреча. Для этого нужно вычислить, какой путь прошел первый автобус за все время своего движения до момента встречи. Общее время движения первого автобуса равно сумме времени, которое он ехал один, и времени совместного движения до встречи:

$t_{полн1} = \Delta t + t' = 0.5 \text{ ч} + 1 \text{ ч} = 1.5 \text{ ч}$

Расстояние от пункта А до места встречи равно:

$S_A = v_1 \cdot t_{полн1} = 40 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \cdot 1.5 \text{ ч} = 60 \text{ км}$

Ответ: автобусы встретятся в 10 часов 30 минут на расстоянии 60 км от пункта А.

7.37* [143*] Определите скорость течения реки, если грузовой теплоход проходит за сутки по течению путь, равный 600 км, и против течения путь, равный 336 км, за то же время.

Дано:

$S_1 = 600$ км (путь по течению)

$S_2 = 336$ км (путь против течения)

$t = 1$ сутки

Найти:

$v_р$ - скорость течения реки

Решение:

Обозначим собственную скорость грузового теплохода (скорость в стоячей воде) как $v_т$, а скорость течения реки как $v_р$.

Когда теплоход движется по течению, его скорость относительно берега равна сумме его собственной скорости и скорости течения реки: $v_1 = v_т + v_р$.

Когда теплоход движется против течения, его скорость относительно берега равна разности его собственной скорости и скорости течения реки: $v_2 = v_т - v_р$.

Используя формулу пути $S = v \cdot t$, мы можем записать два уравнения для движения теплохода:

1. По течению: $S_1 = (v_т + v_р) \cdot t$

2. Против течения: $S_2 = (v_т - v_р) \cdot t$

Из этих уравнений можно выразить скорости:

$v_т + v_р = \frac{S_1}{t}$

$v_т - v_р = \frac{S_2}{t}$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $v_т$ и $v_р$. Чтобы найти скорость течения $v_р$, вычтем второе уравнение из первого:

$(v_т + v_р) - (v_т - v_р) = \frac{S_1}{t} - \frac{S_2}{t}$

$v_т + v_р - v_т + v_р = \frac{S_1 - S_2}{t}$

$2 \cdot v_р = \frac{S_1 - S_2}{t}$

Отсюда находим формулу для скорости течения:

$v_р = \frac{S_1 - S_2}{2 \cdot t}$

Подставим в эту формулу данные из условия задачи. Удобнее производить вычисления в км/ч, так как время дано в сутках ($t = 24$ ч):

$v_р = \frac{600 \text{ км} - 336 \text{ км}}{2 \cdot 24 \text{ ч}} = \frac{264 \text{ км}}{48 \text{ ч}} = 5,5 \text{ км/ч}$

Для перевода в систему СИ (м/с) используем соотношение $1 \text{ км/ч} = \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{5}{18} \text{ м/с}$:

$v_р = 5,5 \cdot \frac{5}{18} \text{ м/с} = \frac{27,5}{18} \text{ м/с} \approx 1,53 \text{ м/с}$

Ответ: скорость течения реки равна $5,5$ км/ч (или примерно $1,53$ м/с).

7.38* [144*] Лодка держит курс перпендикулярно берегу и движется со скоростью 7,2 км/ч. Течение относит её на расстояние 150 м вниз по реке. Определите скорость течения реки и время, затраченное на переправу через реку. Ширина реки 0,5 км.

Дано:

Перевод в систему СИ:

Найти:

Решение:

Движение лодки является сложным и состоит из двух независимых движений: движения перпендикулярно берегу со скоростью лодки относительно воды ($v_л$) и движения вдоль берега со скоростью течения реки ($v_т$). Время движения в обоих направлениях одинаково.

Время, затраченное на переправу через реку

Время, необходимое для пересечения реки, определяется ее шириной $s_y$ и скоростью лодки $v_л$, которая направлена перпендикулярно берегу. Используем формулу для равномерного прямолинейного движения:

$t = \frac{s_y}{v_л}$

Подставим числовые значения:

$t = \frac{500 \text{ м}}{2 \text{ м/с}} = 250 \text{ с}$

Ответ: 250 с.

