Страница 28 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

8.26 [д. 9] С какой целью две шестерни соединяют тремя различными способами так, как показано на рисунке II-20?

Рис. II-20

Все три показанных способа соединения шестерен (или зубчатых колес) являются видами механических передач. Их общая цель — передача вращательного движения от одного вала к другому, как правило, с изменением угловой скорости и крутящего момента. Однако каждый способ имеет свои уникальные особенности и применяется для достижения конкретных инженерных задач, связанных с направлением вращения и расстоянием между валами.

Во всех случаях изменение скорости вращения определяется передаточным отношением, которое зависит от соотношения числа зубьев шестерен $z_1$ и $z_2$. Угловая скорость ведомой шестерни $\omega_2$ связана с угловой скоростью ведущей шестерни $\omega_1$ формулой: $\frac{\omega_2}{\omega_1} = \frac{z_1}{z_2}$.

а) На этом рисунке показано внутреннее зубчатое зацепление. Главной особенностью такой передачи является то, что обе шестерни (внешняя 1 и внутренняя 2) вращаются в одном и том же направлении. Такую конструкцию применяют, когда требуется сохранить направление вращения и при этом получить очень компактный механизм, так как одна шестерня располагается внутри другой.

Ответ: Целью является передача вращения между близко расположенными валами с сохранением направления вращения и обеспечением высокой компактности механизма.

б) Здесь изображено внешнее зубчатое зацепление. Это самый распространенный тип зубчатой передачи. Его ключевая характеристика — шестерни вращаются в противоположных направлениях. Если ведущая шестерня 1 вращается по часовой стрелке, то ведомая шестерня 2 будет вращаться против часовой стрелки. Это простейший способ изменить направление вращения в механизме.

Ответ: Целью является передача вращения между близко расположенными валами с изменением направления вращения на противоположное.

в) Этот рисунок иллюстрирует цепную (или ременную) передачу. Такой способ соединения выбирают, когда необходимо передать вращение между валами, которые находятся на значительном расстоянии друг от друга. При таком соединении (называемом открытой передачей) оба колеса (звездочки) 1 и 2 вращаются в одном направлении.

Ответ: Целью является передача вращения между валами, расположенными на большом расстоянии друг от друга.

8.27 [Д. 10] Определите отношение линейных скоростей $v_2/v_1$ крайних точек шестерён и угловых скоростей $\omega_2/\omega_1$ на рисунке II-20, a, если отношение диаметров шестерён равно 2.

Дано:

Отношение диаметров шестерён: $d_2/d_1 = 2$.

Найти:

Отношение линейных скоростей $v_2/v_1$.

Отношение угловых скоростей $\omega_2/\omega_1$.

Решение:

Рассмотрим две шестерни, находящиеся в зацеплении. Условие зацепления без проскальзывания означает, что линейные скорости точек на их ободах (крайних точках) в месте контакта равны.

Следовательно, линейная скорость крайней точки первой шестерни $v_1$ равна линейной скорости крайней точки второй шестерни $v_2$: $v_1 = v_2$

Отсюда находим искомое отношение линейных скоростей: $\frac{v_2}{v_1} = 1$

Теперь найдём отношение угловых скоростей. Линейная скорость $v$ точки, вращающейся по окружности радиуса $r$ с угловой скоростью $\omega$, связана с ними соотношением: $v = \omega \cdot r$

Для первой и второй шестерён можно записать: $v_1 = \omega_1 \cdot r_1$ $v_2 = \omega_2 \cdot r_2$ где $r_1$ и $r_2$ — радиусы первой и второй шестерён соответственно.

Так как $v_1 = v_2$, мы можем приравнять правые части выражений: $\omega_1 \cdot r_1 = \omega_2 \cdot r_2$

Выразим из этого равенства искомое отношение угловых скоростей $\omega_2/\omega_1$: $\frac{\omega_2}{\omega_1} = \frac{r_1}{r_2}$

Радиус шестерни равен половине её диаметра ($r = d/2$), поэтому отношение радиусов равно отношению диаметров: $\frac{r_1}{r_2} = \frac{d_1/2}{d_2/2} = \frac{d_1}{d_2}$

По условию задачи, отношение диаметров шестерён равно 2. Будем считать, что это отношение $d_2/d_1 = 2$. Тогда обратное отношение равно: $\frac{d_1}{d_2} = \frac{1}{2} = 0.5$

Подставляем это значение в формулу для отношения угловых скоростей: $\frac{\omega_2}{\omega_1} = 0.5$

Ответ:

Отношение линейных скоростей крайних точек шестерён $v_2/v_1 = 1$.

