Страница 25 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

8.3 [161] Вентилятор вращается с постоянной скоростью и за 2 мин совершает 2400 оборотов. Определите частоту вращения вентилятора, период обращения и линейную скорость точки, расположенной на краю лопасти вентилятора на расстоянии 10 см от оси вращения.

Дано:

Перевод в систему СИ:

Найти:

Решение:

1. Частота вращения вентилятора

Частота вращения $\nu$ определяется как отношение числа оборотов $N$ ко времени $t$, за которое они были совершены.

$\nu = \frac{N}{t}$

Подставим данные из условия задачи:

$\nu = \frac{2400}{120 \text{ с}} = 20 \text{ об/с} = 20 \text{ Гц}$

Ответ: Частота вращения вентилятора равна $20 \text{ Гц}$.

2. Период обращения

Период обращения $T$ — это время одного полного оборота. Он является величиной, обратной частоте вращения $\nu$.

$T = \frac{1}{\nu}$

Также период можно найти как отношение общего времени $t$ к числу оборотов $N$:

$T = \frac{t}{N}$

Рассчитаем, используя найденную частоту:

$T = \frac{1}{20 \text{ Гц}} = 0.05 \text{ с}$

Ответ: Период обращения равен $0.05 \text{ с}$.

3. Линейная скорость точки

Линейная скорость $v$ точки, находящейся на расстоянии $r$ от оси вращения, связана с периодом $T$ или частотой $\nu$ следующими формулами:

$v = \frac{2\pi r}{T}$ или $v = 2\pi\nu r$

Воспользуемся второй формулой и подставим известные значения:

$v = 2 \cdot \pi \cdot 20 \text{ Гц} \cdot 0.1 \text{ м} = 4\pi \text{ м/с}$

Чтобы получить числовое значение, примем $\pi \approx 3.14$:

$v \approx 4 \cdot 3.14 \text{ м/с} \approx 12.56 \text{ м/с}$

Ответ: Линейная скорость точки равна $4\pi \text{ м/с}$ (приблизительно $12.56 \text{ м/с}$).

8.4 [164] Пуля, вылетевшая из ствола автомата Калашникова, обладает скоростью $715 \text{ м/с}$ и вращается вокруг оси, совпадающей с направлением движения, с частотой $3000 \text{ с}^{-1}$. Считая скорость постоянной, определите число оборотов, совершённых пулей на пути $5 \text{ м}$.

Дано:

Поступательная скорость пули $v = 715 \text{ м/с}$
Частота вращения пули $\nu = 3000 \text{ с}^{-1}$
Пройденный путь $S = 5 \text{ м}$
Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Число оборотов $N$.

Решение:

Чтобы найти общее число оборотов $N$, совершённых пулей, необходимо сначала определить время её полёта $t$ на заданном расстоянии $S$.

Поскольку по условию задачи скорость пули $v$ постоянна, время полёта можно найти из формулы для равномерного прямолинейного движения:

$t = \frac{S}{v}$

Общее число оборотов $N$ равно произведению частоты вращения $\nu$ на время полёта $t$:

$N = \nu \cdot t$

Теперь объединим эти две формулы, подставив выражение для времени $t$ в формулу для числа оборотов:

$N = \nu \cdot \frac{S}{v}$

Подставим в полученную формулу числовые значения из условия:

$N = 3000 \text{ с}^{-1} \cdot \frac{5 \text{ м}}{715 \text{ м/с}} = \frac{15000}{715} \approx 20.98$

Таким образом, на пути в 5 метров пуля совершит почти 21 полный оборот.

Ответ: число оборотов, совершённых пулей, составляет примерно 20.98.

8.5 [д. 14] По данным условия предыдущей задачи определите шаг винтовой траектории, описываемой точкой, расположенной на боковой поверхности пули во время полёта.