Скорость течения реки

За то же самое время $t = 250 \text{ с}$ лодку сносит течением вниз по реке на расстояние $s_x$. Это движение вдоль берега происходит со скоростью течения $v_т$. Скорость течения можно найти по формуле:

$v_т = \frac{s_x}{t}$

Подставим известные значения:

$v_т = \frac{150 \text{ м}}{250 \text{ с}} = 0,6 \text{ м/с}$

Ответ: 0,6 м/с.

7.39 [145] Мотоцикл двигался в течение 15 с со скоростью 5 м/с, в течение 10 с со скоростью 8 м/с и в течение 6 с со скоростью 20 м/с. Чему равна средняя скорость движения мотоцикла?

Дано:

Время движения на первом участке: $t_1 = 15$ с

Скорость на первом участке: $v_1 = 5$ м/с

Время движения на втором участке: $t_2 = 10$ с

Скорость на втором участке: $v_2 = 8$ м/с

Время движения на третьем участке: $t_3 = 6$ с

Скорость на третьем участке: $v_3 = 20$ м/с

Найти:

Среднюю скорость движения мотоцикла: $v_{ср}$ - ?

Решение:

Средняя скорость движения вычисляется как отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени. Формула для средней скорости:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

где $S_{общ}$ — это общий путь, пройденный мотоциклом, а $t_{общ}$ — это общее время движения.

Движение состоит из трех участков, поэтому общий путь и общее время будут суммами путей и времен на каждом из этих участков:

$S_{общ} = S_1 + S_2 + S_3$

$t_{общ} = t_1 + t_2 + t_3$

Сначала вычислим расстояние, пройденное на каждом участке, используя формулу $S = v \cdot t$:

1. Расстояние на первом участке:

$S_1 = v_1 \cdot t_1 = 5 \text{ м/с} \cdot 15 \text{ с} = 75 \text{ м}$

2. Расстояние на втором участке:

$S_2 = v_2 \cdot t_2 = 8 \text{ м/с} \cdot 10 \text{ с} = 80 \text{ м}$

3. Расстояние на третьем участке:

$S_3 = v_3 \cdot t_3 = 20 \text{ м/с} \cdot 6 \text{ с} = 120 \text{ м}$

Теперь найдем общий путь, сложив расстояния всех участков:

$S_{общ} = 75 \text{ м} + 80 \text{ м} + 120 \text{ м} = 275 \text{ м}$

Далее найдем общее время движения:

$t_{общ} = 15 \text{ с} + 10 \text{ с} + 6 \text{ с} = 31 \text{ с}$

Наконец, подставим значения общего пути и общего времени в формулу для средней скорости:

$v_{ср} = \frac{275 \text{ м}}{31 \text{ с}} \approx 8,8709... \text{ м/с}$

Округлим результат до сотых.

$v_{ср} \approx 8,87 \text{ м/с}$

Ответ: средняя скорость движения мотоцикла равна примерно $8,87$ м/с.

7.40* [146*] Три четверти своего пути автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, остальную часть пути — со скоростью 80 км/ч. Чему равна средняя скорость движения автомобиля?

Дано:

$S_1 = \frac{3}{4}S$ — первая часть пути
$v_1 = 60$ км/ч — скорость на первой части пути
$S_2 = \frac{1}{4}S$ — вторая (оставшаяся) часть пути
$v_2 = 80$ км/ч — скорость на второй части пути

Найти:

$v_{ср}$ — средняя скорость движения автомобиля.

Решение:

Средняя скорость движения $v_{ср}$ по определению равна отношению всего пройденного пути $S_{общ}$ ко всему времени движения $t_{общ}$.