Отношение угловых скоростей шестерён $\omega_2/\omega_1 = 0.5$.

8.28 [Д. 11] Каким должно быть отношение числа зубьев шестерён радиусами $R_1$ и $R_2$, чтобы обеспечить сцепление шестерён, изображённых на рисунке II-20, б?

Дано:

Найти:

Решение:

Для того чтобы две шестерни находились в сцеплении, необходимо, чтобы их зубья имели одинаковый шаг. Шаг зубьев $p$ — это расстояние между соответствующими точками соседних зубьев, измеренное вдоль делительной окружности. Радиусы $R_1$ и $R_2$, указанные в задаче, являются радиусами этих делительных окружностей.

Длина делительной окружности первой шестерни может быть выражена двумя способами: через её радиус $R_1$ и через число зубьев $z_1$ и шаг $p$.

Длина окружности через радиус: $L_1 = 2\pi R_1$.

Длина окружности через число зубьев: $L_1 = z_1 \cdot p$.

Приравнивая эти два выражения, получаем равенство для первой шестерни:

$2\pi R_1 = z_1 \cdot p$

Аналогичные рассуждения справедливы и для второй шестерни, у которой радиус $R_2$ и число зубьев $z_2$. Так как для сцепления шаг зубьев $p$ должен быть таким же, имеем:

$2\pi R_2 = z_2 \cdot p$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$ \begin{cases} 2\pi R_1 = z_1 \cdot p \\ 2\pi R_2 = z_2 \cdot p \end{cases} $

Чтобы найти отношение числа зубьев $\frac{z_1}{z_2}$, разделим первое уравнение на второе:

$\frac{2\pi R_1}{2\pi R_2} = \frac{z_1 \cdot p}{z_2 \cdot p}$

Сократив одинаковые множители ($2\pi$ в левой части и $p$ в правой), получим искомое отношение:

$\frac{R_1}{R_2} = \frac{z_1}{z_2}$

Таким образом, отношение числа зубьев шестерён должно быть равно отношению их радиусов.

Ответ: Отношение числа зубьев шестерён должно быть равно отношению их радиусов: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{R_1}{R_2}$.

8.29 [д. 12] Вычислите отношение центростремительных ускорений $a_1/a_2$, сообщаемых при вращении крайним точкам шестерён, соединённых цепью (см. рис. II-20, в)), если число зубьев $N_1 = 40$, а $N_2 = 16$. Что можно сказать о скоростях двух капель масла, слетающих с зубьев первой и второй шестерён?

Рис. II-20

Дано:

Вычислите отношение центростремительных ускорений $a_1/a_2$, сообщаемых при вращении крайним точкам шестерён

Поскольку шестерни соединены цепью (рис. II-20, в), линейные скорости точек на их ободах (на концах зубьев) равны между собой, так как они равны скорости движения цепи. Обозначим эту скорость как $v$.

$v_1 = v_2 = v$

Формула центростремительного ускорения: $a = \frac{v^2}{r}$, где $r$ — радиус вращения.

Ускорения для крайних точек первой и второй шестерён:

$a_1 = \frac{v_1^2}{r_1} = \frac{v^2}{r_1}$

$a_2 = \frac{v_2^2}{r_2} = \frac{v^2}{r_2}$

Найдём отношение этих ускорений:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{v^2/r_1}{v^2/r_2} = \frac{r_2}{r_1}$

Радиус шестерни прямо пропорционален числу её зубьев $N$ (так как шаг зубьев для работы в одной цепи должен быть одинаков). Следовательно, отношение радиусов равно отношению чисел зубьев:

$\frac{r_2}{r_1} = \frac{N_2}{N_1}$

Тогда отношение ускорений равно:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{N_2}{N_1}$

Подставляем числовые значения:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{16}{40} = \frac{2}{5} = 0.4$

Ответ: отношение центростремительных ускорений $\frac{a_1}{a_2} = 0.4$.

Что можно сказать о скоростях двух капель масла, слетающих с зубьев первой и второй шестерён?

Капля масла, которая слетает с зуба шестерни, в момент отрыва имеет скорость, равную мгновенной линейной скорости точки на краю этого зуба. Как было показано выше, из-за соединения цепью линейные скорости крайних точек обеих шестерён равны ($v_1 = v_2$).

Следовательно, модули скоростей капель масла, которые слетают с зубьев первой и второй шестерён, будут одинаковыми.

Ответ: скорости двух капель масла, слетающих с зубьев первой и второй шестерён, равны по величине.

