Номер 8.31, страница 28 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 8. Равномерное движение по окружности. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 8.31, страница 28.

8.31 [н] На рисунке II-21 изображена траектория движения материальной точки и векторы линейной скорости материальной точки в различные моменты времени. Определите модуль вектора скорости и знаки проекций вектора скорости в каждой из четвертей координатной плоскости XOY при заданном

Рис. II-21

направлении движения. Чему равны период и частота обращения? Чему равно центростремительное ускорение и как направлен его вектор?

Дано:

• Траектория движения — окружность с центром в начале координат.
• Радиус окружности (из графика): $R = 6 \text{ м}$
• Модуль линейной скорости (из графика): $v = 4 \text{ м/с}$
• Направление движения: против часовой стрелки.

Найти:

• Модуль вектора скорости $v$ и знаки проекций $v_x, v_y$ в каждой четверти.
• Период обращения $T$ и частоту обращения $\nu$.
• Центростремительное ускорение $a_ц$ и его направление.

Решение:

Определите модуль вектора скорости и знаки проекций вектора скорости в каждой из четвертей координатной плоскости XOY при заданном направлении движения.

Из графика видно, что траектория движения материальной точки — это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = 6 \text{ м}$. На графике также изображены векторы линейной скорости в нескольких точках. Длина каждого вектора соответствует 4 метрам (например, в точке с координатами $(6, 0)$ вектор скорости направлен вертикально вверх и его конец находится на уровне $y=4$). Так как движение по окружности равномерное (это следует из того, что во всех указанных точках длина вектора скорости одинакова), модуль скорости постоянен и равен $v = 4 \text{ м/с}$.

Направление движения точки, согласно стрелкам на траектории, — против часовой стрелки. Определим знаки проекций вектора скорости на оси координат в каждой четверти:

• I четверть ($x > 0, y > 0$): точка движется вверх и влево, поэтому проекции вектора скорости: $v_x < 0$, $v_y > 0$.
• II четверть ($x < 0, y > 0$): точка движется вниз и влево, поэтому проекции вектора скорости: $v_x < 0$, $v_y < 0$.
• III четверть ($x < 0, y < 0$): точка движется вниз и вправо, поэтому проекции вектора скорости: $v_x > 0$, $v_y < 0$.
• IV четверть ($x > 0, y < 0$): точка движется вверх и вправо, поэтому проекции вектора скорости: $v_x > 0$, $v_y > 0$.

Ответ: Модуль вектора скорости равен $4 \text{ м/с}$. Знаки проекций скорости по четвертям: I: $v_x < 0, v_y > 0$; II: $v_x < 0, v_y < 0$; III: $v_x > 0, v_y < 0$; IV: $v_x > 0, v_y > 0$.

Чему равны период и частота обращения?

Период обращения $T$ — это время одного полного оборота по окружности. Он вычисляется по формуле, связывающей длину окружности $L=2\pi R$ и линейную скорость $v$: $T = \frac{2\pi R}{v}$ Подставляя данные из задачи, получаем: $T = \frac{2\pi \cdot 6 \text{ м}}{4 \text{ м/с}} = 3\pi \text{ с} \approx 9,42 \text{ с}$

Частота обращения $\nu$ — это число оборотов в единицу времени. Она является величиной, обратной периоду: $\nu = \frac{1}{T} = \frac{v}{2\pi R}$ Вычисляем частоту: $\nu = \frac{1}{3\pi \text{ с}} \approx 0,106 \text{ Гц}$

Ответ: Период обращения $T = 3\pi \text{ с}$ (приблизительно $9,42 \text{ с}$), частота обращения $\nu = \frac{1}{3\pi} \text{ Гц}$ (приблизительно $0,106 \text{ Гц}$).

Чему равно центростремительное ускорение и как направлен его вектор?

При равномерном движении по окружности тело испытывает центростремительное ускорение, модуль которого $a_ц$ вычисляется по формуле: $a_ц = \frac{v^2}{R}$ Подставляем числовые значения: $a_ц = \frac{(4 \text{ м/с})^2}{6 \text{ м}} = \frac{16}{6} \frac{\text{м}^2/\text{с}^2}{\text{м}} = \frac{8}{3} \text{ м/с}^2 \approx 2,67 \text{ м/с}^2$

Вектор центростремительного ускорения всегда направлен к центру окружности, по которой происходит движение. В данном случае центр окружности находится в начале координат $(0, 0)$. Таким образом, в любой точке траектории вектор ускорения направлен к центру.

Ответ: Модуль центростремительного ускорения равен $a_ц = \frac{8}{3} \text{ м/с}^2$ (приблизительно $2,67 \text{ м/с}^2$). Вектор ускорения в любой точке траектории направлен по радиусу к центру окружности (к началу координат).