Номер 8.29, страница 28 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 8. Равномерное движение по окружности. Глава 2. Движение и взаимодействие тел - номер 8.29, страница 28.

8.29 [д. 12] Вычислите отношение центростремительных ускорений $a_1/a_2$, сообщаемых при вращении крайним точкам шестерён, соединённых цепью (см. рис. II-20, в)), если число зубьев $N_1 = 40$, а $N_2 = 16$. Что можно сказать о скоростях двух капель масла, слетающих с зубьев первой и второй шестерён?

Рис. II-20

Дано:

$N_1 = 40$
$N_2 = 16$

Найти:

$\frac{a_1}{a_2}$ - ?
Соотношение скоростей $v_1$ и $v_2$ - ?

Решение:

Вычислите отношение центростремительных ускорений $a_1/a_2$, сообщаемых при вращении крайним точкам шестерён

Поскольку шестерни соединены цепью (рис. II-20, в), линейные скорости точек на их ободах (на концах зубьев) равны между собой, так как они равны скорости движения цепи. Обозначим эту скорость как $v$.

$v_1 = v_2 = v$

Формула центростремительного ускорения: $a = \frac{v^2}{r}$, где $r$ — радиус вращения.

Ускорения для крайних точек первой и второй шестерён:

$a_1 = \frac{v_1^2}{r_1} = \frac{v^2}{r_1}$

$a_2 = \frac{v_2^2}{r_2} = \frac{v^2}{r_2}$

Найдём отношение этих ускорений:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{v^2/r_1}{v^2/r_2} = \frac{r_2}{r_1}$

Радиус шестерни прямо пропорционален числу её зубьев $N$ (так как шаг зубьев для работы в одной цепи должен быть одинаков). Следовательно, отношение радиусов равно отношению чисел зубьев:

$\frac{r_2}{r_1} = \frac{N_2}{N_1}$

Тогда отношение ускорений равно:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{N_2}{N_1}$

Подставляем числовые значения:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{16}{40} = \frac{2}{5} = 0.4$

Ответ: отношение центростремительных ускорений $\frac{a_1}{a_2} = 0.4$.

Что можно сказать о скоростях двух капель масла, слетающих с зубьев первой и второй шестерён?

Капля масла, которая слетает с зуба шестерни, в момент отрыва имеет скорость, равную мгновенной линейной скорости точки на краю этого зуба. Как было показано выше, из-за соединения цепью линейные скорости крайних точек обеих шестерён равны ($v_1 = v_2$).

Следовательно, модули скоростей капель масла, которые слетают с зубьев первой и второй шестерён, будут одинаковыми.

Ответ: скорости двух капель масла, слетающих с зубьев первой и второй шестерён, равны по величине.