Номер 8.24, страница 27 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 8. Равномерное движение по окружности. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 8.24, страница 27.

8.24 [Д. 20] Радиус орбиты синхронного спутника (спутника, «висящего» над одной и той же точкой земной поверхности) равен $4,2 \cdot 10^4$ км. Определите отношение центростремительных ускорений спутника и точки земной поверхности.

Дано:

Радиус орбиты синхронного спутника $R_с = 4,2 \cdot 10^4$ км
Средний радиус Земли (справочное значение) $R_з \approx 6400$ км

Перевод в систему СИ:

$R_с = 4,2 \cdot 10^4 \cdot 10^3 \text{ м} = 4,2 \cdot 10^7 \text{ м}$
$R_з \approx 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Отношение центростремительных ускорений спутника и точки на земной поверхности $\frac{a_с}{a_т}$.

Решение:

Синхронный спутник — это спутник, который обращается вокруг Земли с угловой скоростью, равной угловой скорости вращения Земли вокруг своей оси. Благодаря этому он постоянно находится над одной и той же точкой на экваторе. Следовательно, угловая скорость спутника $\omega_с$ равна угловой скорости точки на поверхности Земли $\omega_т$. Обозначим эту угловую скорость как $\omega$.

$\omega_с = \omega_т = \omega$

Центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности радиусом $R$ с угловой скоростью $\omega$, определяется по формуле:

$a = \omega^2 R$

Для спутника, движущегося по орбите радиусом $R_с$, центростремительное ускорение равно:

$a_с = \omega^2 R_с$

Для точки на земной поверхности (для максимального ускорения возьмем точку на экваторе), вращающейся с радиусом, равным радиусу Земли $R_з$, центростремительное ускорение равно:

$a_т = \omega^2 R_з$

Теперь найдем отношение этих ускорений:

$\frac{a_с}{a_т} = \frac{\omega^2 R_с}{\omega^2 R_з}$

Угловая скорость $\omega$ сокращается, и мы получаем:

$\frac{a_с}{a_т} = \frac{R_с}{R_з}$

Подставим числовые значения. Можно использовать значения как в километрах, так и в метрах, так как это отношение, и единицы измерения сократятся.

$\frac{a_с}{a_т} = \frac{4,2 \cdot 10^4 \text{ км}}{6400 \text{ км}} = \frac{42000}{6400} = \frac{420}{64} = \frac{105}{16} = 6,5625$

Ответ: Отношение центростремительных ускорений спутника и точки земной поверхности равно приблизительно 6,6.