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Весь путь $S_{общ}$ состоит из двух участков, $S_1$ и $S_2$. Обозначим весь путь как $S$. Тогда:

$S_{общ} = S_1 + S_2 = \frac{3}{4}S + \frac{1}{4}S = S$

Общее время движения $t_{общ}$ равно сумме времени движения на каждом из участков: $t_{общ} = t_1 + t_2$.
Время на первом участке: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{3S/4}{v_1} = \frac{3S}{4v_1}$.
Время на втором участке: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S/4}{v_2} = \frac{S}{4v_2}$.

Следовательно, общее время движения равно:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{3S}{4v_1} + \frac{S}{4v_2} = S \left( \frac{3}{4v_1} + \frac{1}{4v_2} \right)$

Теперь подставим выражения для общего пути и общего времени в формулу для средней скорости. Переменная $S$, обозначающая весь путь, сократится:

$v_{ср} = \frac{S}{S \left( \frac{3}{4v_1} + \frac{1}{4v_2} \right)} = \frac{1}{\frac{3}{4v_1} + \frac{1}{4v_2}}$

Приведем дроби в знаменателе к общему знаменателю $4v_1v_2$ и упростим выражение:

$v_{ср} = \frac{1}{\frac{3v_2 + v_1}{4v_1v_2}} = \frac{4v_1v_2}{v_1 + 3v_2}$

Подставим числовые значения скоростей. Расчеты удобнее проводить в км/ч.

$v_{ср} = \frac{4 \cdot 60 \cdot 80}{60 + 3 \cdot 80} = \frac{19200}{60 + 240} = \frac{19200}{300} = 64 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Ответ: средняя скорость движения автомобиля равна 64 км/ч.

7.41 [148] По графику зависимости пути от времени (рис. П-11) определите значения скорости на каждом этапе пути и среднюю скорость тела за время движения. Можно ли утверждать, что в моменты времени, соответствующие изломам графика, тело движется равномерно?

Рис. П-11

Дано:

График зависимости пути $s$ (в км) от времени $t$ (в ч).

Из графика определяем параметры движения на трех участках:

Участок 1: начинается в $t_0 = 0 \text{ ч}$ при $s_0 = 0 \text{ км}$, заканчивается в $t_1 = 0.5 \text{ ч}$ при $s_1 = 40 \text{ км}$.
Участок 2: начинается в $t_1 = 0.5 \text{ ч}$ при $s_1 = 40 \text{ км}$, заканчивается в $t_2 = 1.5 \text{ ч}$ при $s_2 = 50 \text{ км}$.
Участок 3: начинается в $t_2 = 1.5 \text{ ч}$ при $s_2 = 50 \text{ км}$, заканчивается в $t_3 = 3 \text{ ч}$ при $s_3 = 50 \text{ км}$.

Найти:

1. Скорость на каждом этапе пути: $v_1, v_2, v_3$.
2. Среднюю скорость за все время движения: $v_{ср}$.
3. Ответить на вопрос о характере движения в точках излома графика.

Решение:

На каждом из трех участков график представляет собой прямую линию, что соответствует равномерному движению. Скорость на каждом участке постоянна и находится как отношение пройденного пути на участке ко времени, за которое этот путь пройден.

Значения скорости на каждом этапе пути

1. На первом участке (от $t=0$ до $t=0.5$ ч):
Пройденный путь $\Delta s_1 = s_1 - s_0 = 40 \text{ км} - 0 \text{ км} = 40 \text{ км}$.
Промежуток времени $\Delta t_1 = t_1 - t_0 = 0.5 \text{ ч} - 0 \text{ ч} = 0.5 \text{ ч}$.
Скорость на первом участке: $v_1 = \frac{\Delta s_1}{\Delta t_1} = \frac{40 \text{ км}}{0.5 \text{ ч}} = 80 \text{ км/ч}$.

