Номер 8.22, страница 27 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 8. Равномерное движение по окружности. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 8.22, страница 27.

8.22 [Д. 17] Небольшое тело, которому сообщили начальную скорость $v_0 = 3$ м/с, скользит по горизонтальной поверхности вдоль полукруглых барьеров с радиусами $R_1 = 12$ см и $R_2 = 20$ см (рис. II-19). Чему равна конечная скорость тела? На сколько различаются значения угловой скорости и центростремительного ускорения тела при движении вдоль барьеров? Трение и деформацию не учитывайте.

Рис. II-19

Дано:

$v_0 = 3$ м/с
$R_1 = 12$ см = $0.12$ м
$R_2 = 20$ см = $0.2$ м

Найти:

$v$ - конечная скорость тела
$\Delta \omega$ - разность угловых скоростей
$\Delta a_c$ - разность центростремительных ускорений

Решение:

Чему равна конечная скорость тела?

Согласно условию задачи, тело скользит по горизонтальной поверхности, а трение и деформация не учитываются. Сила реакции опоры со стороны барьера, заставляющая тело двигаться по дуге окружности, всегда направлена перпендикулярно вектору скорости тела.

Работа силы, перпендикулярной вектору скорости, равна нулю. Так как трение отсутствует, полная работа внешних сил, действующих на тело в горизонтальной плоскости, равна нулю.

Согласно теореме об изменении кинетической энергии, работа всех сил равна изменению кинетической энергии тела: $W_{net} = \Delta K$. Поскольку в данном случае $W_{net} = 0$, то и изменение кинетической энергии $\Delta K = 0$.

Кинетическая энергия вычисляется по формуле $K = \frac{mv^2}{2}$. Так как масса тела $m$ не изменяется и кинетическая энергия $K$ постоянна, то модуль скорости (скорость) тела $v$ также остается постоянным.

Следовательно, конечная скорость тела по модулю равна его начальной скорости: $v = v_0 = 3$ м/с.

Ответ: Конечная скорость тела равна 3 м/с.

На сколько различаются значения угловой скорости и центростремительного ускорения тела при движении вдоль барьеров?

Как мы установили, линейная скорость тела $v$ постоянна на всем пути и равна 3 м/с.

Угловая скорость $\omega$ связана с линейной скоростью $v$ и радиусом $R$ соотношением $\omega = \frac{v}{R}$.

Для первого барьера с радиусом $R_1$:
$\omega_1 = \frac{v}{R_1} = \frac{3 \text{ м/с}}{0.12 \text{ м}} = 25$ рад/с.

Для второго барьера с радиусом $R_2$:
$\omega_2 = \frac{v}{R_2} = \frac{3 \text{ м/с}}{0.2 \text{ м}} = 15$ рад/с.

Разность значений угловой скорости составляет:
$\Delta \omega = |\omega_1 - \omega_2| = |25 \text{ рад/с} - 15 \text{ рад/с}| = 10$ рад/с.

Центростремительное ускорение $a_c$ определяется формулой $a_c = \frac{v^2}{R}$.

Для первого барьера с радиусом $R_1$:
$a_{c1} = \frac{v^2}{R_1} = \frac{(3 \text{ м/с})^2}{0.12 \text{ м}} = \frac{9}{0.12} \text{ м/с}^2 = 75$ м/с$^2$.

Для второго барьера с радиусом $R_2$:
$a_{c2} = \frac{v^2}{R_2} = \frac{(3 \text{ м/с})^2}{0.2 \text{ м}} = \frac{9}{0.2} \text{ м/с}^2 = 45$ м/с$^2$.

Разность значений центростремительного ускорения составляет:
$\Delta a_c = |a_{c1} - a_{c2}| = |75 \text{ м/с}^2 - 45 \text{ м/с}^2| = 30$ м/с$^2$.

Ответ: Значения угловой скорости различаются на 10 рад/с, а значения центростремительного ускорения — на 30 м/с$^2$.