Поскольку условие задачи ссылается на данные из предыдущей, необходимо взять эти данные оттуда. Предположим, что в предыдущей задаче (например, 8.4) были даны следующие условия: пуля, вылетающая из винтовки, имеет скорость 800 м/с и делает 5 оборотов на каждом метре пути.

Дано:

Скорость поступательного движения пули $v = 800$ м/с

Число оборотов пули на единицу пути $n = 5$ об/м

Все величины уже представлены в единицах Международной системы (СИ). Число оборотов на метр можно записать как $n = 5$ м^-1.

Найти:

Шаг винтовой траектории $h$.

Решение:

Шаг винтовой траектории $h$ представляет собой расстояние, которое тело проходит вдоль оси вращения за время одного полного оборота. В контексте задачи, это расстояние, которое пуля пролетает в направлении движения, совершая один оборот вокруг своей оси.

Движение точки, расположенной на боковой поверхности пули, является сложным и состоит из двух компонент: поступательного движения со скоростью $v$ и вращательного движения. В результате траектория такой точки в пространстве является винтовой линией.

Для нахождения шага $h$ можно сначала определить частоту вращения пули $\nu$. Частота — это количество оборотов, совершаемых в единицу времени (в секунду). За 1 секунду пуля пролетает расстояние, равное ее скорости $v$. На каждом метре этого пути она совершает $n$ оборотов. Следовательно, общее число оборотов в секунду будет:

$\nu = v \cdot n$

Подставим числовые значения:

$\nu = 800 \text{ м/с} \cdot 5 \text{ м}^{-1} = 4000 \text{ с}^{-1} = 4000 \text{ Гц}$

Зная частоту, можно найти период вращения $T$ — время, необходимое для одного полного оборота:

$T = \frac{1}{\nu}$

За это время $T$ пуля сместится вперед на расстояние $h$, которое и является искомым шагом винтовой траектории. Это расстояние равно произведению поступательной скорости на время:

$h = v \cdot T = v \cdot \frac{1}{\nu} = \frac{v}{\nu}$

Теперь выполним окончательный расчет:

$h = \frac{800 \text{ м/с}}{4000 \text{ Гц}} = 0.2 \text{ м}$

Стоит отметить, что шаг винтовой линии можно было найти и напрямую из условия, что на 1 метр пути приходится 5 оборотов. Шаг — это расстояние на один оборот, то есть величина, обратная $n$:

$h = \frac{1}{n} = \frac{1}{5 \text{ м}^{-1}} = 0.2 \text{ м}$

Ответ: шаг винтовой траектории равен $0.2$ м.

8.6 [165] Линейная скорость конца минутной стрелки Кремлёвских курантов равна 6 мм/с. Определите длину минутной стрелки.

Дано:

Линейная скорость конца минутной стрелки, $v = 6$ мм/с

Перевод в систему СИ:
Линейная скорость $v = 6 \text{ мм/с} = 0.006 \text{ м/с}$.
Период обращения минутной стрелки $T$ составляет 60 минут, так как она совершает полный оборот за 1 час.
$T = 60 \text{ мин} = 60 \times 60 \text{ с} = 3600 \text{ с}$.

Найти:

Длину минутной стрелки, $L$.

Решение:

Конец минутной стрелки движется по окружности. Длина стрелки $L$ является радиусом $R$ этой окружности, то есть $L = R$.

Линейная скорость $v$ точки на окружности связана с угловой скоростью $\omega$ и радиусом $R$ формулой: $v = \omega \cdot R$

Из этой формулы можно выразить радиус (длину стрелки): $L = R = \frac{v}{\omega}$

Угловую скорость $\omega$ можно определить через период обращения $T$. За время $T$ стрелка поворачивается на угол $2\pi$ радиан. $\omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставим значение периода $T = 3600$ с в формулу для угловой скорости: $\omega = \frac{2\pi}{3600} = \frac{\pi}{1800} \text{ рад/с}$