2. На втором участке (от $t=0.5$ ч до $t=1.5$ ч):
Пройденный путь $\Delta s_2 = s_2 - s_1 = 50 \text{ км} - 40 \text{ км} = 10 \text{ км}$.
Промежуток времени $\Delta t_2 = t_2 - t_1 = 1.5 \text{ ч} - 0.5 \text{ ч} = 1 \text{ ч}$.
Скорость на втором участке: $v_2 = \frac{\Delta s_2}{\Delta t_2} = \frac{10 \text{ км}}{1 \text{ ч}} = 10 \text{ км/ч}$.

3. На третьем участке (от $t=1.5$ ч до $t=3$ ч):
Пройденный путь $\Delta s_3 = s_3 - s_2 = 50 \text{ км} - 50 \text{ км} = 0 \text{ км}$.
Промежуток времени $\Delta t_3 = t_3 - t_2 = 3 \text{ ч} - 1.5 \text{ ч} = 1.5 \text{ ч}$.
Так как путь не изменился, тело находилось в состоянии покоя.
Скорость на третьем участке: $v_3 = \frac{\Delta s_3}{\Delta t_3} = \frac{0 \text{ км}}{1.5 \text{ ч}} = 0 \text{ км/ч}$.

Ответ: Скорость на первом этапе пути равна 80 км/ч, на втором – 10 км/ч, на третьем – 0 км/ч.

Средняя скорость тела за время движения

Средняя путевая скорость $v_{ср}$ вычисляется как отношение всего пройденного пути ко всему времени движения.

Весь пройденный путь: $s_{общ} = s_3 = 50 \text{ км}$.
Все время движения: $t_{общ} = t_3 = 3 \text{ ч}$.
Средняя скорость: $v_{ср} = \frac{s_{общ}}{t_{общ}} = \frac{50 \text{ км}}{3 \text{ ч}} \approx 16.7 \text{ км/ч}$.

Ответ: Средняя скорость тела за все время движения составляет примерно 16.7 км/ч.

Можно ли утверждать, что в моменты времени, соответствующие изломам графика, тело движется равномерно?

Изломы на графике находятся в точках $t = 0.5$ ч и $t = 1.5$ ч. В этих точках происходит изменение наклона графика, что означает изменение скорости движения.

В момент времени $t = 0.5$ ч скорость тела скачкообразно меняется с 80 км/ч до 10 км/ч.
В момент времени $t = 1.5$ ч скорость тела скачкообразно меняется с 10 км/ч до 0 км/ч.
Равномерным называется движение, при котором скорость тела постоянна. Поскольку в моменты изломов скорость изменяется, движение в эти моменты не является равномерным. Это моменты ускоренного (в данном идеализированном случае — с бесконечным ускорением) движения.

Ответ: Нет, нельзя. В моменты времени, соответствующие изломам графика, скорость тела изменяется, следовательно, движение не является равномерным.

7.42 [149] По данным условия задачи 7.39 постройте график скорости и определите отрезки пути, пройденные телом на каждом этапе движения. Постройте график средней скорости движения тела. Сравните площади под графиками.

Для решения задачи воспользуемся данными из условия задачи 7.39. В задаче 7.39 дан график зависимости ускорения от времени для тела, начинающего движение из состояния покоя.

Дано:

Начальная скорость: $v_0 = 0$ м/с.

Этап 1 (интервал времени от 0 до 2 с): ускорение постоянно и равно $a_1 = 2$ м/с².

Этап 2 (интервал времени от 2 до 5 с): ускорение равно $a_2 = 0$ м/с².

Этап 3 (интервал времени от 5 до 10 с): ускорение постоянно и равно $a_3 = -1$ м/с².

Найти:

1. График скорости $v(t)$.

2. Отрезки пути $s_1, s_2, s_3$, пройденные на каждом этапе.

3. График средней путевой скорости $v_{ср}(t)$.

4. Сравнить площади под графиками скорости $v(t)$ и модуля скорости $|v(t)|$.

Решение:

Постройте график скорости и определите отрезки пути, пройденные телом на каждом этапе движения.

Движение тела можно разбить на три этапа, на каждом из которых оно является равноускоренным.

