Номер 8.33, страница 29 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 8. Равномерное движение по окружности. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 8.33, страница 29.

8.33 [д. 24] Материальная точка движется по окружности с постоянной частотой $0,8 \text{ с}^{-1}$. Изобразите прямоугольную систему координат XOY в плоскости движения материальной точки и началом отсчёта в центре окружности. Известно, что проекции скорости материальной точки на оси X и Y в некоторый момент времени равны 6 м/с и -8 м/с соответственно. Чему равны линейная скорость точки, радиус окружности, угловая скорость и центростремительное ускорение? Определите проекции на оси координат вектора скорости и вектора центростремительного ускорения через время, равное четверти периода обращения.

Дано:

$ν = 0,8 \text{ с}^{-1}$
$v_x(t_0) = 6 \text{ м/с}$
$v_y(t_0) = -8 \text{ м/с}$
$\Delta t = T/4$

Все данные уже в системе СИ.

Найти:

$v - ?$
$R - ?$
$ω - ?$
$a_ц - ?$
$v'_x = v_x(t_0 + \Delta t) - ?$
$v'_y = v_y(t_0 + \Delta t) - ?$
$a'_{цx} = a_{цx}(t_0 + \Delta t) - ?$
$a'_{цy} = a_{цy}(t_0 + \Delta t) - ?$

Решение:

В соответствии с условием задачи, изобразим прямоугольную систему координат XOY. Центр окружности, по которой движется материальная точка, совпадает с началом координат O(0,0). Вектор скорости $\vec{v}$ всегда направлен по касательной к окружности, а вектор центростремительного ускорения $\vec{a}_ц$ направлен к центру окружности, то есть к началу координат. В начальный момент времени $t_0$ вектор скорости имеет проекции $(6, -8)$, что соответствует точке в четвертом квадранте, если движение происходит против часовой стрелки, или во втором квадранте, если движение по часовой стрелке. Будем придерживаться стандартного предположения о движении против часовой стрелки.

Чему равны линейная скорость точки, радиус окружности, угловая скорость и центростремительное ускорение?

1. Линейная скорость $v$ является модулем вектора скорости $\vec{v}$. Найдем ее по теореме Пифагора, зная проекции вектора:

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ м/с}$

2. Угловая скорость $ω$ связана с частотой $ν$ соотношением:

$ω = 2\pi\nu = 2\pi \cdot 0,8 = 1,6\pi \text{ рад/с}$

3. Радиус окружности $R$ найдем из связи между линейной и угловой скоростями $v = ωR$:

$R = \frac{v}{ω} = \frac{10}{1,6\pi} = \frac{100}{16\pi} = \frac{25}{4\pi} \text{ м}$ (приблизительно 1,99 м)

4. Центростремительное ускорение $a_ц$ (его модуль) можно вычислить несколькими способами. Воспользуемся формулой $a_ц = v \cdot ω$:

$a_ц = v \cdot ω = 10 \cdot 1,6\pi = 16\pi \text{ м/с}^2$ (приблизительно 50,27 м/с²)

Ответ: Линейная скорость $v = 10 \text{ м/с}$, радиус окружности $R = \frac{25}{4\pi} \text{ м}$, угловая скорость $ω = 1,6\pi \text{ рад/с}$, центростремительное ускорение $a_ц = 16\pi \text{ м/с}^2$.

Определите проекции на оси координат вектора скорости и вектора центростремительного ускорения через время, равное четверти периода обращения.

Время $\Delta t$, равное четверти периода ($T/4$), соответствует повороту радиус-вектора точки на угол $\Delta\phi$. Период обращения $T = 1/\nu$.

$\Delta\phi = \omega \Delta t = \omega \frac{T}{4} = \frac{2\pi}{T} \frac{T}{4} = \frac{\pi}{2} \text{ рад}$

Это означает, что за данное время точка, а вместе с ней и векторы скорости и ускорения, повернутся на $90^\circ$ в направлении вращения (против часовой стрелки).

1. Проекции вектора скорости через $T/4$.

Поворот вектора $\vec{v} = (v_x, v_y)$ на угол $90^\circ$ против часовой стрелки преобразует его компоненты по правилу: $(v_x, v_y) \rightarrow (-v_y, v_x)$.

Начальный вектор скорости: $\vec{v}(t_0) = (6, -8)$ м/с.

Новые проекции вектора скорости $\vec{v}'$ будут:

$v'_x = -v_y(t_0) = -(-8) = 8 \text{ м/с}$

$v'_y = v_x(t_0) = 6 \text{ м/с}$

2. Проекции вектора центростремительного ускорения через $T/4$.

Сначала найдем начальные проекции вектора ускорения $\vec{a}_ц(t_0)$. Вектор $\vec{a}_ц$ перпендикулярен вектору $\vec{v}$ и направлен к центру. При движении против часовой стрелки $\vec{v} = (-ωy, ωx)$, а $\vec{a}_ц = (-ω^2x, -ω^2y)$.

Из $v_x = -ωy_0$ и $v_y = ωx_0$ находим начальные координаты точки:

$x_0 = \frac{v_y}{ω} = \frac{-8}{1,6\pi} = -\frac{5}{\pi} \text{ м}$

$y_0 = \frac{v_x}{-ω} = \frac{6}{-1,6\pi} = -\frac{3,75}{\pi} \text{ м}$

Теперь найдем проекции начального ускорения $\vec{a}_ц(t_0) = (a_{цx}(t_0), a_{цy}(t_0))$:

$a_{цx}(t_0) = -ω^2 x_0 = -(1,6\pi)^2 \cdot (-\frac{5}{\pi}) = 2,56\pi^2 \cdot \frac{5}{\pi} = 12,8\pi \text{ м/с}^2$

$a_{цy}(t_0) = -ω^2 y_0 = -(1,6\pi)^2 \cdot (-\frac{3,75}{\pi}) = 2,56\pi^2 \cdot \frac{3,75}{\pi} = 9,6\pi \text{ м/с}^2$

Вектор ускорения $\vec{a}_ц(t_0) = (12,8\pi, 9,6\pi)$ м/с² также поворачивается на $90^\circ$ против часовой стрелки. Применяем то же правило преобразования компонент: $(a_x, a_y) \rightarrow (-a_y, a_x)$.

Новые проекции вектора ускорения $\vec{a'}_ц$ будут:

$a'_{цx} = -a_{цy}(t_0) = -9,6\pi \text{ м/с}^2$

$a'_{цy} = a_{цx}(t_0) = 12,8\pi \text{ м/с}^2$

Ответ: Проекции вектора скорости через четверть периода: $v'_x = 8 \text{ м/с}$, $v'_y = 6 \text{ м/с}$. Проекции вектора центростремительного ускорения: $a'_{цx} = -9,6\pi \text{ м/с}^2$, $a'_{цy} = 12,8\pi \text{ м/с}^2$.