Страница 26 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

8.15 [н] На какой угол при суточном вращении Земли поворачиваются за 40 минут меридианы городов: Лондона; Москвы; Токио?

Дано:

Период суточного вращения Земли, $T = 24 \text{ ч}$

Полный угол поворота, $\Delta \varphi_{полн} = 360^\circ$

Промежуток времени, $t = 40 \text{ мин}$

Перевод в систему СИ:

$T = 24 \text{ ч} = 24 \times 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$

$\Delta \varphi_{полн} = 360^\circ = 2\pi \text{ рад}$

$t = 40 \text{ мин} = 40 \times 60 \text{ с} = 2400 \text{ с}$

Найти:

Угол поворота меридианов, $\Delta \varphi$

Решение:

Угловая скорость суточного вращения Земли $\omega$ является величиной постоянной и одинаковой для всех точек на ее поверхности. Это означает, что угол поворота любого меридиана за определенный промежуток времени не зависит от его географического положения (то есть, от города). Следовательно, углы поворота для меридианов Лондона, Москвы и Токио будут одинаковыми.

Найдем угловую скорость вращения Земли. Земля совершает полный оборот $\Delta \varphi_{полн} = 360^\circ$ за период $T = 24 \text{ часа}$. Выразим период в минутах для удобства расчетов:

$T = 24 \text{ ч} = 24 \times 60 \text{ мин} = 1440 \text{ мин}$

Угловая скорость $\omega$ определяется как отношение угла поворота ко времени: $\omega = \frac{\Delta \varphi_{полн}}{T} = \frac{360^\circ}{1440 \text{ мин}} = 0.25 \frac{\text{град}}{\text{мин}}$

Теперь найдем угол поворота $\Delta \varphi$ за промежуток времени $t = 40 \text{ минут}$, используя формулу для равномерного вращательного движения: $\Delta \varphi = \omega \cdot t$

Подставим числовые значения: $\Delta \varphi = 0.25 \frac{\text{град}}{\text{мин}} \cdot 40 \text{ мин} = 10^\circ$

Таким образом, за 40 минут меридиан любого города повернется на $10^\circ$.

Лондона;

Меридиан Лондона за 40 минут повернется на $10^\circ$.

Ответ: $10^\circ$

Москвы;

Меридиан Москвы за 40 минут повернется на $10^\circ$.

Ответ: $10^\circ$

Токио?

Меридиан Токио за 40 минут повернется на $10^\circ$.

Ответ: $10^\circ$

8.16 [169] Для точек земной поверхности на широте Санкт-Петербурга (60°) определите линейную скорость и ускорение, испытываемое ими вследствие суточного вращения Земли (рис. II-16). Радиус Земли считайте равным 6370 км.

Рис. II-16

Дано:

Найти:

Решение:

Точки на поверхности Земли на широте $\phi$ участвуют в суточном вращении, двигаясь по окружности, плоскость которой параллельна плоскости экватора. Радиус этой окружности $r$ зависит от радиуса Земли $R_З$ и широты $\phi$. Из рисунка видно, что радиус вращения $r$ можно найти из прямоугольного треугольника:

$r = R_З \cos(\phi)$

Угловая скорость $\omega$ вращения Земли постоянна для всех точек и определяется как отношение полного угла ($2\pi$ радиан) к периоду вращения $T$.

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставим числовые значения для $r$ и $\omega$:

$r = 6.37 \times 10^6 \text{ м} \times \cos(60^\circ) = 6.37 \times 10^6 \text{ м} \times 0.5 = 3.185 \times 10^6 \text{ м}$

$\omega = \frac{2\pi}{86400 \text{ с}} \approx 7.272 \times 10^{-5} \text{ рад/с}$

Линейная скорость

Линейная скорость $v$ точки на вращающейся окружности радиусом $r$ определяется по формуле:

$v = \omega r$

Подставим вычисленные значения $\omega$ и $r$:

$v \approx (7.272 \times 10^{-5} \text{ рад/с}) \times (3.185 \times 10^6 \text{ м}) \approx 231.65 \text{ м/с}$

Округлив до трех значащих цифр, получаем:

$v \approx 232 \text{ м/с}$

Ответ: линейная скорость составляет примерно $232 \text{ м/с}$.

Ускорение

При равномерном движении по окружности точки испытывают центростремительное ускорение $a$, которое направлено к центру окружности вращения (к оси вращения Земли). Оно вычисляется по формуле:

$a = \omega^2 r$

Подставим значения:

$a \approx (7.272 \times 10^{-5} \text{ рад/с})^2 \times (3.185 \times 10^6 \text{ м}) \approx 5.288 \times 10^{-9} \text{ с}^{-2} \times 3.185 \times 10^6 \text{ м} \approx 0.01685 \text{ м/с}^2$

Округлив до двух значащих цифр, получаем:

$a \approx 0.017 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение составляет примерно $0.017 \text{ м/с}^2$.

8.17 [д. 19] Космический корабль «Восток-3» за время 95 мин совершил 64 оборота вокруг Земли на высоте 230 км над её поверхностью. Определите период обращения корабля, считая орбиту круговой. С какими угловой и линейной скоростями двигался корабль? Чему равно его центростремительное ускорение?