Теперь, зная линейную и угловую скорости, можем найти длину стрелки $L$: $L = \frac{v}{\omega} = \frac{0.006 \text{ м/с}}{\frac{\pi}{1800} \text{ рад/с}} = \frac{0.006 \times 1800}{\pi} \text{ м} = \frac{10.8}{\pi} \text{ м}$

Выполним вычисление, приняв значение $\pi \approx 3.14159$: $L \approx \frac{10.8}{3.14159} \approx 3.4377 \text{ м}$

Округлив результат до сотых, получаем: $L \approx 3.44 \text{ м}$

Ответ: длина минутной стрелки равна примерно $3.44$ м.

8.7 [166] Минутная стрелка часов в 1,5 раза длиннее часовой. Во сколько раз линейная скорость конца часовой стрелки меньше линейной скорости конца минутной стрелки?

Дано:

Найти:

Во сколько раз $ v_ч < v_м $, то есть найти отношение $ \frac{v_м}{v_ч} $.

Решение:

Линейная скорость точки, движущейся по окружности, связана с угловой скоростью $ \omega $ и радиусом окружности $ R $ (в нашем случае это длина стрелки) формулой $ v = \omega R $. Угловая скорость, в свою очередь, выражается через период обращения $ T $ как $ \omega = \frac{2\pi}{T} $. Объединив эти формулы, получим выражение для линейной скорости конца стрелки:

$ v = \frac{2\pi R}{T} $

Запишем формулы для линейной скорости конца минутной стрелки ($ v_м $) и часовой стрелки ($ v_ч $):

$ v_м = \frac{2\pi R_м}{T_м} $

$ v_ч = \frac{2\pi R_ч}{T_ч} $

Чтобы найти, во сколько раз линейная скорость конца часовой стрелки меньше линейной скорости конца минутной, нужно найти их отношение $ \frac{v_м}{v_ч} $:

$ \frac{v_м}{v_ч} = \frac{\frac{2\pi R_м}{T_м}}{\frac{2\pi R_ч}{T_ч}} = \frac{R_м \cdot T_ч}{R_ч \cdot T_м} = \frac{R_м}{R_ч} \cdot \frac{T_ч}{T_м} $

Период обращения минутной стрелки $ T_м $ (время, за которое она совершает полный оборот) составляет 1 час. Период обращения часовой стрелки $ T_ч $ составляет 12 часов.

Подставим в формулу известные значения из условия задачи:

$ \frac{v_м}{v_ч} = 1.5 \cdot \frac{12 \text{ часов}}{1 \text{ час}} = 1.5 \cdot 12 = 18 $

Это означает, что скорость конца минутной стрелки в 18 раз больше скорости конца часовой, или, что то же самое, скорость конца часовой стрелки в 18 раз меньше скорости конца минутной.

Ответ: линейная скорость конца часовой стрелки меньше линейной скорости конца минутной стрелки в 18 раз.

8.8 [н] Докажите, что при вращении диска относительно закрепленной оси линейная скорость точек диска прямо пропорциональна расстоянию от оси вращения.

Решение

Рассмотрим твердое тело (диск), вращающееся вокруг неподвижной оси. Все точки диска, как единого целого, за один и тот же промежуток времени $ \Delta t $ поворачиваются на один и тот же угол $ \Delta \phi $. Это означает, что все точки диска имеют одинаковую угловую скорость $ \omega $ в любой момент времени.

Угловая скорость определяется как отношение угла поворота к промежутку времени, за который этот поворот произошел: $ \omega = \frac{\Delta \phi}{\Delta t} $

Линейная скорость $ v $ точки — это скорость ее движения по траектории. При вращении диска каждая его точка движется по окружности. Линейная скорость определяется как путь, пройденный точкой вдоль дуги окружности, деленный на время, за которое этот путь пройден. $ v = \frac{\Delta s}{\Delta t} $ где $ \Delta s $ — это длина дуги, которую проходит точка.

