Номер 8.28, страница 28 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 8. Равномерное движение по окружности. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 8.28, страница 28.

8.28 [Д. 11] Каким должно быть отношение числа зубьев шестерён радиусами $R_1$ и $R_2$, чтобы обеспечить сцепление шестерён, изображённых на рисунке II-20, б?

Дано:

$R_1$ — радиус первой шестерни
$R_2$ — радиус второй шестерни
$z_1$ — число зубьев первой шестерни
$z_2$ — число зубьев второй шестерни

Найти:

$\frac{z_1}{z_2}$ — отношение числа зубьев шестерён.

Решение:

Для того чтобы две шестерни находились в сцеплении, необходимо, чтобы их зубья имели одинаковый шаг. Шаг зубьев $p$ — это расстояние между соответствующими точками соседних зубьев, измеренное вдоль делительной окружности. Радиусы $R_1$ и $R_2$, указанные в задаче, являются радиусами этих делительных окружностей.

Длина делительной окружности первой шестерни может быть выражена двумя способами: через её радиус $R_1$ и через число зубьев $z_1$ и шаг $p$.

Длина окружности через радиус: $L_1 = 2\pi R_1$.

Длина окружности через число зубьев: $L_1 = z_1 \cdot p$.

Приравнивая эти два выражения, получаем равенство для первой шестерни:

$2\pi R_1 = z_1 \cdot p$

Аналогичные рассуждения справедливы и для второй шестерни, у которой радиус $R_2$ и число зубьев $z_2$. Так как для сцепления шаг зубьев $p$ должен быть таким же, имеем:

$2\pi R_2 = z_2 \cdot p$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$ \begin{cases} 2\pi R_1 = z_1 \cdot p \\ 2\pi R_2 = z_2 \cdot p \end{cases} $

Чтобы найти отношение числа зубьев $\frac{z_1}{z_2}$, разделим первое уравнение на второе:

$\frac{2\pi R_1}{2\pi R_2} = \frac{z_1 \cdot p}{z_2 \cdot p}$

Сократив одинаковые множители ($2\pi$ в левой части и $p$ в правой), получим искомое отношение:

$\frac{R_1}{R_2} = \frac{z_1}{z_2}$

Таким образом, отношение числа зубьев шестерён должно быть равно отношению их радиусов.

Ответ: Отношение числа зубьев шестерён должно быть равно отношению их радиусов: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{R_1}{R_2}$.