Дано:

Количество оборотов, $N = 64$
Общее время полета, $t_{общ} = 95$ мин
Высота орбиты над поверхностью Земли, $h = 230$ км
Средний радиус Земли, $R_З = 6400$ км (справочное значение)

Примечание: В условии задачи, скорее всего, допущена опечатка. Исторически, полет корабля «Восток-3» длился почти 4 суток (около 95 часов) и составил 64 витка. Время 95 минут — это примерный период одного витка, а не время всего полета. Если принять данные условия буквально ($t_{общ}=95$ мин), то период одного оборота составит $T = 95/64 \approx 1.5$ минуты, что физически невозможно для спутника Земли. Поэтому в решении будет использовано скорректированное время полета $t_{общ} = 95$ часов.

Перевод в систему СИ:
$t_{общ} = 95 \text{ ч} = 95 \cdot 3600 \text{ с} = 342000 \text{ с}$
$h = 230 \text{ км} = 230 \cdot 1000 \text{ м} = 2.3 \cdot 10^5 \text{ м}$
$R_З = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 1000 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Период обращения, $T - ?$
Угловая скорость, $\omega - ?$
Линейная скорость, $v - ?$
Центростремительное ускорение, $a_ц - ?$

Решение:

Определите период обращения корабля, считая орбиту круговой.

Период обращения — это время, за которое тело совершает один полный оборот. Его можно найти, разделив общее время полета на количество совершенных оборотов.

$T = \frac{t_{общ}}{N}$

$T = \frac{342000 \text{ с}}{64} = 5343.75 \text{ с} \approx 5344 \text{ с}$

Для справки, переведем в минуты: $T \approx 5344 / 60 \approx 89.1$ мин. Это значение хорошо согласуется с периодом обращения спутников на низкой околоземной орбите.

Ответ: Период обращения корабля равен примерно $5344$ с.

С какими угловой и линейной скоростями двигался корабль?

Угловая скорость ($\omega$) связана с периодом обращения соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

$\omega = \frac{2 \cdot 3.14159}{5343.75 \text{ с}} \approx 0.001176 \text{ рад/с} \approx 1.18 \cdot 10^{-3} \text{ рад/с}$

Линейная скорость ($v$) для движения по окружности можно найти по формуле $v = \frac{2\pi r}{T}$, где $r$ - радиус орбиты.

Сначала найдем радиус орбиты. Он равен сумме радиуса Земли и высоты полета над поверхностью:

$r = R_З + h = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} + 0.23 \cdot 10^6 \text{ м} = 6.63 \cdot 10^6 \text{ м}$

Теперь можем вычислить линейную скорость:

$v = \frac{2 \cdot 3.14159 \cdot 6.63 \cdot 10^6 \text{ м}}{5343.75 \text{ с}} \approx 7795 \text{ м/с} \approx 7.8 \text{ км/с}$

Ответ: Угловая скорость корабля составляла примерно $1.18 \cdot 10^{-3}$ рад/с, а линейная скорость — около $7.8$ км/с.

Чему равно его центростремительное ускорение?

Центростремительное ускорение ($a_ц$) при движении по окружности можно вычислить по формуле:

$a_ц = \frac{v^2}{r}$

Воспользуемся ранее вычисленными значениями $v$ и $r$:

$a_ц = \frac{(7795 \text{ м/с})^2}{6.63 \cdot 10^6 \text{ м}} = \frac{60762025 \text{ м}^2/\text{с}^2}{6.63 \cdot 10^6 \text{ м}} \approx 9.17 \text{ м/с}^2$

Ответ: Центростремительное ускорение корабля равно примерно $9.17$ м/с².

8.18 [Д. 13] Концу лопасти воздушного винта самолёта Ил-114 сообщается центростремительное ускорение, равное $14000 \text{ м/с}^2$, при частоте вращения винта $780 \text{ об./мин.}$. Какую траекторию описывает конец лопасти во время полёта в системе отсчёта, связанной с Землёй? Чему равна его скорость, если скорость самолёта относительно Земли равна $500 \text{ км/ч}$?

Какую траекторию описывает конец лопасти во время полёта в системе отсчёта, связанной с Землёй?

В системе отсчёта, связанной с Землёй, конец лопасти участвует в двух движениях одновременно: во вращательном движении вокруг оси винта и в поступательном движении вместе с самолётом. Сложение этих двух движений (равномерного вращения по окружности и равномерного поступательного движения, перпендикулярного плоскости вращения) приводит к тому, что траектория конца лопасти представляет собой винтовую линию (спираль).

Ответ: Конец лопасти описывает винтовую линию.

Чему равна его скорость, если скорость самолёта относительно Земли равна 500 км/ч?