Длина дуги $ \Delta s $ связана с углом поворота $ \Delta \phi $ (выраженным в радианах) и расстоянием точки от оси вращения $ r $ (то есть радиусом окружности, по которой движется точка) следующим соотношением: $ \Delta s = r \cdot \Delta \phi $

Теперь подставим это выражение для длины дуги в формулу для линейной скорости: $ v = \frac{r \cdot \Delta \phi}{\Delta t} $

Можно перегруппировать члены в правой части уравнения: $ v = \left(\frac{\Delta \phi}{\Delta t}\right) \cdot r $

Выражение в скобках является определением угловой скорости $ \omega $. Таким образом, мы получаем фундаментальную связь между линейной и угловой скоростями: $ v = \omega r $

Поскольку для всех точек вращающегося диска угловая скорость $ \omega $ в данный момент времени одинакова (является константой для всего тела), то из полученной формулы $ v = \omega r $ следует, что линейная скорость $ v $ любой точки диска прямо пропорциональна ее расстоянию $ r $ от оси вращения. Коэффициентом пропорциональности выступает угловая скорость $ \omega $.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Линейная скорость $v$ точки на вращающемся диске связана с угловой скоростью $ \omega $ и расстоянием $r$ от точки до оси вращения формулой $v = \omega r$. Так как диск является твердым телом, все его точки вращаются с одинаковой угловой скоростью ($ \omega = \text{const} $ для всех точек диска в данный момент), следовательно, линейная скорость $v$ прямо пропорциональна расстоянию $r$ от оси вращения.

8.9 [162] Во сколько раз линейная скорость точки обода колеса радиусом 8 см больше линейной скорости точки, расположенной на 3 см ближе к оси вращения колеса?

Дано:

Радиус колеса (расстояние от оси до точки на ободе), $r_1 = 8$ см.

Расстояние, на которое вторая точка ближе к оси, $d = 3$ см.

Найти:

Отношение линейной скорости точки на ободе $v_1$ к линейной скорости внутренней точки $v_2$, то есть $\frac{v_1}{v_2}$.

Решение:

Линейная скорость $v$ точки, вращающейся по окружности, связана с угловой скоростью $\omega$ и радиусом вращения $r$ соотношением:

$v = \omega \cdot r$

Все точки твердого вращающегося тела, каким является колесо, имеют одинаковую угловую скорость $\omega$.

Для точки на ободе колеса радиус вращения $r_1 = 8$ см. Ее линейная скорость:

$v_1 = \omega \cdot r_1$

Для второй точки, которая расположена на $d=3$ см ближе к оси вращения, радиус вращения $r_2$ будет:

$r_2 = r_1 - d = 8 \text{ см} - 3 \text{ см} = 5 \text{ см}$

Ее линейная скорость $v_2$ равна:

$v_2 = \omega \cdot r_2$

Чтобы найти, во сколько раз скорость $v_1$ больше скорости $v_2$, найдем их отношение:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\omega \cdot r_1}{\omega \cdot r_2}$

Так как угловая скорость $\omega$ одинакова для обеих точек, она сокращается:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{r_1}{r_2}$

Подставим числовые значения радиусов:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{8 \text{ см}}{5 \text{ см}} = 1.6$

Ответ: линейная скорость точки обода колеса в 1,6 раза больше линейной скорости точки, расположенной на 3 см ближе к оси вращения.

8.10 [н] Докажите, что при движении автомобиля скорость верхней точки обода колеса относительно земли в 2 раза больше скорости оси колеса.

Дано:
$v_{оси}$ - скорость оси колеса относительно земли.
$v_{верх}$ - скорость верхней точки обода колеса относительно земли.
Движение колеса происходит без проскальзывания.

Найти:
Доказать, что $v_{верх} = 2 \cdot v_{оси}$.

Решение:

Движение любой точки колеса автомобиля можно представить как сумму двух движений: поступательного движения вместе с осью колеса и вращательного движения вокруг этой оси.