8.30 [д. 22] Материальная точка движется по окружности радиусом $3 \text{ м}$ с постоянной по модулю скоростью $15 \text{ м/с}$ в направлении движения часовой стрелки. Изобразите прямоугольную систему координат $XOY$ в плоскости движения материальной точки с началом отсчёта в центре окружности. С помощью рисунка определите проекцию вектора скорости на ось $Y$ в моменты времени, когда проекция вектора скорости на ось $X$ равна $12 \text{ м/с}$. Чему равны угловая скорость точки, период, частота обращения и центростремительное ускорение?

Дано:
Радиус окружности, $R = 3 \text{ м}$
Линейная скорость, $v = 15 \text{ м/с}$
Проекция скорости на ось X, $v_x = 12 \text{ м/с}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:
Проекцию скорости на ось Y, $v_y - ?$
Угловую скорость, $\omega - ?$
Период обращения, $T - ?$
Частоту обращения, $\nu - ?$
Центростремительное ускорение, $a_c - ?$

Решение:

С помощью рисунка определите проекцию вектора скорости на ось Y в моменты времени, когда проекция вектора скорости на ось X равна 12 м/с.
Вектор мгновенной скорости $\vec{v}$ является касательным к траектории движения (окружности). Его модуль постоянен и равен $v = 15 \text{ м/с}$. Вектор скорости можно разложить на компоненты по осям X и Y: $\vec{v} = (v_x, v_y)$. Согласно теореме Пифагора, модуль вектора скорости связан с его проекциями соотношением:
$v^2 = v_x^2 + v_y^2$
Отсюда мы можем выразить проекцию скорости на ось Y:
$v_y^2 = v^2 - v_x^2$
$v_y = \pm \sqrt{v^2 - v_x^2}$
Подставим известные значения:
$v_y = \pm \sqrt{15^2 - 12^2} = \pm \sqrt{225 - 144} = \pm \sqrt{81} = \pm 9 \text{ м/с}$
Знак проекции $v_y$ зависит от положения точки на окружности. Так как $v_x = 12 \text{ м/с} > 0$, точка находится в правой полуплоскости (в I или IV координатной четверти).
1. Если точка находится в I четверти ($x>0, y>0$), то при движении по часовой стрелке ее скорость будет направлена вправо и вниз, следовательно, $v_x > 0$ и $v_y < 0$. В этом случае $v_y = -9 \text{ м/с}$.
2. Если точка находится в IV четверти ($x>0, y<0$), то при движении по часовой стрелке ее скорость будет направлена вправо и вверх, следовательно, $v_x > 0$ и $v_y > 0$. В этом случае $v_y = 9 \text{ м/с}$.
Таким образом, существуют два момента времени, в которые проекция скорости на ось X равна 12 м/с, и им соответствуют два значения проекции скорости на ось Y.

Ответ: $v_y = 9 \text{ м/с}$ или $v_y = -9 \text{ м/с}$.

Чему равны угловая скорость точки, период, частота обращения и центростремительное ускорение?
Угловая скорость $\omega$ связана с линейной скоростью $v$ и радиусом $R$ формулой $v = \omega R$:
$\omega = \frac{v}{R} = \frac{15 \text{ м/с}}{3 \text{ м}} = 5 \text{ рад/с}$

Период обращения $T$ — это время, за которое точка совершает один полный оборот. Его можно найти через угловую скорость: $T = \frac{2\pi}{\omega}$.
$T = \frac{2\pi}{5} \text{ с} \approx 1,26 \text{ с}$

Частота обращения $\nu$ — это величина, обратная периоду: $\nu = \frac{1}{T}$.
$\nu = \frac{1}{2\pi/5} = \frac{5}{2\pi} \text{ Гц} \approx 0,80 \text{ Гц}$

Центростремительное ускорение $a_c$ при движении по окружности рассчитывается по формуле $a_c = \frac{v^2}{R}$.
$a_c = \frac{(15 \text{ м/с})^2}{3 \text{ м}} = \frac{225}{3} \text{ м/с}^2 = 75 \text{ м/с}^2$

Ответ: угловая скорость $\omega = 5 \text{ рад/с}$; период $T = \frac{2\pi}{5} \text{ с} \approx 1,26 \text{ с}$; частота $\nu = \frac{5}{2\pi} \text{ Гц} \approx 0,80 \text{ Гц}$; центростремительное ускорение $a_c = 75 \text{ м/с}^2$.