Этап 1: $t \in [0, 2]$ с

Тело движется с постоянным ускорением $a_1 = 2$ м/с² из состояния покоя. Скорость изменяется по закону $v(t) = v_0 + a_1 t = 0 + 2t = 2t$.

В конце этапа, при $t=2$ с, скорость будет: $v(2) = 2 \cdot 2 = 4$ м/с.

Путь, пройденный на первом этапе, можно найти как площадь под графиком скорости (площадь треугольника) или по формуле: $s_1 = v_0 t_1 + \frac{a_1 t_1^2}{2} = 0 \cdot 2 + \frac{2 \cdot 2^2}{2} = 4$ м.

Этап 2: $t \in (2, 5]$ с

Ускорение $a_2 = 0$, следовательно, тело движется равномерно со скоростью, достигнутой в конце первого этапа: $v(t) = v(2) = 4$ м/с.

Путь, пройденный на втором этапе, равен: $s_2 = v(2) \cdot \Delta t_2 = 4 \cdot (5 - 2) = 4 \cdot 3 = 12$ м.

Этап 3: $t \in (5, 10]$ с

Тело движется с постоянным ускорением $a_3 = -1$ м/с². Начальная скорость для этого этапа равна скорости в конце второго этапа, $v(5) = 4$ м/с.

Скорость изменяется по закону: $v(t) = v(5) + a_3 (t - 5) = 4 - 1 \cdot (t - 5) = 4 - t + 5 = 9 - t$.

В конце этапа, при $t=10$ с, скорость будет: $v(10) = 9 - 10 = -1$ м/с.

Отрицательное значение скорости означает, что тело начало двигаться в обратном направлении. Найдем момент времени, когда скорость стала равна нулю: $v(t) = 0 \Rightarrow 9 - t = 0 \Rightarrow t = 9$ с.

Путь на третьем этапе состоит из двух частей: путь до остановки (от 5 до 9 с) и путь в обратном направлении (от 9 до 10 с).

Путь до остановки: $s_{3a} = \frac{v(5) + v(9)}{2} \cdot (9-5) = \frac{4+0}{2} \cdot 4 = 8$ м.

Путь в обратном направлении (модуль перемещения): $s_{3b} = |\frac{v(9) + v(10)}{2} \cdot (10-9)| = |\frac{0 + (-1)}{2} \cdot 1| = 0.5$ м.

Общий путь на третьем этапе: $s_3 = s_{3a} + s_{3b} = 8 + 0.5 = 8.5$ м.

График скорости $v(t)$:

График состоит из трех линейных участков:

• от $t=0$ до $t=2$ с: прямая, соединяющая точки $(0, 0)$ и $(2, 4)$;
• от $t=2$ с до $t=5$ с: горизонтальная прямая на уровне $v=4$ м/с, соединяющая точки $(2, 4)$ и $(5, 4)$;
• от $t=5$ с до $t=10$ с: прямая, соединяющая точки $(5, 4)$ и $(10, -1)$.

Ответ: Отрезки пути, пройденные телом на каждом этапе: $s_1 = 4$ м, $s_2 = 12$ м, $s_3 = 8.5$ м. График скорости описан выше.

Постройте график средней скорости движения тела.

Средняя путевая скорость определяется как отношение всего пройденного пути $s(t)$ к времени движения $t$: $v_{ср}(t) = \frac{s(t)}{t}$.

Найдем зависимость пройденного пути $s(t)$ от времени:

• При $t \in [0, 2]$ с: $s(t) = \frac{a_1 t^2}{2} = t^2$.
• При $t \in (2, 5]$ с: $s(t) = s_1 + v(2)(t-2) = 4 + 4(t-2) = 4t - 4$.
• При $t \in (5, 9]$ с: $s(t) = s_1 + s_2 + s_{3a}(t) = 16 + (v(5)(t-5) + \frac{a_3(t-5)^2}{2}) = 16 + 4(t-5) - \frac{(t-5)^2}{2} = -0.5t^2 + 9t - 16.5$.
• При $t \in (9, 10]$ с: $s(t) = s(9) + s_{3b}(t) = 24 + \frac{|a_3|(t-9)^2}{2} = 24 + \frac{(t-9)^2}{2} = 0.5t^2 - 9t + 64.5$.