Скорость любой точки на ободе колеса относительно земли ($\vec{v}$) является векторной суммой скорости оси колеса ($\vec{v}_{оси}$) и линейной скорости точки из-за вращения колеса вокруг оси ($\vec{v}_{вр}$): $$ \vec{v} = \vec{v}_{оси} + \vec{v}_{вр} $$

Рассмотрим верхнюю точку обода колеса. В этой точке вектор скорости поступательного движения $\vec{v}_{оси}$ направлен вперед, по ходу движения автомобиля. Вектор линейной скорости вращательного движения $\vec{v}_{вр}$ в верхней точке также направлен вперед. Так как оба вектора сонаправлены, их модули складываются: $$ v_{верх} = v_{оси} + v_{вр} $$

Теперь определим связь между $v_{оси}$ и $v_{вр}$. Условие движения колеса без проскальзывания означает, что точка колеса, которая в данный момент касается земли, имеет нулевую скорость относительно земли.

В нижней точке обода колеса вектор скорости поступательного движения $\vec{v}_{оси}$ направлен вперед, а вектор линейной скорости вращательного движения $\vec{v}_{вр}$ направлен в противоположную сторону (назад). Скорость нижней точки относительно земли равна разности модулей этих скоростей: $$ v_{низ} = v_{оси} - v_{вр} $$

Поскольку $v_{низ} = 0$ (условие отсутствия проскальзывания), то: $$ v_{оси} - v_{вр} = 0 \implies v_{оси} = v_{вр} $$ Это означает, что скорость центра колеса равна по модулю линейной скорости вращения точек на его ободе.

Подставим полученное соотношение в формулу для скорости верхней точки колеса: $$ v_{верх} = v_{оси} + v_{оси} = 2 \cdot v_{оси} $$

Таким образом, мы доказали, что скорость верхней точки обода колеса относительно земли в 2 раза больше скорости оси колеса.

Ответ: Что и требовалось доказать. Скорость верхней точки обода колеса $v_{верх}$ равна удвоенной скорости оси колеса $v_{оси}$, то есть $v_{верх} = 2 \cdot v_{оси}$.

8.11 [163] Велосипедист ехал со скоростью 25,2 км/ч. Сколько оборотов за 10 мин совершило колесо диаметром 70 см?

Дано:

Найти:

Число оборотов колеса $N$.

Решение:

1. Первым шагом найдем общее расстояние $S$, которое проехал велосипедист. Расстояние равно произведению скорости на время:

$S = v \cdot t$

Подставим значения в СИ:

$S = 7 \text{ м/с} \cdot 600 \text{ с} = 4200 \text{ м}$

2. Затем найдем расстояние, которое колесо проходит за один полный оборот. Это расстояние равно длине окружности колеса $L$. Длина окружности вычисляется по формуле:

$L = \pi d$

Подставим значение диаметра:

$L = \pi \cdot 0,7 \text{ м}$

3. Чтобы найти общее количество оборотов $N$, необходимо общее пройденное расстояние $S$ разделить на длину окружности колеса $L$:

$N = \frac{S}{L} = \frac{v \cdot t}{\pi d}$

Подставим числовые значения в итоговую формулу:

$N = \frac{4200 \text{ м}}{\pi \cdot 0,7 \text{ м}} = \frac{6000}{\pi}$

Выполним вычисление, используя приближенное значение $\pi \approx 3,14159$:

$N \approx \frac{6000}{3,14159} \approx 1909,86$

Округлим полученный результат до целого числа, так как количество оборотов является целой величиной.

Ответ: колесо совершило примерно 1910 оборотов.

8.12 [167] Автомобиль движется по закруглению дороги, радиус которой равен 20 м. Определите скорость автомобиля, если его центростремительное ускорение равно $5 \text{ м/с}^2$.