8.31 [н] На рисунке II-21 изображена траектория движения материальной точки и векторы линейной скорости материальной точки в различные моменты времени. Определите модуль вектора скорости и знаки проекций вектора скорости в каждой из четвертей координатной плоскости XOY при заданном

Рис. II-21

направлении движения. Чему равны период и частота обращения? Чему равно центростремительное ускорение и как направлен его вектор?

Дано:

• Траектория движения — окружность с центром в начале координат.
• Радиус окружности (из графика): $R = 6 \text{ м}$
• Модуль линейной скорости (из графика): $v = 4 \text{ м/с}$
• Направление движения: против часовой стрелки.

Найти:

• Модуль вектора скорости $v$ и знаки проекций $v_x, v_y$ в каждой четверти.
• Период обращения $T$ и частоту обращения $\nu$.
• Центростремительное ускорение $a_ц$ и его направление.

Решение:

Определите модуль вектора скорости и знаки проекций вектора скорости в каждой из четвертей координатной плоскости XOY при заданном направлении движения.

Из графика видно, что траектория движения материальной точки — это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = 6 \text{ м}$. На графике также изображены векторы линейной скорости в нескольких точках. Длина каждого вектора соответствует 4 метрам (например, в точке с координатами $(6, 0)$ вектор скорости направлен вертикально вверх и его конец находится на уровне $y=4$). Так как движение по окружности равномерное (это следует из того, что во всех указанных точках длина вектора скорости одинакова), модуль скорости постоянен и равен $v = 4 \text{ м/с}$.

Направление движения точки, согласно стрелкам на траектории, — против часовой стрелки. Определим знаки проекций вектора скорости на оси координат в каждой четверти:

• I четверть ($x > 0, y > 0$): точка движется вверх и влево, поэтому проекции вектора скорости: $v_x < 0$, $v_y > 0$.
• II четверть ($x < 0, y > 0$): точка движется вниз и влево, поэтому проекции вектора скорости: $v_x < 0$, $v_y < 0$.
• III четверть ($x < 0, y < 0$): точка движется вниз и вправо, поэтому проекции вектора скорости: $v_x > 0$, $v_y < 0$.
• IV четверть ($x > 0, y < 0$): точка движется вверх и вправо, поэтому проекции вектора скорости: $v_x > 0$, $v_y > 0$.

Ответ: Модуль вектора скорости равен $4 \text{ м/с}$. Знаки проекций скорости по четвертям: I: $v_x < 0, v_y > 0$; II: $v_x < 0, v_y < 0$; III: $v_x > 0, v_y < 0$; IV: $v_x > 0, v_y > 0$.

Чему равны период и частота обращения?

Период обращения $T$ — это время одного полного оборота по окружности. Он вычисляется по формуле, связывающей длину окружности $L=2\pi R$ и линейную скорость $v$: $T = \frac{2\pi R}{v}$ Подставляя данные из задачи, получаем: $T = \frac{2\pi \cdot 6 \text{ м}}{4 \text{ м/с}} = 3\pi \text{ с} \approx 9,42 \text{ с}$

Частота обращения $\nu$ — это число оборотов в единицу времени. Она является величиной, обратной периоду: $\nu = \frac{1}{T} = \frac{v}{2\pi R}$ Вычисляем частоту: $\nu = \frac{1}{3\pi \text{ с}} \approx 0,106 \text{ Гц}$

Ответ: Период обращения $T = 3\pi \text{ с}$ (приблизительно $9,42 \text{ с}$), частота обращения $\nu = \frac{1}{3\pi} \text{ Гц}$ (приблизительно $0,106 \text{ Гц}$).

Чему равно центростремительное ускорение и как направлен его вектор?

При равномерном движении по окружности тело испытывает центростремительное ускорение, модуль которого $a_ц$ вычисляется по формуле: $a_ц = \frac{v^2}{R}$ Подставляем числовые значения: $a_ц = \frac{(4 \text{ м/с})^2}{6 \text{ м}} = \frac{16}{6} \frac{\text{м}^2/\text{с}^2}{\text{м}} = \frac{8}{3} \text{ м/с}^2 \approx 2,67 \text{ м/с}^2$

Вектор центростремительного ускорения всегда направлен к центру окружности, по которой происходит движение. В данном случае центр окружности находится в начале координат $(0, 0)$. Таким образом, в любой точке траектории вектор ускорения направлен к центру.

Ответ: Модуль центростремительного ускорения равен $a_ц = \frac{8}{3} \text{ м/с}^2$ (приблизительно $2,67 \text{ м/с}^2$). Вектор ускорения в любой точке траектории направлен по радиусу к центру окружности (к началу координат).