Теперь найдем среднюю скорость $v_{ср}(t) = s(t)/t$:

• При $t \in (0, 2]$ с: $v_{ср}(t) = \frac{t^2}{t} = t$.
• При $t \in (2, 5]$ с: $v_{ср}(t) = \frac{4t-4}{t} = 4 - \frac{4}{t}$.
• При $t \in (5, 9]$ с: $v_{ср}(t) = \frac{-0.5t^2 + 9t - 16.5}{t} = -0.5t + 9 - \frac{16.5}{t}$.
• При $t \in (9, 10]$ с: $v_{ср}(t) = \frac{0.5t^2 - 9t + 64.5}{t} = 0.5t - 9 + \frac{64.5}{t}$.

График средней скорости $v_{ср}(t)$:

График состоит из нескольких участков кривых:

• от $t=0$ до $t=2$ с: прямая от $(0, 0)$ до $(2, 2)$;
• от $t=2$ с до $t=5$ с: кривая, идущая от $(2, 2)$ до $(5, 3.2)$;
• от $t=5$ с до $t=9$ с: кривая от $(5, 3.2)$ до $(9, 8/3 \approx 2.67)$, достигающая максимума $\approx 3.26$ м/с при $t=\sqrt{33} \approx 5.74$ с;
• от $t=9$ с до $t=10$ с: кривая, идущая от $(9, 8/3)$ до $(10, 2.45)$.

Ответ: График средней скорости является кусочно-заданной функцией, состоящей из линейного и нескольких криволинейных участков, как описано выше.

Сравните площади под графиками.

Сравним площади под двумя ключевыми графиками: графиком скорости $v(t)$ и графиком модуля скорости (путевой скорости) $|v(t)|$.

1. Площадь под графиком скорости $v(t)$. Эта площадь численно равна полному перемещению тела $\Delta x$ за всё время движения $T=10$ с. Площадь участков ниже оси времени вычитается.

$S_{v(t)} = \Delta x = s_1 + s_2 + \Delta x_3$.

Перемещение на третьем этапе: $\Delta x_3 = v(5)(10-5) + \frac{a_3(10-5)^2}{2} = 4 \cdot 5 + \frac{-1 \cdot 5^2}{2} = 20 - 12.5 = 7.5$ м.

Полное перемещение: $\Delta x = 4 + 12 + 7.5 = 23.5$ м.

Итак, площадь под графиком $v(t)$ равна $S_{v(t)} = 23.5$ м.

2. Площадь под графиком модуля скорости $|v(t)||$. Этот график получается из графика $v(t)$ отражением отрицательной части ($t \in (9, 10]$) относительно оси времени. Площадь под этим графиком численно равна полному пройденному пути $s_{полн}$.

$S_{|v(t)|} = s_{полн} = s_1 + s_2 + s_3 = 4 + 12 + 8.5 = 24.5$ м.

Сравнение:

$S_{|v(t)|} = 24.5$ м, а $S_{v(t)} = 23.5$ м.

Таким образом, $S_{|v(t)|} > S_{v(t)}$. Площадь под графиком модуля скорости (полный путь) больше площади под графиком скорости (полное перемещение). Это связано с тем, что на последнем этапе тело меняло направление движения, и пройденный путь оказался больше модуля перемещения.

Ответ: Площадь под графиком модуля скорости $S_{|v(t)|} = 24.5$ м, она представляет собой полный пройденный путь. Площадь под графиком скорости $S_{v(t)} = 23.5$ м, она представляет собой полное перемещение. Поскольку тело меняло направление движения, пройденный путь больше перемещения, и, соответственно, $S_{|v(t)|} > S_{v(t)}$.