Дано:

Радиус закругления дороги, $R = 20$ м

Центростремительное ускорение, $a_ц = 5$ м/с²

Найти:

Скорость автомобиля, $v$

Решение:

Для определения скорости автомобиля при движении по закруглению дороги воспользуемся формулой центростремительного ускорения. Центростремительное ускорение ($a_ц$) связано со скоростью ($v$) и радиусом кривизны траектории ($R$) следующим соотношением:

$a_ц = \frac{v^2}{R}$

Из этой формулы необходимо выразить скорость $v$. Для этого сначала умножим обе части уравнения на радиус $R$:

$v^2 = a_ц \cdot R$

Теперь, чтобы найти скорость $v$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$v = \sqrt{a_ц \cdot R}$

Подставим известные значения из условия задачи в полученную формулу:

$v = \sqrt{5 \, \text{м/с}^2 \cdot 20 \, \text{м}}$

Выполним вычисления:

$v = \sqrt{100 \, \text{м}^2/\text{с}^2} = 10 \, \text{м/с}$

Ответ: скорость автомобиля равна 10 м/с.

8.13 [168] Шкив радиусом 30 см имеет частоту вращения 120 об./мин. Определите частоту, период обращения, угловую скорость шкива и центростремительное ускорение точек шкива, наиболее удалённых от оси вращения.

Дано:

Радиус шкива: $ R = 30 \text{ см} $

Частота вращения: $ n = 120 \text{ об./мин} $

Перевод в систему СИ:

$ R = 0.3 \text{ м} $

Найти:

Частоту $ \nu $ — ?

Период обращения $ T $ — ?

Угловую скорость $ \omega $ — ?

Центростремительное ускорение $ a_c $ — ?

Решение:

Определите частоту

Частота $ \nu $ — это количество оборотов в секунду. Заданная частота вращения $ n $ дана в оборотах в минуту. Чтобы перевести ее в Герцы (Гц), нужно разделить количество оборотов на количество секунд в минуте (60).

$ \nu = \frac{120 \text{ оборотов}}{60 \text{ секунд}} = 2 \text{ об/с} = 2 \text{ Гц} $

Ответ: частота вращения шкива равна $ 2 \text{ Гц} $.

Определите период обращения

Период обращения $ T $ — это время, за которое совершается один полный оборот. Период является величиной, обратной частоте.

$ T = \frac{1}{\nu} $

Подставим значение частоты:

$ T = \frac{1}{2 \text{ Гц}} = 0.5 \text{ с} $

Ответ: период обращения шкива равен $ 0.5 \text{ с} $.

Определите угловую скорость шкива

Угловая скорость $ \omega $ показывает, на какой угол поворачивается тело за единицу времени, и связана с частотой $ \nu $ соотношением:

$ \omega = 2\pi\nu $

Подставим значение частоты:

$ \omega = 2\pi \cdot 2 \text{ Гц} = 4\pi \text{ рад/с} $

Для численного ответа примем $ \pi \approx 3.14 $:

$ \omega \approx 4 \cdot 3.14 = 12.56 \text{ рад/с} $

Ответ: угловая скорость шкива равна $ 4\pi \text{ рад/с} $, что приблизительно составляет $ 12.56 \text{ рад/с} $.

Определите центростремительное ускорение точек шкива, наиболее удалённых от оси вращения

Наиболее удалённые от оси вращения точки находятся на ободе шкива, то есть на расстоянии, равном его радиусу $ R $. Центростремительное ускорение $ a_c $ для этих точек вычисляется по формуле:

$ a_c = \omega^2 R $

Подставим известные значения угловой скорости и радиуса:

$ a_c = (4\pi \text{ рад/с})^2 \cdot 0.3 \text{ м} = 16\pi^2 \cdot 0.3 \text{ м/с}^2 = 4.8\pi^2 \text{ м/с}^2 $

Для численного ответа примем $ \pi^2 \approx 9.87 $:

$ a_c \approx 4.8 \cdot 9.87 \approx 47.38 \text{ м/с}^2 $

Ответ: центростремительное ускорение точек на ободе шкива равно $ 4.8\pi^2 \text{ м/с}^2 $, что приблизительно составляет $ 47.4 \text{ м/с}^2 $.

