Номер 8.20, страница 27 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 8. Равномерное движение по окружности. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 8.20, страница 27.

8.20 [д. 15] Карусель и крыша над каруселью, имеющие одинаковый диаметр, вращаются вокруг вертикальной оси O в одном направлении с частотами $3n$ и $n$ соответственно (рис. II-18). Скат крыши длиной $l$ образует с осью вращения угол $\alpha$. Определите:

1) угловые скорости карусели и крыши над ней;

2) линейные скорости крайних точек карусели и крыши;

3) центростремительное ускорение этих точек.

Рис. II-18

Дано:

Частота вращения карусели, $n_к = 3n$

Частота вращения крыши, $n_{кр} = n$

Длина ската крыши, $l$

Угол наклона ската крыши к оси вращения, $\alpha$

Диаметры карусели и крыши одинаковы

Найти:

1) $\omega_к, \omega_{кр}$ - угловые скорости карусели и крыши.

2) $v_к, v_{кр}$ - линейные скорости крайних точек карусели и крыши.

3) $a_{цк}, a_{ц.кр}$ - центростремительные ускорения этих точек.

Решение:

Так как карусель и крыша имеют одинаковый диаметр, их радиусы вращения $R$ равны. Из рисунка видно, что радиус вращения $R$, длина ската крыши $l$ и ось вращения образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике $l$ — гипотенуза, а $R$ — катет, противолежащий углу $\alpha$.

Следовательно, радиус вращения крайних точек можно выразить как:

$R = l \sin(\alpha)$

1) угловые скорости карусели и крыши над ней

Угловая скорость $\omega$ связана с частотой вращения $n$ формулой $\omega = 2\pi n$.

Угловая скорость карусели:

$\omega_к = 2\pi n_к = 2\pi (3n) = 6\pi n$

Угловая скорость крыши:

$\omega_{кр} = 2\pi n_{кр} = 2\pi n$

Ответ: угловая скорость карусели $\omega_к = 6\pi n$; угловая скорость крыши $\omega_{кр} = 2\pi n$.

2) линейные скорости крайних точек карусели и крыши

Линейная скорость $v$ связана с угловой скоростью $\omega$ и радиусом $R$ формулой $v = \omega R$.

Линейная скорость крайних точек карусели:

$v_к = \omega_к R = (6\pi n) \cdot (l \sin(\alpha)) = 6\pi n l \sin(\alpha)$

Линейная скорость крайних точек крыши:

$v_{кр} = \omega_{кр} R = (2\pi n) \cdot (l \sin(\alpha)) = 2\pi n l \sin(\alpha)$

Ответ: линейная скорость крайних точек карусели $v_к = 6\pi n l \sin(\alpha)$; линейная скорость крайних точек крыши $v_{кр} = 2\pi n l \sin(\alpha)$.

3) центростремительное ускорение этих точек

Центростремительное ускорение $a_ц$ связано с угловой скоростью $\omega$ и радиусом $R$ формулой $a_ц = \omega^2 R$.

Центростремительное ускорение крайних точек карусели:

$a_{цк} = \omega_к^2 R = (6\pi n)^2 (l \sin(\alpha)) = 36\pi^2 n^2 l \sin(\alpha)$

Центростремительное ускорение крайних точек крыши:

$a_{ц.кр} = \omega_{кр}^2 R = (2\pi n)^2 (l \sin(\alpha)) = 4\pi^2 n^2 l \sin(\alpha)$

Ответ: центростремительное ускорение крайних точек карусели $a_{цк} = 36\pi^2 n^2 l \sin(\alpha)$; центростремительное ускорение крайних точек крыши $a_{ц.кр} = 4\pi^2 n^2 l \sin(\alpha)$.