Дано:

$a_ц = 14000 \text{ м/с}^2$
$n = 780 \text{ об./мин}$
$v_{сам} = 500 \text{ км/ч}$

$n = 780 \frac{\text{об}}{\text{мин}} = \frac{780}{60} \frac{\text{об}}{\text{с}} = 13 \text{ Гц}$
$v_{сам} = 500 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 500 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{1250}{9} \text{ м/с} \approx 138.9 \text{ м/с}$

Найти:

$v_{полная}$

Решение:

Полная скорость конца лопасти относительно Земли ($v_{полная}$) является векторной суммой скорости поступательного движения самолёта ($v_{сам}$) и линейной скорости вращательного движения конца лопасти ($v_{вращ}$).

$\vec{v}_{полная} = \vec{v}_{сам} + \vec{v}_{вращ}$

Сначала найдём линейную скорость вращения конца лопасти. Для этого определим угловую скорость вращения $\omega$ через частоту $n$:

$\omega = 2\pi n = 2\pi \cdot 13 \text{ Гц} = 26\pi \text{ рад/с}$

Центростремительное ускорение связано с угловой и линейной скоростями соотношением $a_ц = \omega v_{вращ}$. Отсюда можем выразить линейную скорость вращения:

$v_{вращ} = \frac{a_ц}{\omega} = \frac{14000 \text{ м/с}^2}{26\pi \text{ рад/с}} \approx \frac{14000}{81.68} \text{ м/с} \approx 171.4 \text{ м/с}$

Вектор поступательной скорости самолёта $\vec{v}_{сам}$ направлен вдоль оси полёта, а вектор линейной скорости вращения $\vec{v}_{вращ}$ всегда лежит в плоскости вращения винта и перпендикулярен радиусу. Так как плоскость вращения винта перпендикулярна направлению полёта, то векторы $\vec{v}_{сам}$ и $\vec{v}_{вращ}$ всегда взаимно перпендикулярны.

Модуль полной скорости можно найти по теореме Пифагора:

$v_{полная} = \sqrt{v_{сам}^2 + v_{вращ}^2}$

Подставим числовые значения:

$v_{полная} = \sqrt{(138.9 \text{ м/с})^2 + (171.4 \text{ м/с})^2} \approx \sqrt{19293 + 29378} \text{ м/с} = \sqrt{48671} \text{ м/с} \approx 220.6 \text{ м/с}$

Округлим результат до трёх значащих цифр.

Ответ: $v_{полная} \approx 221 \text{ м/с}$.

8.19* [170*] Ось с двумя дисками, расположенными на расстоянии $0.5 \text{ м}$ друг от друга, вращается с частотой $1600 \text{ об./мин}$ (рис. II-17). Пуля, летящая вдоль оси на некотором расстоянии от неё, почти без изменения скорости пробивает оба диска. При этом отверстие от пули во втором диске смещено относительно отверстия в первом диске на угол $12^\circ$. Определите скорость пули на участке между дисками.

Рис. II-17

Дано:

Расстояние между дисками $l = 0,5 \text{ м}$
Частота вращения $n = 1600 \text{ об./мин}$
Угол смещения $\varphi = 12^\circ$

Переведем величины в систему СИ:
Частота вращения $\nu = \frac{1600}{60} \text{ об./с} = \frac{80}{3} \text{ Гц}$
Угол смещения в радианах $\varphi = 12^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{15} \text{ рад}$

Найти:

Скорость пули $v$.

Решение:

Время $t$, за которое пуля пролетает расстояние $l$ между дисками, можно определить из формулы равномерного прямолинейного движения, так как скорость пули почти не изменяется: $t = \frac{l}{v}$

За это время $t$ диски, вращаясь с постоянной угловой скоростью $\omega$, повернутся на угол $\varphi$. Связь между углом поворота, угловой скоростью и временем выражается формулой: $\varphi = \omega \cdot t$

Угловая скорость $\omega$ связана с частотой вращения $\nu$ соотношением: $\omega = 2\pi\nu$

Подставим выражения для $\omega$ и $t$ в формулу для угла поворота: $\varphi = (2\pi\nu) \cdot \frac{l}{v}$

Из этого соотношения выразим искомую скорость пули $v$: $v = \frac{2\pi\nu l}{\varphi}$

В условии сказано, что отверстие смещено на угол 12°. Это может означать, что диски повернулись на угол $\varphi_k = 12^\circ + 360^\circ \cdot k$, где $k = 0, 1, 2, ...$ — число полных оборотов. Скорость пули в общем виде будет: $v_k = \frac{2\pi\nu l}{\varphi_k}$.

Поскольку скорость пули — величина достаточно большая, наиболее вероятным является случай, когда диски не успели совершить ни одного полного оборота за время полета пули между ними. Поэтому мы принимаем $k=0$. Этот случай соответствует максимальной возможной скорости пули.

Подставим числовые значения в систему СИ в полученную формулу: $v = \frac{2\pi \cdot \frac{80}{3} \text{ Гц} \cdot 0,5 \text{ м}}{\frac{\pi}{15} \text{ рад}} = \frac{2\pi \cdot 80 \cdot 0,5 \cdot 15}{3 \cdot \pi} = \frac{80\pi \cdot 15}{3\pi}$

Сократим $\pi$ и выполним вычисления: $v = \frac{80 \cdot 15}{3} = 80 \cdot 5 = 400 \text{ м/с}$

Ответ: скорость пули на участке между дисками равна $400 \text{ м/с}$.