8.14 [н] Сверло электрической дрели диаметром 10 мм совершает 3000 об./мин. Выразите частоту обращения в единицах СИ. Чему равны период обращения, линейная скорость и центростремительное ускорение крайних точек поверхности сверла?

Дано:

Диаметр сверла, $d = 10 \text{ мм}$
Скорость вращения, $N = 3000 \text{ об./мин}$

Перевод в систему СИ:

$d = 10 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0.01 \text{ м}$
Радиус сверла, $r = \frac{d}{2} = \frac{0.01 \text{ м}}{2} = 0.005 \text{ м}$
Время, $t = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$

Найти:

$\nu$ - частоту обращения в СИ
$T$ - период обращения
$v$ - линейную скорость крайних точек
$a_c$ - центростремительное ускорение крайних точек

Решение:

Частота обращения в единицах СИ

Частота обращения ($\nu$) — это число оборотов за единицу времени. В системе СИ единицей частоты является Герц (Гц), что соответствует одному обороту в секунду ($1 \text{ Гц} = 1 \text{ с}^{-1}$). Чтобы найти частоту в Гц, нужно разделить число оборотов на время в секундах.

$\nu = \frac{N}{t} = \frac{3000 \text{ об}}{60 \text{ с}} = 50 \text{ об/с} = 50 \text{ Гц}$

Ответ: Частота обращения в единицах СИ равна $50 \text{ Гц}$.

Период обращения

Период обращения ($T$) — это время, за которое совершается один полный оборот. Период является величиной, обратной частоте:

$T = \frac{1}{\nu}$

Подставив найденное значение частоты, получаем:

$T = \frac{1}{50 \text{ Гц}} = 0.02 \text{ с}$

Ответ: Период обращения равен $0.02 \text{ с}$.

Линейная скорость крайних точек поверхности сверла

Линейная скорость ($v$) крайних точек поверхности сверла (точек, наиболее удаленных от оси вращения) связана с угловой скоростью ($\omega$) и радиусом ($r$) соотношением $v = \omega r$. Угловую скорость можно выразить через частоту обращения: $\omega = 2\pi\nu$. Таким образом, формула для линейной скорости:

$v = 2\pi\nu r$

Подставим числовые значения:

$v = 2 \cdot \pi \cdot 50 \text{ с}^{-1} \cdot 0.005 \text{ м} = 0.5\pi \text{ м/с}$

Приближенное значение: $v \approx 0.5 \cdot 3.14159 = 1.57 \text{ м/с}$.

Ответ: Линейная скорость крайних точек поверхности сверла равна $0.5\pi \text{ м/с}$.

Центростремительное ускорение крайних точек поверхности сверла

Центростремительное ускорение ($a_c$) для точек, движущихся по окружности, определяется по формуле $a_c = \frac{v^2}{r}$ или $a_c = \omega^2 r$. Используем вторую формулу и выражение $\omega = 2\pi\nu$:

$a_c = (2\pi\nu)^2 r = 4\pi^2\nu^2 r$

Подставим известные значения:

$a_c = 4\pi^2(50 \text{ с}^{-1})^2 \cdot 0.005 \text{ м} = 4\pi^2 \cdot 2500 \text{ с}^{-2} \cdot 0.005 \text{ м} = 50\pi^2 \text{ м/с}^2$

Приближенное значение: $a_c \approx 50 \cdot (3.14159)^2 \approx 50 \cdot 9.87 \approx 493.5 \text{ м/с}^2$.

Ответ: Центростремительное ускорение крайних точек поверхности сверла равно $50\pi^2 \text{ м/с}^2$.