Номер 8.27, страница 28 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 8. Равномерное движение по окружности. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 8.27, страница 28.

8.27 [Д. 10] Определите отношение линейных скоростей $v_2/v_1$ крайних точек шестерён и угловых скоростей $\omega_2/\omega_1$ на рисунке II-20, a, если отношение диаметров шестерён равно 2.

Дано:

Отношение диаметров шестерён: $d_2/d_1 = 2$.

Найти:

Отношение линейных скоростей $v_2/v_1$.

Отношение угловых скоростей $\omega_2/\omega_1$.

Решение:

Рассмотрим две шестерни, находящиеся в зацеплении. Условие зацепления без проскальзывания означает, что линейные скорости точек на их ободах (крайних точках) в месте контакта равны.

Следовательно, линейная скорость крайней точки первой шестерни $v_1$ равна линейной скорости крайней точки второй шестерни $v_2$: $v_1 = v_2$

Отсюда находим искомое отношение линейных скоростей: $\frac{v_2}{v_1} = 1$

Теперь найдём отношение угловых скоростей. Линейная скорость $v$ точки, вращающейся по окружности радиуса $r$ с угловой скоростью $\omega$, связана с ними соотношением: $v = \omega \cdot r$

Для первой и второй шестерён можно записать: $v_1 = \omega_1 \cdot r_1$ $v_2 = \omega_2 \cdot r_2$ где $r_1$ и $r_2$ — радиусы первой и второй шестерён соответственно.

Так как $v_1 = v_2$, мы можем приравнять правые части выражений: $\omega_1 \cdot r_1 = \omega_2 \cdot r_2$

Выразим из этого равенства искомое отношение угловых скоростей $\omega_2/\omega_1$: $\frac{\omega_2}{\omega_1} = \frac{r_1}{r_2}$

Радиус шестерни равен половине её диаметра ($r = d/2$), поэтому отношение радиусов равно отношению диаметров: $\frac{r_1}{r_2} = \frac{d_1/2}{d_2/2} = \frac{d_1}{d_2}$

По условию задачи, отношение диаметров шестерён равно 2. Будем считать, что это отношение $d_2/d_1 = 2$. Тогда обратное отношение равно: $\frac{d_1}{d_2} = \frac{1}{2} = 0.5$

Подставляем это значение в формулу для отношения угловых скоростей: $\frac{\omega_2}{\omega_1} = 0.5$

Ответ:

Отношение линейных скоростей крайних точек шестерён $v_2/v_1 = 1$.

Отношение угловых скоростей шестерён $\omega_2/\omega_1 = 0.5$.